“三會(huì)”視域下“回歸分析”教科書比較研究
——以人教A版和北師大版為例

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 張定強(qiáng)

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 梁會(huì)芳

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 楊 怡

一、引言

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）凝練了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其本質(zhì)是描述學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)教育后應(yīng)當(dāng)具有的數(shù)學(xué)特質(zhì)，具體可以歸納為“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.“三會(huì)”是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度概括，是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，也是數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)的目標(biāo).但“三會(huì)”目標(biāo)的落實(shí)首先要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中.“回歸分析”是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是通過建立統(tǒng)計(jì)模型研究變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度、結(jié)構(gòu)狀態(tài)及進(jìn)行模型預(yù)測(cè)的一種有效的工具.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，學(xué)習(xí)它可以使我們對(duì)所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，對(duì)提升數(shù)據(jù)信息素養(yǎng)有著重要的價(jià)值.為此，本文對(duì)人教A版和北師大版教科書中“回歸分析”的內(nèi)容從“三會(huì)”的視域下進(jìn)行研究，以期為深度解讀數(shù)學(xué)教科書提供參考樣例.

二、研究對(duì)象與內(nèi)容

1.研究對(duì)象

回歸分析是對(duì)具有不確定關(guān)系（即相關(guān)關(guān)系）的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的有效橋梁.考慮到比較對(duì)象的代表性與典型性，本文主要選取使用比較廣泛的兩版教科書：人教A版和北師大版，對(duì)其選修2-3第三章“統(tǒng)計(jì)案例”中的“回歸分析”相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析.

2.內(nèi)容框架

運(yùn)用文本分析和比較研究的方法，對(duì)人教A版和北師大版教科書關(guān)于“回歸分析”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，從整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)來說，兩版教科書關(guān)于“回歸分析”內(nèi)容的建構(gòu)都是建立在必修3所學(xué)的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的基礎(chǔ)之上，并且均以案例的方式對(duì)回歸分析的基本思想進(jìn)行展開.但從具體的知識(shí)結(jié)構(gòu)來說，兩版教科書在必修和選修知識(shí)結(jié)構(gòu)的分布以及側(cè)重點(diǎn)方面都存在著顯著的差異，具體如表1所示.

表1 “回歸分析”整體知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

由表1可知，無論是必修模塊還是選修模塊，人教A版都是把相關(guān)內(nèi)容作為一整節(jié)來處理，而北師大版在編排的過程中將其細(xì)化，分為不同的小節(jié)來加以呈現(xiàn).對(duì)此筆者將從“三會(huì)”的視域?qū)ζ浣?gòu)過程進(jìn)行深度解析，以明晰其建構(gòu)特點(diǎn)，充分挖掘并體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維的特點(diǎn)，以開闊思路，探尋培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的基點(diǎn).

三、研究結(jié)果

“三會(huì)”是數(shù)學(xué)在人與世界之間搭建的一座“立交橋”，是數(shù)學(xué)教育育人功能的全面概括，也是數(shù)學(xué)教育落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的具體路徑.史寧中教授提出，為了使廣大數(shù)學(xué)教育工作者能夠有機(jī)地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入到教材編寫、教育研究以及教育教學(xué)過程中，需要將“三會(huì)”具體化，賦予其內(nèi)涵，即六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面從數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言三個(gè)維度對(duì)兩版教科書中回歸分析的內(nèi)容進(jìn)行分析.

1.數(shù)學(xué)眼光視角下的比較分析

所謂數(shù)學(xué)眼光是指從客觀現(xiàn)象或事物中捕捉出其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)特征和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的意識(shí)和能力.具體而言就是數(shù)學(xué)抽象，而與數(shù)學(xué)抽象最為密切的直觀想象，則是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ).

高中數(shù)學(xué)教科書中，回歸分析作為研究成對(duì)隨機(jī)變量相關(guān)關(guān)系的重要思想與方法，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成有著其獨(dú)特的功能.對(duì)兩版教科書的內(nèi)容組織進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)（如表2），無論是人教A版還是北師大版，都是以案例、探究或問題提出的形式，利用文字+表格和文字+表格+圖像的表征方式將數(shù)據(jù)直觀化，通過畫散點(diǎn)圖直觀抽象出兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，利用給定案例中的數(shù)量關(guān)系確定回歸方程的參數(shù)，從而得到具體的回歸模型，使學(xué)生從實(shí)際的情境中展開認(rèn)識(shí)活動(dòng)，從具體的情境中抽象出學(xué)習(xí)對(duì)象，進(jìn)而有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

