“深度學(xué)習(xí)”從“問題提出”開始*
——以一道教材例題為例

☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

問題不僅是深度學(xué)習(xí)的載體，也是深度學(xué)習(xí)的原動(dòng)力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要讓學(xué)生意識(shí)到有數(shù)學(xué)問題的存在，并且自己需要問“為什么”、“是什么”、“怎么辦”，這樣才能激起學(xué)習(xí)中的思維火花，而且這種問題意識(shí)越強(qiáng)烈，自己的思維就越活躍、越深刻、越富有創(chuàng)造性.在一節(jié)數(shù)學(xué)課中，引入、探究、例題、練習(xí)等環(huán)節(jié)都離不開數(shù)學(xué)問題，好的數(shù)學(xué)問題往往就是課堂教學(xué)走向成功的關(guān)鍵.但在實(shí)際教學(xué)中，教師將大量的精力投入到了“對(duì)現(xiàn)有問題的解決”，卻“很少對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生、表達(dá)和提出的過程給予直接的關(guān)注”，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無法走向深入.因此，組織、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出有價(jià)值的問題，并圍繞問題進(jìn)行深入探究已經(jīng)成為教師開展課堂教學(xué)的首要任務(wù).下面筆者就以美國(guó)學(xué)者Gonzales提出的“學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題信息來源”理論為基礎(chǔ)，結(jié)合人教A版選修2-1“2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中的一道例題，談?wù)勛约旱目捶?

原問題：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖1所示，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)（人教A版選修2-1）.

圖1

圖2

一、立足已知信息提出問題，分解思維的難度

在面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)一時(shí)無法獲得正確的解題思路.這時(shí)教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生提出一些連續(xù)的、精煉的問題串的方式，將問題的已知信息與目標(biāo)之間的邏輯關(guān)系梳理清楚，從而將復(fù)雜的總目標(biāo)一層一層分解為簡(jiǎn)單的次目標(biāo)，再集中力量逐步攻克次目標(biāo)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)原問題的圓滿解決.

對(duì)于上述這樣一個(gè)具有豐富現(xiàn)實(shí)背景的應(yīng)用問題，它考查的是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.教師在教學(xué)中，不必急于步入“問題解決”的環(huán)節(jié)，而是鼓勵(lì)學(xué)生通過對(duì)構(gòu)成問題情境的基本要素進(jìn)行觀察、分析，并深入挖掘出隱藏于其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后以問題鏈的形式把自己對(duì)原始問題的理解及可能出現(xiàn)的結(jié)果呈現(xiàn)出來.具體如下表所示：

通過對(duì)表格中的問題的思考，解題思路呼之欲出：

如圖2，在接收天線的軸截面所在的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p＞0），由已知條件得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0.5，2.4），代入方程得p=5.76，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2.88，0）.

問題鏈的提出不僅使難點(diǎn)得以逐個(gè)突破，而且使學(xué)生獨(dú)立獲得解題思路.因此，從本質(zhì)上講，提出問題的過程也是學(xué)生探索解題思路，形成解決方案的過程.

二、修改信息提出問題，拓寬思維的廣度

問題的提出不僅是問題解決的開始，也是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題的過程.教師啟發(fā)學(xué)生大膽修改問題中的已知信息，并確定新的未知構(gòu)成要素，從而提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題.一般對(duì)已知信息的修改可以從條件、結(jié)論、模型、情境等方面入手，下表是對(duì)上述問題的修改示例.

不同的修改視角，又產(chǎn)生一系列不同的新問題.例如，把“拋物線”模型修改為“橢圓”模型后，學(xué)生可能又會(huì)提出下面幾個(gè)問題：

①橢圓是否也具有匯聚波束的作用？如果沒有，那么它會(huì)有其他怎樣的性質(zhì)？（過其中一個(gè)焦點(diǎn)的波束經(jīng)過橢圓反射后從另一個(gè)焦點(diǎn)處射出.）

②橢圓這一性質(zhì)有什么樣的應(yīng)用價(jià)值？

③生活中有沒有具體的應(yīng)用案例？（應(yīng)用一：電影放映機(jī)的聚光燈.它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面，為了使片門，即電影膠片通過的地方獲得最強(qiáng)的光線，燈絲與片門應(yīng)位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處.應(yīng)用二：醫(yī)學(xué)上的體外碎石技術(shù).醫(yī)學(xué)上用來對(duì)付腎結(jié)石，讓人的腎結(jié)石位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的位置上，在另一個(gè)焦點(diǎn)處釋放的高能沖擊波經(jīng)橢圓面反射后集中在石頭上，將其擊碎，實(shí)現(xiàn)碎石.）

學(xué)習(xí)者只有具備了能與已學(xué)知識(shí)相對(duì)應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思考過程中才會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)“為什么”，并提出問題.而這些問題猶如一條條火花，向周圍延伸，從而建立起數(shù)學(xué)知識(shí)之間非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，不斷地拓寬學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、拓展信息提出問題，挖掘思維的深度

問題的提出是一個(gè)由淺入深的思考過程.從淺層次的角度看，它是學(xué)生對(duì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)或產(chǎn)生的“問題”所進(jìn)行的（文字的或言語的）表達(dá)，厘清解決問題的思路；從深層次的角度看，它是學(xué)生“問題意識(shí)”的形成和數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示過程.因此，展示隱藏在數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)原理，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)才是問題提出的目的.

