數(shù)學中的證據(jù)：哥德爾與胡塞爾

［挪威］達格芬·弗萊斯塔/文

李晽 劉靖賢/譯

一、哥德爾的胡塞爾研究

哥德爾于1959年開始研究胡塞爾。①WangHao， Reflections on Kurt G?del， Cambridge， Massachusetts： MIT Press， 1987， p.12.他發(fā)現(xiàn)胡塞爾與他意氣相投，很快就沉浸于胡塞爾的著作中。他擁有胡塞爾的所有主要著作，并且仔細閱讀了這些著作，在這些著作中勾畫重點并在邊頁上作出評注。我們可以看到，哥德爾的評注大多數(shù)情況下都贊同并強調胡塞爾的要點。但他有時也具有批判性，特別是針對《邏輯研究》與《歐洲科學的危機與先驗現(xiàn)象學》的某些章節(jié)所做的評注。一般來說，哥德爾最贊賞《純粹現(xiàn)象學與現(xiàn)象學哲學的觀念》 《笛卡爾沉思》以及胡塞爾1907年觀念論轉向后的其他著作。這一點是值得注意的，因為大多數(shù)“分析”哲學家認為胡塞爾的早期著作比他后期的觀念論著作更易接受。

早在哥德爾開始研究胡塞爾以前，他就在數(shù)學哲學方面表達過與胡塞爾類似的觀點。他在胡塞爾那里所發(fā)現(xiàn)的觀點與他自己的觀點并非完全不同；給他留下深刻印象的似乎是胡塞爾的整個哲學，這為哥德爾早期在數(shù)學哲學方面的觀點提供了一個系統(tǒng)性框 架。

通過哥德爾的手稿以及他在胡塞爾著作上的評注，我們可以看出，胡塞爾究竟在哪些方面吸引了哥德爾以及哥德爾如何理解胡塞爾。在我看來，哥德爾對胡塞爾的理解是出色的，這使得哥德爾成為胡塞爾最好的解釋者之一。

哥德爾在《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問題？》的修改版（1964年）中第一次提到他的胡塞爾研究。貝南塞拉夫和普特南想把這篇論文選入《數(shù)學哲學選讀》中。然而，哥德爾堅持要修改這篇論文并進行增補，因為他的哲學觀點自寫完這篇論文后已經發(fā)生改變。這種改變反映了胡塞爾對他的影響。有許多段落表明了這種影響，我發(fā)現(xiàn)如下段落非常有益，因為它看起來是晦澀的，但如果在胡塞爾知覺理論的背景下閱讀，就變得可理解。因此，這個段落有助于我們通過胡塞爾來理解哥德爾。哥德爾寫道：“有些超出感官的東西實際上是被直接給予的，這一點（獨立于數(shù)學）是從如下事實得出的，即使我們指稱物理對象的觀念也包含了在性質上不同于感官或純粹感官組合的構成成分，例如對象的觀念本身……顯然，數(shù)學背后的這種‘被給予性’與我們經驗觀念中的抽象元素密切相關。然而，這并不意味著，第二種所與（data）由于不能關聯(lián)于某物作用于我們感覺器官的行動就是純粹主觀的東西，如康德所斷言的。相反，它們也表征了客觀實在的一個方面，但與感官不同，它們的出現(xiàn)是由于我們與實在之間的另一種關系?！雹貹urt G?del， “What is Cantor's Continuum Problem？”，in Philosophy of Mathematics： Selected Readings， edited by Paul Benacerraf， Hilary Putnam， New Jersey： Prentice-Hall， 1964， pp.271—272.這個段落以簡潔但晦澀的方式表達了胡塞爾的知覺理論，這也是胡塞爾與哥德爾數(shù)學哲學的基礎。

二、胡塞爾：知覺與直觀

傳統(tǒng)知覺理論在很大程度上把知覺看作一種接受。被知覺的對象以因果方式作用于我們的感覺器官，通過神經系統(tǒng)以及大腦的過程，我們在心靈中擁有這個對象的某種表征。亞里士多德的觀點就是一個例子：“‘感官’意味著有能力不帶質料地接收事物的可感形式。這必須以如下方式來設想，一個蠟塊獲得圖章戒指的印記但不帶有鐵或金的質料?！雹贏ristotle， De Anima， II， 12， 424a18.康德的哥白尼革命轉變了這一點?？档掳阎X看作更為主動的過程，其中主體給知覺到的東西提供結構。胡塞爾追隨康德的觀點并且詳細研究了這種主動結構。

