關(guān)于“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系的研究

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)需要與時俱進，張景中院士在2006年提出“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系，從三角形內(nèi)角和的知識以及三角形面積公式出發(fā)，直觀而嚴謹?shù)亟o出了正弦的新定義，為初中數(shù)學(xué)課程改革提供了一條新思路?！爸亟ㄈ恰毙麦w系有直觀的三角函數(shù)定義方式和簡易卻嚴謹?shù)耐评磉^程。在新體系中，三角、幾何、代數(shù)間彼此滲透，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和幾何直觀能力。同時，在“重建三角”實驗教學(xué)中也取得了一些功效。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué);重建三角;新體系

一、“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系的背景

1.我國初中數(shù)學(xué)三角課程的發(fā)展

中華人民共和國成立以來，我國陸續(xù)頒布了十多個初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對三角這一塊內(nèi)容，主要要求學(xué)生了解銳角和特殊角的三角函數(shù)值以及運用三角函數(shù)解決直角三角形中的問題。2011年教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對三角內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求幾乎沒有改變，要求學(xué)生探索并認識銳角的三角函數(shù)，了解特殊角的三角函數(shù)值，會用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值、能用銳角三角函數(shù)解直角三角形[1]。當(dāng)前初中三角函數(shù)內(nèi)容是基于直角三角形中對邊、鄰邊、斜邊的關(guān)系對三角函數(shù)下定義，而且對三角函數(shù)的認識停留在銳角和特殊角上面。由此可見，我國對初中數(shù)學(xué)中的三角內(nèi)容要求不高，其主要目的是給初中生減負。

2.“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系的提出

“重建三角”一詞來源于2006年張景中院士在《數(shù)學(xué)教學(xué)》上發(fā)表的《重建三角，全局皆活——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個建議》[2]，他提出“重建三角”的初中數(shù)學(xué)新體系，將三角、幾何、代數(shù)彼此滲透。其實早在1980年，張景中院士就在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》發(fā)表了《改變平面幾何推理系統(tǒng)的一點想法——略談面積公式在幾何推理中的重要作用》《改變平面幾何推理系統(tǒng)的一點想法（續(xù)）——略談面積公式在集合推理中的重要作用》，深入探討平面幾何推理系統(tǒng)，對“重建三角”的提出有很大影響。2009年，張景中院士出版了《一線串通的初等數(shù)學(xué)》，該書從三角形內(nèi)角和的知識以及三角形面積公式出發(fā)，直觀而嚴謹?shù)亟o出了正弦的新定義，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革提供了一條新思路。

二、“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系的理論探討

1.直觀的三角函數(shù)定義方式

“重建三角”體系是用面積法建構(gòu)三角，把邊長為1，有一個角為A的菱形面積記作sinA，緊接著可以定義平行四邊形和三角形的面積，然后得出正弦的基本性質(zhì)。這個定義方式從面積出發(fā)，而面積是小學(xué)就重點介紹的內(nèi)容，在學(xué)生的認知體系中，面積是非常直觀的概念，容易理解。這個定義不再需要相似三角形和比的知識作為鋪墊，而且脫離了直角三角形這個限制，對于直角和鈍角也同樣試用，這樣就可以用這個定義去研究一系列當(dāng)前初中數(shù)學(xué)三角內(nèi)容所不能研究的問題。

另外，先只談?wù)叶徽勂渌呛瘮?shù)，學(xué)生學(xué)起來更容易。相比之前的正弦、余弦、正切一起定義，學(xué)生往往會出現(xiàn)記不住，混淆使用等問題，這里就只需要記住正弦的定義和簡單性質(zhì)。在學(xué)習(xí)了正弦的相關(guān)內(nèi)容后，引入余弦cosA=sin（90°-A），要求A是0°～180°的角，并且余弦的后續(xù)學(xué)習(xí)完全可以利用正弦的知識，這樣，學(xué)生對三角的學(xué)習(xí)就經(jīng)歷了知識的生成與理解的過程。

