圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題探究

楊曉沐 胡豐立

摘 要 課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)內(nèi)容分為四塊，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)與綜合與實(shí)踐，圓錐曲線分屬圖形與幾何，是高中數(shù)學(xué)中解析幾何模塊中重要的一部分內(nèi)容，而求解與求證圓錐曲線中的有關(guān)定點(diǎn)問(wèn)題是圓錐曲線中的重難點(diǎn)。又因此類問(wèn)題計(jì)算量大、解題難度較高且對(duì)于考察學(xué)生是否掌握了知識(shí)間的聯(lián)系與綜合有明顯效果，成為高考數(shù)學(xué)卷中的“?？汀保黄七@一難點(diǎn)對(duì)于學(xué)生尋找數(shù)學(xué)規(guī)律、提高解題能力有重要的作用。

關(guān)鍵詞 圓錐曲線;定點(diǎn)問(wèn)題;類型;解法

中圖分類號(hào)：DF04，O241.7???????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）12-0179-01

圓錐曲線是數(shù)學(xué)人教版選修1-1?? 中的內(nèi)容，圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上涉及到了圖形的變與不變的性質(zhì)、直線方程、參數(shù)方程等，化解這一問(wèn)題需要引進(jìn)變量參數(shù)，包括表示直線方程的參數(shù)、表示數(shù)量積的參數(shù)、表示比例的參數(shù)等。筆者將從圓錐曲線的常見(jiàn)定點(diǎn)模型開(kāi)始論述，并結(jié)合案例呈現(xiàn)出一般的解題方案，希望對(duì)更多的學(xué)生有所幫助。

一、圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題的四種模型

（一）切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型

切點(diǎn)弦是指在一條曲線外的一點(diǎn)引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，再將切點(diǎn)相連就是切點(diǎn)弦。切點(diǎn)弦有一個(gè)特殊的性質(zhì)，即對(duì)于曲線 ???????，設(shè)引切線的定點(diǎn)為Q（m，0）（），切點(diǎn)為A，B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q。在圓錐曲線考題中常常會(huì)給出切線方程或切點(diǎn)坐標(biāo)求證切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)或給出定點(diǎn)求切點(diǎn)弦方程，我們將這一類問(wèn)題總結(jié)為切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。

（二）相交弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型

相交弦是指圓內(nèi)相交的兩條弦，相交弦性質(zhì)是切點(diǎn)弦性質(zhì)的拓展，因此切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的結(jié)論在相交弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題中同樣適用。不過(guò)，相較于切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，相交弦過(guò)定點(diǎn)為題涉及的坐標(biāo)更多，計(jì)算量也較之更大，解題時(shí)必須注意細(xì)節(jié)。那么什么是相交弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題呢？我們通常將涉及兩條相交弦的求證過(guò)定點(diǎn)或給出定點(diǎn)和一條弦方程求取另一條弦方程的問(wèn)題總結(jié)為相交弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。

（三）動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型

動(dòng)圓是指圓心改變半徑不變的圓，由概念可知此類圓方程一定含有未知數(shù)，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是“先對(duì)定點(diǎn)張直角”的另一種應(yīng)用，也可以說(shuō)是垂直向量的相關(guān)問(wèn)題。一般來(lái)講，此類問(wèn)題除了圓錐曲線方程必定會(huì)涉及到圓的相關(guān)組成因素，如半徑、直徑、圓心等等。

（四）“手電筒”問(wèn)題模型

“手電筒”問(wèn)題是指涉及到圓錐曲線上任意一點(diǎn)P與過(guò)P點(diǎn)相互垂直的兩條線交圓錐曲線的A點(diǎn)與B點(diǎn)組成的線段AP與BP，再加上AB線段共三條線段的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，取名“手電筒”是因這三條線段整體呈現(xiàn)的圖形與手電筒相似。

二、圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一般解法

（一）應(yīng)用“參數(shù)法”求解

圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題往往會(huì)與動(dòng)直線或動(dòng)點(diǎn)相聯(lián)系，而動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)直線因?yàn)槠涞牟淮_定性使用參數(shù)來(lái)表示，也就是將參數(shù)引入來(lái)解決問(wèn)題。在求取圓錐曲線問(wèn)題設(shè)參數(shù)可以分為設(shè)參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與用參數(shù)表示直線的斜率兩種情況。不過(guò)，不管是哪種情況，解題步驟都是一樣的。第一步，設(shè)參數(shù)來(lái)表示點(diǎn)坐標(biāo)、直線的斜率或用引入?yún)?shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)直線的夾角等;第二步，根據(jù)題目中的已知條件列出對(duì)應(yīng)的曲線方程與動(dòng)態(tài)直線方程;第三步，求直線過(guò)定點(diǎn)。如果是動(dòng)直線，將動(dòng)直線方程轉(zhuǎn)變?yōu)?img alt="" height="14" src="file：///C：/DOCUME～1/ADMINI～1/LOCALS～1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif" width="66"/>，當(dāng)k∈R時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn);如果是動(dòng)曲線，設(shè)動(dòng)曲線方程為，當(dāng)λ∈R時(shí)曲線恒過(guò)與的交點(diǎn)。舉例來(lái)講，在2016年的泰州期末卷中有一道題目為在平面直角坐標(biāo)系xOy中有橢圓C，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為??? ?????，

它的左頂點(diǎn)為A，有一條過(guò)原點(diǎn)的不與坐標(biāo)軸重合的直線與橢圓C相較于P點(diǎn)與Q點(diǎn)，直線PA，QA分別與縱坐標(biāo)軸y軸相交于M，N點(diǎn)。求證以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（即與直線PQ的斜率無(wú)關(guān)）。這道題屬于動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型，我們解這道題時(shí)需要將動(dòng)圓的方程列出，這時(shí)候我們需要求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，但M，N點(diǎn)是由PA與QA派生出來(lái)的，所以這道題關(guān)鍵是求點(diǎn)P與Q。首先，我們可以分設(shè)參數(shù)k表示直線的斜率和設(shè)參數(shù)表示P點(diǎn)或Q點(diǎn)的坐標(biāo)，我將示范設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法。第一步，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，即設(shè)P（），則Q點(diǎn)可用坐標(biāo)Q（）表示，。第二步，求解未知量，列出動(dòng)圓方程。因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，所以橢圓方程為，故定點(diǎn)坐標(biāo)A（-2，0），所以PA

方程可表示，可知PA與y軸交點(diǎn)為M（0，）;QA方程可用，同理可得交點(diǎn)N（0，。以MN為直徑的圓的方程為，結(jié)合，可將圓方程化簡(jiǎn)為。第三步，求定點(diǎn)。由直線過(guò)原點(diǎn)知，解得，故以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（）和（）。

（二）應(yīng)用“由特殊法到一般法”求解

在解決圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題且題目中沒(méi)有給出這個(gè)定點(diǎn)時(shí)，可以從一些特殊的情況出發(fā)先尋找到這個(gè)定點(diǎn)，再推理證明在一般情況下也成立，這就是又特殊到一般法。運(yùn)用這種方法解題的步驟為，首先從問(wèn)題的特殊情況入手，例如，直線的斜率不存在或直線過(guò)原點(diǎn)等求出所要求取的定點(diǎn);其次，探究一般情況;最后，總結(jié)特殊與一般，下結(jié)論。

綜上所述，圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可以分為“手電筒”問(wèn)題模型、切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型、相交弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型與動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題模型四種模型，通?？捎糜蓞?shù)法與特殊法到一般法進(jìn)行求解。

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