鴨兔圖有助于理解胡塞爾：當我們看鴨兔圖時，我們可以看出一只鴨子或兔子。在這兩種情況中，到達我們眼睛中的東西都是相同的，所以把知覺看作純粹接受的想法是錯誤的。這種差異必須來自我們。我們對看到的東西進行結構化，我們可以按照不同的方式進行結構化。從外面到達我們的沖動不足以唯一地確定我們所經驗的對象；還需要增加更多的東西。我們的意識是如此被結構化的，以至于這樣的圖像既可以被看作鴨子也可以被看作兔子。胡塞爾把意識的結構化活動稱為意向活動（noesis）。每個行為都有一個意向活動。意向活動是經驗的，有時間的事件。我們首先將這幅圖看作鴨子，然后突然翻轉將其看作兔子，接著又突然翻轉回來將其看作鴨子，這三種行為是不同的、在數(shù)目上有差異的意向活動。然而，第一個和第三個意向活動是非常相似的。如果它們完全相似，那么它們例示相同的意向對象（noema）。意向對象是抽象結構，由意向活動例示。這里，關于類型（type）和標記（token）的區(qū)分是有幫助的：意向活動是標記，意向對象是類

型。

兩個行為具有完全相似的意向活動，這是很少發(fā)生的。在鴨兔圖中，如果首先將其看作鴨子，然后發(fā)現(xiàn)它也可以被看作兔子，后來又翻轉回來再將其看作鴨子，那么第二次將其看作鴨子不同于第一次將其看作鴨子。如果將其看作兔子，那么我在其中學到，不應該過于確定地把這幅圖看作鴨子。一旦存在兩種意向活動之間的差別，那么相應的意向對象也是不同的。胡塞爾主要致力于研究意向活動與意向對象之間的關聯(lián) 性。

我們的意識對經驗到的東西進行結構化，如何結構化取決于我們先前的經驗，即我們當前經驗的整個背景以及其他許多因素。如果我們在鴨子的環(huán)境中長大，甚至從未聽說過兔子，那么我們會更傾向于將這幅圖看作鴨子而非兔子；兔子的觀念很可能甚至沒有出現(xiàn)在我們心中。

在胡塞爾看來，我們的所有經驗從根本上都可以按照不同的方式進行結構化；到達我們感官的東西不足以唯一地確定我們所經驗的東西。只有在少數(shù)情況中，例如在鴨兔圖中，我們才能在不同的結構化方式之間任意地進行反復推敲。

我們通常甚至沒有意識到正在進行的結構化，對象直接被我們經驗為一個有結構的對象。與布倫塔諾的另一個學生弗洛伊德一樣，胡塞爾也非常感興趣于我們通常沒有意識到的各式各樣的意識活動。我們現(xiàn)在考察一下這些活 動。

首先，我們在知覺中是有預期的。在看鴨子和兔子時，我們的預期是不同的。例如，在第一種情況中，我們預期在觸摸時可以感受到羽毛。在第二種情況中，我們預期可以感受到皮毛。如果我們獲得了預期的經驗，那么相應的意向對象的組成部分被看作充實了的。在所有知覺中總有某種充實：意向對象的某些組成部分對應于當下的“遇到眼睛”，這些部分被充實了，對于其他的感官也是類似的。我們也有關于未來和過去的“預期”。如果我看到面前的一棵大樹，轉身片刻后，我預期它在我轉身回來時仍然在那里。同樣地，在這種情況中，我也預期這棵樹在我看到它之前就已經在那里，例如，它出現(xiàn)在一天前相同位置拍攝的照片 中。

這種預期和充實把知覺與其他意識樣式區(qū)分開來，例如想象或記憶。如果我們單純地想象事物，那么我們的意向對象可以是任何東西，一頭大象站在我面前或一輛火車頭停在我面前。然而，知覺包含感官經驗；意向對象必須與感覺器官所接觸的經驗相匹配。這就排除了我在單純想象時所擁有的許多意向對象。在目前的情況中，我不能擁有關于一頭大象的知覺的意向對象。但這并不意味著，當下知覺的意向對象只能被還原為你們坐在我面前的場景。胡塞爾現(xiàn)象學的一個核心觀點是，在任何情況中，我可以擁有許多不同的知覺意向對象，它們都與當下感覺器官所接觸的經驗是相容 的。

