帶通濾波器矩形系數(shù)的理論分析與仿真?

胡保全 占臘民 陳長忠 李文廣

（1.中航工業(yè)陜飛公司 漢中 723000）（2.華中科技大學(xué) 武漢 430074）

1 引言

帶通濾波器在5G通信、雷達(dá)、導(dǎo)航定位、電子對抗、衛(wèi)星通信等系統(tǒng)中發(fā)揮著非常重要的作用，具有極其廣泛的應(yīng)用價(jià)值［1～5］。理想情況下，工作頻率位于濾波器通帶內(nèi)的信號通過濾波器時(shí)，插入損耗為零，而通帶外頻率的信號通過濾波器時(shí)則被完全衰減掉。具有這種幅頻響應(yīng)特性的濾波器稱為“Brick Wall”響應(yīng)濾波器。實(shí)際濾波器達(dá)不到這種理想情況。實(shí)際濾波器選擇通帶內(nèi)有用信號，抑制帶外干擾信號的能力，通常用矩形系數(shù)（Shape Factor，SF）來描述。該參數(shù)表征了帶通濾波器幅頻響應(yīng)與理想矩形接近的程度。矩形度越高——即SF越接近理想值1，濾波器的選擇性越好。高選擇性濾波器是當(dāng)前濾波器技術(shù)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一［6～12］。

在濾波器技術(shù)領(lǐng)域，矩形系數(shù)與濾波器帶寬、矩形系數(shù)與低通原型濾波器帶外抑制之間的關(guān)系、決定矩形系數(shù)的影響因素等問題沒有得到深入研究。有一部分從業(yè)者對帶通濾波器的矩形系數(shù)理解不到位，甚至存在誤解現(xiàn)象，極大地影響了帶通濾波器的設(shè)計(jì)、選型和使用。

為解決此問題，本文依據(jù)低通原型濾波器和帶通濾波器之間的頻率映射公式，定量推導(dǎo)出矩形系數(shù)公式，揭示了帶通濾波器矩形系數(shù)與帶寬無關(guān)的規(guī)律，明確指出了帶通濾波器矩形系數(shù)與低通原型濾波器帶外抑制之間的關(guān)系，并對常用的Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器矩形系數(shù)的影響因素進(jìn)行了說明。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用ADS軟件對上述結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

2 帶通濾波器矩形系數(shù)的理論分析

帶通濾波器的矩形系數(shù)SF是其kdB帶寬與3dB帶寬的比值，k可取值30、40、50、60等。

式（1）中 BWkdB、BW3dB分別是帶通濾波器k dB、3dB絕對帶寬，ωUkdB、ωLkdB分別是k dB帶寬的上邊頻、下邊頻，ωU3dB、ωL3dB分別是3dB帶寬的上邊頻、下邊頻。

低通原型濾波器和帶通濾波器之間的頻率映射關(guān)系如式（2）所示［13］。

式（2）中 ωc、ωu、ωL、ω分別是帶通濾波器角頻率形式的中心頻率、通帶上邊頻、下邊頻、實(shí)際工作頻率，Ω是歸一化低通原型濾波器的工作頻率。

依照式（2）定義的頻率映射關(guān)系，可畫出低通原型濾波器和實(shí)際帶通濾波器的插入損耗-頻率曲線。圖1（a）、（b）是Butterworth濾波器幅頻特性示意圖。

由圖1（b）可知，在實(shí)際帶通濾波器插入損耗-頻率特性曲線中，低于中心頻率的部分是由低通原型濾波器的負(fù)頻率映射而來的，高于帶通濾波器中心頻率的部分是由低通原型濾波器的正頻率映射而來的。在這個(gè)映射過程中，低通原型濾波器和帶通濾波器對應(yīng)點(diǎn)的插入損耗保持不變。

在圖1 b）中，帶通濾波器BW3dB為Ω=1對應(yīng)的ω=ωu和Ω=-1對應(yīng)的ω=ωL之差，即

由式（2）可知，

式（4）中，Ωk、Ω-k分別是帶通濾波器k dB帶寬上、下邊頻，ωUkdB、ωLkdB則是對應(yīng)的低通原型濾波器工作頻率。由式（4a）、（4b）可推導(dǎo)出

式（5）中，fbw為帶通濾波器的相對帶寬，即

由（5）式可得帶通濾波器的k dB絕對帶寬為

由（3）、（7）式可知

由式（8）可知，理論上帶通濾波器k dB帶寬對應(yīng)的矩形系數(shù)，就是其等效低通原型濾波器幅頻特性曲線在k dB和3dB衰減處的歸一化頻率的比值。矩形系數(shù)與帶通濾波器的帶寬無關(guān)。

圖1 Butterworth濾波器幅頻特性示意圖

要減小矩形系數(shù)，提高帶通濾波器的矩形度，就得想辦法減小低通原型濾波器k dB衰減處對應(yīng)的歸一化工作頻率Ωk。對Butterworth低通原型濾波器而言，Ωk主要由濾波器階數(shù)N決定。N越大，Ωk越小，矩形系數(shù)越小，矩形度越高。而Chebyshev低通原型濾波器的Ωk則受濾波器階數(shù)N、通帶波紋兩者影響。N越大，通帶波紋越大，Ωk越小，矩形系數(shù)越小，矩形度越高。

