靈活“構(gòu)造圓”，巧妙來(lái)解題

☉河南省西平縣基礎(chǔ)教育教研室 郭長(zhǎng)軍

在解決數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，我們通常想到的解決方法是由問(wèn)題的條件到相應(yīng)問(wèn)題的結(jié)論之間的定向思考，但是對(duì)于某些問(wèn)題采用這樣的思考方式來(lái)解顯得比較困難，甚至無(wú)從著手，在這種情況下，我們不妨改變一下思維策略，尋找一個(gè)中間橋梁，以此尋到一條繞過(guò)障礙的新途徑.例如，對(duì)于已知某些幾何問(wèn)題中給出直角三角形的斜邊固定不變，而直角頂點(diǎn)時(shí)刻在運(yùn)動(dòng)變化；或給出幾個(gè)點(diǎn)到某一個(gè)定點(diǎn)的距離相等；或給出一個(gè)等腰三角形繞著其中一個(gè)角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；亦或給出兩個(gè)公用斜邊的直角三角形等問(wèn)題，我們可以通過(guò)構(gòu)造圓，巧妙地利用圓的有關(guān)知識(shí)及已學(xué)過(guò)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)把問(wèn)題解決.在運(yùn)用構(gòu)造圓的方法解題時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造，二要弄清楚問(wèn)題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)，實(shí)施構(gòu)造.通過(guò)以下幾個(gè)具體典例，可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律，提高自己運(yùn)用構(gòu)造圓的方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.下面我初步談一談可以構(gòu)造圓的幾種常見(jiàn)類(lèi)型：

一、如果遇到直角三角形的斜邊不變，而直角頂點(diǎn)時(shí)刻發(fā)生變化的直角三角形，可以構(gòu)造以斜邊為直徑的圓

圖1

典例分析1：（2013武漢）如圖1，已知正方形ABCD中，AB=2，E、F是AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接AG交BE于點(diǎn)H，連接DH，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是___________.

【分析與解答】可以證明△AEB△DFC，所以∠ABE=∠DCF，再證明△ABG△CBG，所以∠BAG=∠BCG，得到∠BAG+∠ABE=∠BCG+∠DCF=90°，即∠AHB=90°，也就是說(shuō)，△ABH是斜邊AB固定不變，但直角頂點(diǎn)H時(shí)刻發(fā)生變化的直角三角形，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，構(gòu)造以AB為直徑的圓O，則點(diǎn)H始終在⊙O上運(yùn)動(dòng).要使DH最小，則連接OD，交⊙O于H，那么點(diǎn)H就是所求的點(diǎn).

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AB=2，所以AD=2，OA=OB=1.

評(píng)析：經(jīng)分析可得∠AHB=90°，△ABH是直角三角形，而斜邊AB始終不變，直角頂點(diǎn)H發(fā)生變化，所以可以構(gòu)造以AB為直徑的圓.

圖2

二、如果遇到一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離始終相等，那么可以構(gòu)造以定點(diǎn)為圓心、以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑的圓

圖3

典例分析2：如圖3，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，BP=3，點(diǎn)Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將四邊形APQD（DQ≠AP）沿直線PQ折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，當(dāng)CM的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為_(kāi)__________.

【分析與解答】解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出折疊后哪個(gè)位置使CM最短.由于將四邊形APQD沿直線PQ折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M，根據(jù)折疊前后圖形全等，可知AP=MP，點(diǎn)P是定點(diǎn)，點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離始終等于AP的長(zhǎng)，所以，以點(diǎn)P為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終在這個(gè)圓上.

圖4

由圖4可得，連接PC，交圓P于點(diǎn)M，則此時(shí)CM最短.

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N.

由四邊形ABCD為菱形，AB=8，得BC=8.

又BP=3，則NP=1.

在Rt△CNP中，CP=7.

由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，得∠APQ=∠MPQ.

由CD∥AB，得∠APQ=∠PQC，則∠MPQ=∠PQC，則CQ=PC，則當(dāng)CM的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為7.