這一點在鴨兔圖中是顯然的；我們可以在鴨子的意向對象與兔子的意向對象之間任意地進行反復推敲。然而，在大多數(shù)情況中，我們沒有意識到這種可能性。只有在意外發(fā)生時，即我所遭遇的“頑強不屈”的經驗與我意向對象中的預期不相匹配，我才開始看到一個新的對象，它不同于我先前以為我看到的對象。用胡塞爾的術語說，我的意向對象“爆炸”了，我?guī)е碌念A期擁有一個新的意向對象，它非常不同于先前的意向對象。胡塞爾認為，這總是可能的。知覺總是包含超出當下“遇到眼睛”的預期，我們總有犯錯的風險，無論我們自己感覺多么自信和確定，錯誤的知覺總是可能的。

三、無中介性

現(xiàn)在，是時候離開鴨兔圖了，因為它的一個特征很容易讓我們在理解知覺時誤入歧途。維特根斯坦用這幅圖來說明，任何看（seeing）都是看作（seeing as）。在看鴨兔圖時，我們可以將其看作鴨子或兔子。然而，知覺并不總是圖像。為了緊跟胡塞爾，我們應該換個例子，不是考慮圖像，而是考慮真實動物的輪廓。在我們面對這樣的輪廓時，我們可以將其看作鴨子或兔子。

在通常知覺中，什么是按照一種方式或另種一方式被看的東西？當然不是圖像。哲學家經常訴諸感覺材料來回答這個問題。感覺材料被認為是我們的感覺器官所把握的無結構的東西，然后被結構化為對象。

胡塞爾并沒有引入這樣的中介。沒有任何被給予的東西是在我們的行為中被結構化的。限制我們的東西并不是我們所觀察的并被賦予結構的材料。限制我們的東西是在感官被作用時我們通常所具有的經驗。胡塞爾把這些經驗稱為質料（hyle）。在神經系統(tǒng)被干擾時——例如發(fā)燒或麻醉，我們也具有質料。但是，我們通常在感覺器官被接觸時才具有這些質料。為了產生知覺，我們的質料經驗必須與意向活動和諧相 處。

在知覺行為中，質料發(fā)揮了限制作用。在想象行為中，我們的行為具有多種多樣的意向對象（noema）及其相應的對象（object），獨立于我們的感覺器官實際所發(fā)生的情況，但知覺行為是受限制的，它的意向對象與質料相容或和諧相處。這個相容性概念是錯綜復雜的：質料是經驗，它們既不具有對象的性質也不具有意向對象的性質。質料既沒有顏色也沒有形狀。它們具有時間的持續(xù)性，但這種持續(xù)性不對應于對象的持續(xù)性，對象的持續(xù)性比我們關于它經驗的持續(xù)性更長久。質料也不能從一種行為被重新識別為另一種不同的行 為。

四、設定、存在與實在

和諧概念對于理解胡塞爾的知覺理論及其與實在概念的關聯(lián)是重要的。我先前提到，我在當下情況中具有的意向對象不能對應于一頭大象的知覺。然而，我們具有的意向對象可以對應于一頭大象的想象。兩種意向對象的差別在于一個要素，即設定（thetic）。知覺行為中的意向對象把存在（existence）歸屬于它的對象，它被經驗為實在（reality）。想象行為中的意向對象沒有把實在歸屬于它的對象，質料經驗或其他限制條件也不必與意向活動的經驗相匹配。

行為的設定特征在胡塞爾的觀念論中是非常重要的。設定特征的研究讓我們洞察到它對于世界及其對象的意義：“現(xiàn)象學的觀念論不否認實在世界的實際存在……它的唯一任務和成就是澄清這種世界的意義，即在什么意義上我們都認為它是實際存在的并且實際有效的。世界的存在是無可置疑的。另一個問題是理解這種不可置疑性如何成為生活和科學的基礎?！雹貳dmund Husserl， “Nachwort zu meinen ‘Ideen zu einer reinen Ph?nomenologie und ph?nomenologischen Philosophie’”， Husserliana V， The Hague： Martinus Nijhoff， 1971， pp.152—153.這些限制對于我們把世界經驗為實在來說是至關重要的。這些限制是什么？我們表明，對象接觸我們的感覺器官就是一種限制。我們的世界觀是，我所看到的事物必須相對于我的眼睛而處于特定位置。事物在我面前，這并不是充分的。如果我向著一棵大樹轉身，而一只兔子藏身其后，那么即使我應該碰巧知道有一只兔子在那里，我也沒有與這只兔子相關的質料。因此，在我關于世界和自我的觀念與我所遭遇的質料經驗之間存在著廣泛的互 動。