3 基于ADS的仿真驗(yàn)證

在ADS2014仿真環(huán)境中，先建立Butterworth、Chebyshev低通原型濾波器的原理電路圖，并進(jìn)行S參數(shù)線性仿真分析，再利用軟件內(nèi)置的BPF_Butterworth、BPF_Chebyshev模型，對帶通濾波器的矩形系數(shù)進(jìn)行仿真分析。

圖2（a）為3階Butterworth低通原型濾波器的幅頻特性（g1=1，g2=2，g3=1），（b）為3階3dB波紋的Chebyshev低通原型濾波器的幅頻特性（g1=3.3487，g2=0.7117，g3=3.3487）。

圖2 低通原型濾波器幅頻特性

由圖2可知，3階Butterworth濾波器在30dB和3dB衰減處的歸一化頻率比為3.2，3階3dB波紋的Chebyshev濾波器相應(yīng)的歸一化頻率比則為2.1。

在此基礎(chǔ)上，利用ADS內(nèi)置的BPF_Butterworth、BPF_Chebyshev模型，建立了3dB帶寬分別為3%、10%的3階Butterworth帶通濾波器，和3dB帶寬分別為3%、10%的3階3dB波紋Chebyshev帶通濾波器原理電路，并進(jìn)行了S參數(shù)線性網(wǎng)絡(luò)分析。最終得到的帶通濾波器幅頻特性曲線見圖3、圖4。

圖3（a）中m1、m2、m3、m4和m5、m6、m7、m8標(biāo)注的分別是3dB帶寬為3%、10%的3階Butterworth帶通濾波器。m2和m1、m6和m5標(biāo)注的頻率差對應(yīng)帶通濾波器的3dB帶寬，而m4和m3、m8和m7標(biāo)注的頻率差對應(yīng)帶通濾波器的30dB帶寬。由這些數(shù)據(jù)，能計(jì)算出帶寬為3%、10%的3階Butterworth帶通濾波器的30dB矩形系數(shù)均為3.2。這和圖2（a）中Butterworth低通原型在30dB和3dB衰減處的歸一化頻率比3.2相同。

圖3 帶通濾波器的幅頻特性

圖3 （b）中m1、m2、m3、m4和m5、m6、m7、m8標(biāo)注的分別是3dB帶寬為3%、10%的3dB波紋Chebyshev帶通濾波器。m2和m1、m6和m5標(biāo)注的頻率差對應(yīng)帶通濾波器的3dB帶寬，而m4和m3、m8和m7標(biāo)注的頻率差對應(yīng)帶通濾波器的30dB帶寬。由這些數(shù)據(jù)，能計(jì)算出帶寬為3%、10%的3dB波紋Chebyshev帶通濾波器的30dB矩形系數(shù)均為2.1。這和圖2（b）中3dB波紋Chebyshev低通原型濾波器在30dB和3dB衰減處的歸一化頻率比2.1相同。

通過進(jìn)一步的仿真分析發(fā)現(xiàn)，對Chebyshev帶通濾波器而言，階數(shù)相同時(shí)，波紋越大，矩形系數(shù)越小，矩形度越高。

表1 不同波紋下3階Chebyshev帶通濾波器的矩形系數(shù)

4 結(jié)語

由以上理論分析和仿真驗(yàn)證可知，理論上帶通濾波器的矩形系數(shù)存在以下規(guī)律：

1）帶通濾波器的矩形系數(shù)不受濾波器帶寬影響；

2）帶通濾波器k dB帶寬對應(yīng)的矩形系數(shù)，就是其等效低通原型濾波器幅頻特性曲線在k dB和3dB衰減處的歸一化頻率的比值；

3）Butterworth濾波器的矩形系數(shù)主要由階數(shù)決定，階數(shù)越大，矩形系數(shù)越小，矩形度越高；

4）Chebyshev帶通濾波器的矩形系數(shù)受濾波器階數(shù)和波紋影響。階數(shù)和波紋都大時(shí)，矩形系數(shù)小，矩形度高；通常情況下，濾波器階數(shù)對矩形系數(shù)的影響要快于波紋對矩形系數(shù)的影響；

5）同等階數(shù)下，Chebyshev帶通濾波器的矩形系數(shù)比Butterworth帶通濾波器的矩形系數(shù)小，矩形度相對較高。當(dāng)Chebyshev帶通濾波器的波紋小到一定程度，兩種濾波器的矩形系數(shù)相當(dāng)。

應(yīng)該指出的是，調(diào)控濾波器的矩形系數(shù)時(shí)，濾波器的其他指標(biāo)如插損、駐波等也會隨之發(fā)生變化。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要結(jié)合濾波器性能指標(biāo)要求綜合考慮。

綜上，本文所做工作深入揭示了帶通濾波器矩形系數(shù)的概念及其變化規(guī)律，這對于帶通濾波器的設(shè)計(jì)、選型和使用具有一定的指導(dǎo)意義和價(jià)值。