☉北京市豐臺(tái)二中 甘志國(guó)
圓冪定理在平面幾何中有重要應(yīng)用,相交弦定理與切割線定理都是其重要推論,反過來,用它們也可給出圓冪定理的證明.文章還給出了圓冪定理在解答自主招生試題中的應(yīng)用.
圓冪定理:若過定點(diǎn)P作一動(dòng)直線與定圓⊙O(其半徑是R)交于A、B兩點(diǎn),則PA·PB=|OP2-R2|(把常數(shù)|OP2-R2|叫作定點(diǎn)P對(duì)于定圓O的冪).
證明:當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí),如圖1所示,作PT切⊙O于點(diǎn)T,連接OT、OP,可得∠OTP=90°.
圖1
圖2
由切割線定理及勾股定理,可得PA·PB=PT2=OP2-R2=|OP2-R2|.
當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合,可得PA·PB=0=|OP2-R2|.
當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi),即點(diǎn)P在線段AB上且不是端點(diǎn)時(shí),如圖2所示,作⊙O過點(diǎn)P的直徑ST.
由相交弦定理及勾股定理,可得PA·PB=PS·PT=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2=|OP2-R2|.
綜上所述,可得欲證結(jié)論成立.
注:由該證明可得:也可把圓冪定理的結(jié)論用向量表示為
題目:(2013年北京大學(xué)暑期體驗(yàn)營(yíng)數(shù)學(xué)試題第3題)已知拋物線y=x2+ax+b與坐標(biāo)軸交于三個(gè)兩兩互異的點(diǎn)A、B、C,且△ABC的外心在直線y=x上,求a+b的值.
解法1:可設(shè)點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)、C(0,b)(b≠0).
因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線y=x2+ax+b上,所以x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根.
由于△ABC的外心在直線y=x上,可設(shè)△ABC的外接圓方程是x2+y2+mx+my+n=0.由點(diǎn)A、B均在該圓上,可得x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個(gè)根.
所以m=a,n=b.
再由點(diǎn)C(0,b)在圓x2+y2+mx+my+n=0上,可得b2+ab+b=0(b≠0),則a+b=-1.
解法2:可設(shè)點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)、C(0,b)(b≠0).
因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線y=x2+ax+b上,所以x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根(因而x1x2=b).
由于△ABC的外心在直線y=x上,可設(shè)△ABC的外接圓圓心為.再由圓冪定理的注可 得x1x2=b=,則a+b=-1.
注:本題源于2008年高考江蘇卷第18題:
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸共有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(2)求圓C的方程;
(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.