表2 兩版教科書內(nèi)容組織對(duì)比分析

由表2發(fā)現(xiàn)，兩版教科書對(duì)于內(nèi)容的表征大多采用文字+表格或文字+表格+圖像的形式，使學(xué)生利用數(shù)據(jù)的直觀圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而發(fā)展其直觀想象素養(yǎng).直觀圖是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的主要載體，為了了解兩版教科書在圖像使用方面的差別，對(duì)兩版教科書平均圖文比（幅/頁）、平均圖題比（幅/道）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)兩版教科書對(duì)于習(xí)題的圖像設(shè)置雖沒有明顯差異，但對(duì)于整體圖像的使用頻率相差較大.具體而言，人教A版“回歸分析”內(nèi)容共11頁，其中課文插圖、習(xí)題插圖共6幅，圖題比為0.5，圖文比為0.55；北師大版“回歸分析”內(nèi)容共14頁，其中課文插圖、習(xí)題插圖共16幅，圖題比為0.5，圖文比高達(dá)1.14，北師大版教科書圖像的使用頻率明顯高于人教A版，更有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.數(shù)學(xué)思維視角下的比較分析

數(shù)學(xué)思維是指用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力，具體而言就是邏輯推理，而數(shù)學(xué)運(yùn)算即是邏輯推理的一種特殊形式，同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的邏輯基礎(chǔ).

為了了解兩版教科書是如何基于數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的，筆者做出對(duì)比分析（如表3）.

表3 兩版教科書“思維建構(gòu)”對(duì)比分析

由表3可以發(fā)現(xiàn)，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學(xué)生的思維建構(gòu).如從線性回歸方程的計(jì)算公式的推導(dǎo)來看，兩版教科書的設(shè)計(jì)都是在必修階段利用最小二乘法求回歸方程的基礎(chǔ)之上進(jìn)行，但人教A版是通過探究的方式，直接給出其推導(dǎo)過程，略顯突兀；而北師大版在邏輯體系建構(gòu)的過程中，以案例的形式鏈接必修模塊的相關(guān)內(nèi)容，在案例分析與理解的過程中層層遞進(jìn)，有條理地得出線性回歸方程，與學(xué)生的邏輯思維聯(lián)系更加緊密，易于學(xué)生的理解和內(nèi)化.從邏輯推理的關(guān)聯(lián)性看，人教A版比北師大版的關(guān)聯(lián)更為密切.如從回歸模型擬合效果的探討來看，北師大版是以問題提出的形式，直接引入線性相關(guān)系數(shù)來判斷線性相關(guān)程度的大小，與前文建構(gòu)的邏輯關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)；而人教A版則是以案例分析的方法得出線性回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通過對(duì)不可觀測(cè)量——隨機(jī)誤差的探究分析，引入模型擬合效果的分析工具：殘差分析和R2，更符合學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣.從邏輯推理的可操作性看，人教A版比北師大版更易操作.如從回歸模型的建構(gòu)過程和兩個(gè)模型擬合效果優(yōu)劣的對(duì)比來看，人教A版在建構(gòu)過程中，明確給出了具體的操作步驟，使學(xué)生在邏輯推理過程中有據(jù)可循，從而更有利于學(xué)生掌握規(guī)范的解題步驟，并感知數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

另外，對(duì)比兩版教科書關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求發(fā)現(xiàn)：人教A版和北師大版在回歸分析這一知識(shí)體系的建構(gòu)過程中，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求都較高，包括對(duì)回歸方程中參數(shù)的計(jì)算、回歸假設(shè)檢驗(yàn)的計(jì)算等.但從非線性回歸模型的可線性化來看，北師大版介紹了幾種常見的非線性函數(shù)，并給出了相應(yīng)的變換步驟，學(xué)生只需根據(jù)變換步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算即可；而人教A版在建構(gòu)的過程中，學(xué)生需要通過對(duì)散點(diǎn)圖的觀察，自行調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知體系中的函數(shù)模型，進(jìn)而確定回歸模型的類型，聯(lián)系并結(jié)合相關(guān)知識(shí)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的變換（如對(duì)預(yù)報(bào)變量的對(duì)數(shù)變換或解釋變量的平方變換等），從而實(shí)現(xiàn)非線性關(guān)系的可線性化，相比之下，人教A版對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)要求則更高一些.同時(shí)，兩版教科書在建構(gòu)的過程中，都暗含著對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算工具使用的強(qiáng)調(diào)，包括科學(xué)計(jì)算器、計(jì)算機(jī)電子表格軟件、MATLAB軟件等，從而有利于減輕學(xué)生的運(yùn)算負(fù)擔(dān).

3.數(shù)學(xué)語言視角下的比較分析

數(shù)學(xué)語言是在數(shù)學(xué)思維中產(chǎn)生和發(fā)展的，也是數(shù)學(xué)思維的有效載體，具體而言包括文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，具有抽象、嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔、通用等特點(diǎn).回歸數(shù)學(xué)世界，數(shù)學(xué)語言指的是數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析，它是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

回歸模型是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要模型之一，是揭示事物間相關(guān)變量的數(shù)量關(guān)系的有效模型.從回歸模型建構(gòu)的角度看，其建構(gòu)過程如圖1所示.