五、再論預期

我們的預期通常與世界的普遍特征相關。例如，當我們看到下圖：

我們將其看作立方體，或者三個平面所形成的角，或者9條線在各個點的相交，或者許多其他的布局。在首次預期與后續(xù)預期之間存在著相互依賴性。如果我們將其看作立方體，那么我們預期，如果我們轉動它或圍著它轉，那么它將按照特定方式改變形狀。我們可能不太熟悉幾何學，不能非常準確地識別出我們的預期，但在關于事物空間移動的以往經驗沉淀的基礎上，我們很快發(fā)現(xiàn)立方體通常顯現(xiàn)中的異常情 況。

我們的預期無需建立在關于特定立方體經驗的基礎上，任意立方體都是可以的。于是，立方體的形狀是我們行為的對象，我們了解到這個形狀如何在不同視角下顯示出差別。胡塞爾把這個對象（立方體的形狀）稱為本質。這個特定立方體是一個物理對象，但它的形狀是一個普遍對象，即一個本質。英語中以-ness或-ity結尾的單詞通常都是本質的名 稱。

我們日常生活中的許多行為活動都與本質有關，而不是與個體物理對象有關。考慮蒯因和戴維森所謂的語言學習中的“三角關系”：例如，一位母親通過指著一只狗并說出“狗”來教她的孩子“狗”這個語詞。如果這個孩子在這只狗下次出現(xiàn)時說出“狗”，那么他將得到獎賞。表面看來，這個例子包含三個物理對象：母親、孩子和狗。然而，如果父親走過來把孩子抱在膝蓋上，在這只狗出現(xiàn)時父親說出“費多”，那么這個孩子可能有些困惑，但他或許認為這兩個語詞都表示狗。一只新狗再次出現(xiàn)時，孩子說出“費多”，但沒有得到獎賞。這只新狗不是費多，而是另一只狗?！肮贰边@個語詞是通名，而“費多”這個語詞是專名。為了學會這種差異，孩子必須能夠對世界的內容進行個體化，必須掌握兩個對子之間的差別：

兩滴水是相似的，但由于是兩滴，所以它們不是相同的?，F(xiàn)在的我與小時候的我是不相似的，但兩者是相同的個體。個體化與計數(shù)是一回事，它們緊密相關。把“水”這樣的物質名詞與“玻璃”這樣的物質名詞區(qū)分開來也是這樣的情況，因為水是不可分割的，但玻璃是可分割的。蒯因在《語詞和對象》以及后來的著作中也談到這一點，例如，他指出，個體化與我們的時空觀是密切相關的。

六、可確定的X

我們現(xiàn)在進入到意向對象的另一個重要組成部分：可確定的X（determinable X）。胡塞爾也稱其為意向對象的對象極（object pole），意向對象的這個組成部分對應于指向一個對象的行為。我們不是經驗一堆特征，而是經驗一個對象的諸多特征。我們把世界結構化為對象，這些對象具有性質并處于相互關系中。可確定的X具有兩個特征，它們都與個體化有 關。

首先，可確定的X構成了對象極，意向對象的其他組成部分圍繞這個對象極匯集在一起：我們的經驗是關于一個對象的經驗，這個對象具有各種性質，這個對象比我們所看到的東西更多，雖然它的性質變化了，但這個對象仍然是相同的對象。經過它所有性質的變化以及我們視角的變化，這個對象仍然被經驗為相同的：“它提前指向知覺的多樣性，這些多樣性接連不斷地相互融合，構成了知覺的統(tǒng)一性，其中持續(xù)的事物總是在一系列新的預兆中表現(xiàn)出新的‘側面’（或者舊的‘側面’）?！雹貳dmund Husserl， Ideen zu einer reinen Ph?nomenologie und ph?nomenologischen Philosophie. Erstes Buch： Allgemeine Einführung in die reine Ph?nomenologie， Husserliana III， I. The Hague： Martinus Nijhoff， 1976， p.91.