評(píng)析：由于本題中的點(diǎn)P固定，點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離是一個(gè)定值，根據(jù)題意將四邊形APQD沿著直線PQ折疊，不管怎樣折疊，點(diǎn)A折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離始終等于線段AP的長(zhǎng).所以通過(guò)構(gòu)造以點(diǎn)P為圓心、以AP為半徑的圓，結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上最短距離問(wèn)題的解法就是連接該點(diǎn)和圓心，與圓的交點(diǎn)就是使該點(diǎn)到圓的距離最短的點(diǎn)，從而巧妙地找出點(diǎn)A沿直線AP翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而把問(wèn)題解決.

三、如果遇到將一個(gè)等腰三角形繞其中一個(gè)角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可以構(gòu)造以頂角的頂點(diǎn)為圓心、以腰長(zhǎng)為半徑的圓，或構(gòu)造以頂角的頂點(diǎn)為圓心、以底邊上的高為半徑的圓，或構(gòu)造以底角的頂點(diǎn)為圓心、以腰長(zhǎng)為半徑的圓

圖5

典例分析3：如圖5，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，點(diǎn)G是OA的中點(diǎn)，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點(diǎn)，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF繞點(diǎn)G按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中BH的取值范圍是___________.

【分析與解答】由于△EGF是等腰三角形，所以以點(diǎn)G為圓心、以EG為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)E、F在這個(gè)圓上，并且EF是圓的一條弦，H是弦EF的中點(diǎn).又因?yàn)椤鱁GF是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，連接GH，則GH的長(zhǎng)也是一個(gè)定值，所以以點(diǎn)G為圓心、以GH的長(zhǎng)為半徑作圓，很顯然，BH的最小值和最大值在直線BG與小圓的交點(diǎn)處取得.如圖6，BH1最小，BH2最大.

則BH1=-，BH2=+.

圖6

評(píng)析：本題中通過(guò)旋轉(zhuǎn)等腰△GEF，可以發(fā)現(xiàn)EF的中點(diǎn)H到點(diǎn)G的距離是一個(gè)定值，所以通過(guò)構(gòu)造以點(diǎn)G為圓心、以GH為半徑的圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離問(wèn)題，然后連接BG與圓交于點(diǎn)H，從而確定了圖形的具體位置，再結(jié)合題中的條件，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決.

四、如果遇到兩個(gè)有公共斜邊的直角三角形，可以構(gòu)造以斜邊為直徑的圓

圖7

圖8

典例分析4：如圖7，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為_(kāi)__________.

【分析與解答】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠BOC=90°.

由CF⊥BE，得∠BFC=90°，△BOC和△BFC是有公共斜邊BC的直角三角形.

很顯然，以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、F.

由DE=2CE，CD=6，得CE=2，DE=4.

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N.

評(píng)析：本題通過(guò)構(gòu)造以BC為直徑的圓，得到O、F、B、C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，觀察發(fā)現(xiàn)△OFM△BCM，下面的關(guān)鍵是求出OM和BM的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出OF的長(zhǎng).

總之，構(gòu)造圓的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的特點(diǎn)，它能夠使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法打破常規(guī)、另辟蹊徑、巧妙獲解，但是“構(gòu)造圓”并不是胡思亂想，而是要以牢固掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為前提，要以所具備的較強(qiáng)的綜合能力為基礎(chǔ)，要以敏銳的觀察能力為先導(dǎo)，要以良好的分析能力為利器，通過(guò)認(rèn)真、仔細(xì)地觀察圖形，思考問(wèn)題，分析圖形與問(wèn)題之間的關(guān)系，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)存在的內(nèi)在聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件.因此，在遇到幾何問(wèn)題時(shí)，一定要沉著冷靜、認(rèn)真思考，根據(jù)題中的條件，看看是否符合這幾種類(lèi)型中的某一種類(lèi)型，然后根據(jù)相應(yīng)的類(lèi)型構(gòu)造圓，利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決.