兩版教科書在模型建構(gòu)的過程中都強(qiáng)調(diào)通過作散點(diǎn)圖對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，注重非線性相關(guān)模型的可線性化，以及利用最小二乘法建立回歸模型等，雖然兩版教科書對(duì)于模型檢驗(yàn)的方法有所差異，但對(duì)于回歸假設(shè)檢驗(yàn)的思想是兩版教科書選修模塊的重點(diǎn)內(nèi)容，可以使學(xué)生深入體會(huì)回歸模型不僅能近似描述產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)的真實(shí)模型，而且尋求近似效果更好的模型是統(tǒng)計(jì)方法的顯著特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)所在.另外，兩版教科書對(duì)于回歸建模的過程均不完整，對(duì)于實(shí)際問題回歸模型的建立和分析應(yīng)主要包括設(shè)置指標(biāo)變量、收集與整理數(shù)據(jù)、構(gòu)建理論模型、估計(jì)模型參數(shù)、回歸模型檢驗(yàn)、利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等幾個(gè)環(huán)節(jié)，而人教A版和北師大版在建構(gòu)的過程中都缺乏對(duì)設(shè)置指標(biāo)變量以及收集與整理數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì).對(duì)于指標(biāo)變量的設(shè)置，人教A版在分析回歸模型的過程中，對(duì)于解釋變量、預(yù)報(bào)變量以及隨機(jī)誤差之間的關(guān)系進(jìn)行了簡(jiǎn)單的描述，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間的差異.但針對(duì)具體問題，在回歸模型建構(gòu)的過程中，不再提及誰是解釋變量、誰是預(yù)報(bào)變量，以及影響預(yù)報(bào)變量的隨機(jī)誤差有哪些；而北師大版在建構(gòu)的過程中，對(duì)于變量的設(shè)置從未提及，更加強(qiáng)調(diào)在具體案例的解決過程中，體會(huì)變量的意義.回歸模型是建立在回歸變量樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上的，收集、整理數(shù)據(jù)是最基礎(chǔ)的一環(huán)，是學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的入口，但兩版教科書在編寫的過程中都淡化了對(duì)這一環(huán)節(jié)的設(shè)置.

四、研究結(jié)論與展望

1.結(jié)論

基于“三會(huì)”視域?qū)θ私藺版和北師大版教科書關(guān)于回歸分析的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：兩版教科書對(duì)于回歸分析知識(shí)的建構(gòu)思路與側(cè)重點(diǎn)不同，使其在數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等方面的表現(xiàn)既有相似之處，也存在一定的差異性.在數(shù)學(xué)眼光的視角下，兩版教科書都以案例、探究或問題的方式串聯(lián)組織內(nèi)容，抽象出具體模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).對(duì)于圖像的使用頻率，北師大版明顯高于人教A版，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；在數(shù)學(xué)思維的視角下，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學(xué)生的思維建構(gòu)，但從邏輯推理的關(guān)聯(lián)性和可操作性看，人教A版的思維建構(gòu)關(guān)聯(lián)更密切且更易操作.同時(shí)，兩版教科書對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的要求都較高，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)工具的使用；在數(shù)學(xué)語言的視角下，兩版教科書都強(qiáng)調(diào)回歸建模思想的滲透以及數(shù)據(jù)的可視化，但對(duì)于回歸模型的建構(gòu)過程均不完整，缺乏對(duì)設(shè)置指標(biāo)變量以及收集與整理數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì).

圖1 “回歸模型”建構(gòu)對(duì)比圖

2.展望

教科書作為聯(lián)結(jié)教師和學(xué)生的一種有效的課程資源，其內(nèi)容的選取、建構(gòu)的思路對(duì)于數(shù)學(xué)教育的育人價(jià)值會(huì)產(chǎn)生極其重要的影響.統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門與數(shù)據(jù)打交道的科學(xué)，對(duì)于處在大數(shù)據(jù)背景下的學(xué)生來說，數(shù)據(jù)可以幫助其認(rèn)識(shí)世界，對(duì)未來進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).以數(shù)學(xué)的眼光審視數(shù)據(jù)，以數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)據(jù)，以數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)據(jù)，才能有效挖掘數(shù)據(jù)背后所潛藏的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人目標(biāo).

回歸分析是處理兩個(gè)變量之間的關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法與技術(shù)，同時(shí)也是看待事物的一種統(tǒng)計(jì)觀念，蘊(yùn)含著重要的思想方法.因此在教科書編寫的過程中，以統(tǒng)計(jì)案例的形式呈現(xiàn)其知識(shí)內(nèi)容和主體結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在解決問題的過程中，領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)的思想，從而形成統(tǒng)計(jì)觀念，充分體現(xiàn)教科書的教育性、科學(xué)性、心理性和專業(yè)性.但利用回歸分析解決問題是建立在統(tǒng)計(jì)模型的基礎(chǔ)之上，只有使學(xué)生親身經(jīng)歷回歸模型建構(gòu)的全過程，體會(huì)其統(tǒng)計(jì)模型的作用，感悟其統(tǒng)計(jì)思維，才能搭起回歸分析與現(xiàn)實(shí)世界的有效橋梁.因此，不僅教科書要體現(xiàn)對(duì)“三會(huì)”的要求，而且在教育教學(xué)的過程中，更應(yīng)該重視、利用一切諸如教材等資源，實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”所要達(dá)成的目標(biāo)，為學(xué)生提供最優(yōu)的課堂教學(xué).