其次，可確定的X也給我們關于數(shù)目上不同的幾個對象賦予意義，但是這些對象非常相似。如果我們遇到一個對象與我們先前遇到的對象非常相似，那么我們仍會提出以下問題“這是一個相同的對象還是不相同的對象？”相反，一個對象可以改變它的性質，看起來非常不同于它以前的樣子，但仍然是相同的對象?？纱_定的X使我們區(qū)分了前面提到的兩個對子：相同與不相同，相似與不相似。兩個事物雖然相似但可能不相同。一個事物雖然變化了但仍然是相同 的。

因此，可確定的X說明了，錯誤的同一性究竟錯在哪里?！安荒苓M入到辨識意識的統(tǒng)一性中，就不能把一個人搞糊涂”——這是胡塞爾在1911年手稿中寫下的。他在這份手稿中討論了“孿生世界”問題，這個問題表明他早期關于指示代詞的理論是不充分的。胡塞爾討論的問題是：“如果兩個天體上的兩群人處于完全相似的環(huán)境，考慮‘相同’的對象，作出‘相同’的判斷，這將會怎樣？在這兩種情況中，指示代詞‘這一個’具有不同的意義嗎？”②Edmund Husserl， Vorlesungen über Bedeutungslehre， Husserliana XXVI. The Hague： Martinus Nijhoff， 1987，pp.211—213.胡塞爾對此給出一些有趣的評論，但沒有得出一個令人滿意的解決方案。他關于可確定的X的觀念使他理解了這個問題的意義，60年后普特南在“孿生地球”的思想實驗中獨立地思考了這個問 題。

七、本質洞見=本質直觀

當我們觀察一個對象時，例如一個三角形的交通標志牌。我們會把這個個體物理對象看作我們行為的對象。也就是說，我們的行為指向這個個體物理對象，我們在特定的位置上已經看到這個標志牌很多年了，它也逐漸開始褪 色。

然而，我們行為的對象也可以是一個本質，例如這個對象的三角形。我們的行為可以指向三角形或等角三角形或等邊三角形或這幅圖所例示的其他本質。如果我們行為所指向的本質是三角形，那么我們可以把這個交通標志牌替換為一個修剪得很漂亮的圣誕樹，我們的行為將會具有相同的對 象。

再看如下三幅圖：

人們把其中哪兩幅圖看作相似的？許多人認為，瓷杯和玻璃杯是相似的，因為它們都用于喝水。而少數(shù)人特別是學習拓撲學的人認為，瓷杯和甜甜圈是相似的，因為通過連續(xù)變換，它們形狀是一樣的，也就是說，瓷杯和甜甜圈都有“一個洞”，但玻璃杯沒有。這兩種答案都是正確的。在這三幅圖所例示的本質中，瓷杯和玻璃杯例示了“喝水容器”這個實用特征，瓷杯和甜甜圈例示了“單一孔洞”這個理論特征。

在日常生活中，我們更頻繁地關注于本質而非個體物理對象。我們與對象有很強的情感聯(lián)系，我們感受到與一個人的親近關系，或者，我們在睹物思人的意義上感受到與一個對象的親近關系，例如，一枚訂婚戒指、我的祖父制作的鐘表或者前面提到的那只狗，主要是在這樣的情況下，對象的個體性對我們來說才是重要的。我們通常是作為個體對象而與人類相關聯(lián)，但即使人類也經常被看作一個種類的例示。即使有些關系在傳統(tǒng)上被看作深刻的人性并且表達了深情，這些關系最終也是一個種類的成員，例如與某人在滿足性欲方面的關系。

知覺行為的對象是個體物理對象，但胡塞爾把這樣的知覺僅僅看作一般行為的特殊種類，這種一般行為給我們提供了關于行為對象的洞見。胡塞爾把這些行為稱為直觀行為或直觀。有兩類直觀：知覺和本質直觀，前者的對象是物理對象，后者的對象是本

質。直觀通過設定可以與其他種類的行為區(qū)別開來：我們把直觀的東西看作實在的而非單純想象的。直觀給我們提供了關于行為對象的洞見。當我們直觀一個對象時，我們預期了這個對象的各種特征。我們的預期有時得到后續(xù)經驗的確證，但有時這些預期沒有得到充實，我們不得不修正我們看到對象的方式。如前所說，實在性與限制性是結合在一起的。正如知覺不同于想象，直觀也不同于想象。