2.簡易卻嚴謹?shù)耐评磉^程

定義了正弦之后，就可以使用代數(shù)計算的方法推導(dǎo)正弦定理、正弦和角公式、勾股定理、正弦的增減性等內(nèi)容，使得推導(dǎo)過程成為一個簡潔有力推理體系，適合初中學(xué)生的認知水平。比如，通過對三角形的面積公式S△ABC=—=—=—進行變形即得到了正弦定理，過程非常簡單，而且正弦定理成了推導(dǎo)許多幾何命題的有力工具，如相似三角形和勾股定理，這樣就能在三角中解決這兩個知識點。與傳統(tǒng)教學(xué)相比，“重建三角”的推理體系簡易卻嚴謹，學(xué)生學(xué)起來相對輕松。

3.三角、代數(shù)和幾何相互滲透

三角函數(shù)是連接代數(shù)與幾何的橋梁。原有的初中數(shù)學(xué)體系中，三角、代數(shù)、幾何的溝通并不多，三角是在相似三角形內(nèi)容的后面，有點類似于對相似三角形內(nèi)容的補充與拓展，而三角內(nèi)容的學(xué)習(xí)與代數(shù)的聯(lián)系不緊密，對于銳角的三角函數(shù)值，課標(biāo)要求是會用計算器求值。這樣，三角、幾何、代數(shù)這三塊內(nèi)容無形之中有了屏障，無法發(fā)揮三角函數(shù)的橋梁作用。

“重建三角”初中數(shù)學(xué)新體系，用面積法定義正弦，即用幾何引出三角，用的是代數(shù)的方法;接著利用定義推理出性質(zhì)和定理，也是用代數(shù)的方法。這樣做充分體現(xiàn)了三角內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)知識體系中的重要地位，也讓三角、幾何、代數(shù)之間的屏障消失。三者之間的相互滲透，是“重建三角”新體系的基本方向，也對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)起到了推動作用。

4.學(xué)生幾何直觀能力的獲得

史寧中教授認為，平面幾何的教育價值是培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和幾何直觀能力?，F(xiàn)有的初中平面幾何體系重視演繹體系而缺少幾何直觀。尤其是三角體系對學(xué)生的要求并不高，只需要掌握一些簡單的內(nèi)容即可，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力無法體現(xiàn)?！爸亟ㄈ恰毙麦w系將許多高中知識下放到初中學(xué)習(xí)，并且用新定義的方式引出許多性質(zhì)和定理，這個過程可以充分培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，而且對初中平面幾何內(nèi)容是個很好的補充，改變初中數(shù)學(xué)平面幾何難度低的現(xiàn)狀。

三、“重建三角”實驗教學(xué)的進展

目前，“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系的實驗教學(xué)在廣東、四川、貴州等地展開，大部分學(xué)校是采用整合教材的方法進行實驗教學(xué)，也有學(xué)校是通過校本課程的方式開展。實驗結(jié)果表明，學(xué)生更容易認識和理解“重建三角”新體系下的三角知識內(nèi)容，他們認為新體系下的三角內(nèi)容更加直觀和簡單。相比于同層次的其他班級，采用“重建三角”新體系學(xué)習(xí)的班級學(xué)習(xí)成績更好。另外，學(xué)生解決幾何問題和綜合問題的能力得到提升，能從多個方面對問題進行探討。但同時，實驗教學(xué)也發(fā)現(xiàn)了一些問題，比如教學(xué)資源不足、教師能力水平有限、學(xué)生配套練習(xí)不足等?？偠灾?，“重建三角”能較好地拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的成績，但仍需完善不足之處。

四、結(jié)論與建議

“重建三角”初等數(shù)學(xué)新體系對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革提供了參考?！爸亟ㄈ恰毙麦w系具有直觀的三角函數(shù)定義方式和簡易卻嚴謹?shù)耐评磉^程，在這個新體系下，三角、幾何、代數(shù)間相互滲透，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。在實驗教學(xué)初期也表現(xiàn)出了非常好的進展，但也有些不足。希望能加快“重建三角”教學(xué)方案的完善和實驗教學(xué)的進度，加強對“重建三角”實驗教學(xué)中教師的培訓(xùn)并且能開發(fā)相應(yīng)的練習(xí)供學(xué)生使用，讓初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)煥發(fā)生機。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]張景中.重建三角，全局皆活——初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個建議[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2006（10）.

[3]張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

作者簡介：沈?。?995—），男，江蘇蘇州人，碩士在讀，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。