對(duì)原問題稍微拓展一下，就很容易提出“拋物線為何具有匯聚信號(hào)的作用，如何用數(shù)學(xué)進(jìn)行證明”的問題.這個(gè)問題顯然比原問題更加具有數(shù)學(xué)研究的價(jià)值，對(duì)學(xué)生的思維是一大挑戰(zhàn)，這又需要經(jīng)歷一個(gè)提出問題的過程：

①拋物線匯聚信號(hào)的性質(zhì)在物理上是如何稱呼的？

②如何用數(shù)學(xué)語言描述拋物線的這一性質(zhì)？

③要證明這一性質(zhì)關(guān)鍵要說明什么？（證明反射角與入射角相等或者說明入射點(diǎn)關(guān)于鏡面的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上）

④證明方法有幾種（反證法、解析法）？

問題1：已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線m為拋物線的準(zhǔn)線，P為拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線m的垂線，垂足為P′.過點(diǎn)P作拋物線的切線l，F(xiàn)關(guān)于切線l的對(duì)稱點(diǎn)為F′，證明：F′、P、P′三點(diǎn)共線.

反證法：如圖3，假設(shè)F′、P、P′三點(diǎn)不共線，由|PF′|=|PF|，|PF|=|PP′|得|PF′|=|PP′|.又因?yàn)橹本€PP′⊥m，所以點(diǎn)F′在直線m的右側(cè).

過點(diǎn)F′作直線m的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線m于點(diǎn)N，則|MN|＞|MF′|，由拋物線的定義得|MN|=|MF|，則|MF|＞|MF′|.

圖3

由M在切線l右側(cè)可得|MF|＜|MF′|，這與上式矛盾.因此，F(xiàn)′、P、P′三點(diǎn)共線.

這個(gè)問題的解決，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從“知其然”到“知其所以然”的跨越，揭開了“拋物線”光學(xué)性質(zhì)的面紗.以問題1為原問題，又可以通過“修改信息”提出新的問題，比如，把“拋物線”改成“橢圓”、“雙曲線”，又該如何證明它們的光學(xué)性質(zhì)呢？因此，數(shù)學(xué)問題的提出不僅展示了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的理解水平，而且也反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.

四、附加信息提出問題，提升思維的高度

問題提出的過程是一種內(nèi)隱的復(fù)雜的認(rèn)知過程，它源于懷疑，是對(duì)理性的一種批判.問題產(chǎn)生的緣由可能是為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，也可能是附加信息的自然邏輯延伸，而這種邏輯延伸使得學(xué)生在思考問題時(shí)更能高瞻遠(yuǎn)矚，宏觀把握.

深入分析原問題，還可以從“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”中提煉出“拋物線的定義”，要發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，只需要添加一個(gè)條件：“作出拋物線的入射光線與反射光線”，這就又生成了一個(gè)新的問題視角：

①如何確定每一組入射、反射光線所在的“鏡面”？

②這些“鏡面”與拋物線存在什么關(guān)系？

③無數(shù)個(gè)“鏡面”最終能組成什么圖形？

④能否從“作圖”中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何性質(zhì)？

這個(gè)問題很容易與“折紙”聯(lián)系起來：

第一步：準(zhǔn)備一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，在CD的垂直平分線上取一點(diǎn)F.

第二步：在CD上任取一點(diǎn)P，然后將紙片對(duì)折，使得P點(diǎn)和F點(diǎn)重合，這時(shí)得到一條折痕，為了看清楚，可以把折痕畫出來（如圖4所示）.

第三步：展開紙片，再在CD上取其他的點(diǎn)，然后重復(fù)步驟三.這樣連續(xù)下去，會(huì)得到很多折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了何種曲線.

圖4

圖5

“折痕”就是拋物線的切線，在這些切線的“包絡(luò)”下，就形成了一條拋物線的輪廓，而且在折紙的過程中，很容易提煉出拋物線的定義.

如圖5所示，過P點(diǎn)作直線垂直于DC交折痕于點(diǎn)M.根據(jù)折紙?jiān)砜芍獆MF|=|MP|，即動(dòng)點(diǎn)M滿足到定點(diǎn)的距離和到定直線DC的距離相等.

問題的提出與問題的解決相伴相形、相得益彰，提出問題→解決問題→提出較高層次的問題→解決較高層次的問題→提出更高層次的問題→……如此形成一個(gè)螺旋上升的“問題鏈”，進(jìn)而生成具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，學(xué)生圍繞著這些主題，經(jīng)歷全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的深度學(xué)習(xí)過程.