現(xiàn)在我們可以搞清楚前面引自哥德爾的晦澀段落，一言以蔽之，這個段落就是在回答數(shù)學基礎方面的兩個重要問題。首先，有非物質對象嗎？“有些超出感官的東西實際上是被直接給予的，這一點（獨立于數(shù)學）是從如下事實得出的，即使我們指稱物理對象的觀念也包含了在性質上不同于感官或純粹感官組合的構成成分，例如對象的觀念本身?！雹貹urt G?del， “What is Cantor's Continuum Problem？”，pp. 271—272.也就是說，知覺并非單純地是物理對象作用于我們感覺器官的結果。知覺也是有結構的。我們知覺到物理對象，但是物理對象的觀念包含了一個全面的結構，涉及算術、幾何以及其他數(shù)學分支。例如，物理對象的觀念包含了個體化的想法：諸多特征被匯集起來歸屬于相同的個體。個體之間雖然相似但仍然不相同，它們經歷變化但仍然保持同一性。對象的結構化以及它們的性質和關系對于知覺來說是至關重要的。這些抽象要素都成為我們所知覺的東西；沒有這些抽象要素，就沒有知覺。它們是經驗世界的特征，但它們不是知覺的對象而是本質直觀的對象。我們預期了這些特征，但這并不使這些特征比物理對象更具有主觀性，物理對象本身也是這些特征的一部 分。

其次，我們如何認識非物質對象？“顯然，數(shù)學背后的這種‘被給予性’與我們經驗觀念中的抽象要素密切相關。然而，這并不意味著，第二種所與（data）由于不能關聯(lián)于某物作用于我們感覺器官的行動就是純粹主觀的東西，如康德所斷言的。相反，它們也表征了客觀實在的一個方面，但是與感官不同，它們的出現(xiàn)是由于我們與實在之間的另一種關系?！雹贗bid.因此，我們經驗到“我們經驗觀念中的抽象要素”，這不是因為它們是以因果的方式作用于我們的物理對象，而是因為它們是同樣客觀實在的要素。我們在關于世界的經驗中進行預期，然后在關于世界的后續(xù)探索中放棄或修正這些預期。所以即使“我們經驗觀念中的抽象元素”也受到限制并需要修正。

如前所說，經驗限制對于把某物看作實在來說是至關重要的。我們給出信念并作出預期，對后續(xù)經驗進行修正。把某物經驗為實在的，這意味著我們覺察到它的存在和性質并不完全取決于我們。數(shù)學不同于象棋，象棋受限于我們所制定的規(guī)則。但我們可以自由地改變規(guī)則，這是在象棋的歷史中所發(fā)生的事情，正如足球和其他體育運動中所發(fā)生的規(guī)則改變。反對者或許認為，數(shù)學中的情況也是類似的，例如，人們發(fā)展出新的幾何理論。但是非歐幾何最終運用于物理學。從數(shù)學角度看，任何幾何理論都是對一個結構的探索。所有數(shù)學分支中的情況都是這樣的。從純粹形式角度看，有些結構被證明是非常有趣的。例如，在代數(shù)中被稱為“群”的簡單數(shù)學結構開啟了一個新的領域，類似地，數(shù)學中的其他想法也提出新的洞見并探索了非常有趣的結構。

哥德爾經?；氐綌?shù)學中的限制與數(shù)學對象的存在之間的關聯(lián)：“數(shù)學家的活動很少表現(xiàn)出一個創(chuàng)造者所享有的自由。例如，雖然整數(shù)的公理是一個自由發(fā)明，但仍然必須承認的是，在設想出研究對象的初始公理后，數(shù)學家停止了他的創(chuàng)造力，他也不能任意創(chuàng)造定理的有效性。如果數(shù)學中有任何創(chuàng)造性，那么定理所做的恰恰是限制這種自由創(chuàng)造。然而，限制性顯然獨立于創(chuàng)造性。”①Kurt G?del， “Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and their Implications”， in Kurt G?del：Collected Works， Vol. III， edited by Feferman et al， Oxford： Oxford University Press， 1995， p.314.

以下引自哥德爾的段落也支持了胡塞爾式的解讀。首先，關于數(shù)學對象的客觀存在：“數(shù)學直觀對象的客觀存在問題（順便提一下，這個問題恰好是外部世界客觀存在問題的翻版）。”②Kurt G?del，， “What is Cantor's Continuum Problem？”， p.272.其次，關于知覺與數(shù)學直觀：“雖然遠離感覺經驗，但我們就集合論的對象而言確實有某種類似知覺的東西，這可以從如下事實中看出，公理迫使我們承認其為真。我們沒有任何理由對這種知覺（數(shù)學直觀）比對感官知覺更缺少信心，后者引導我們構建物理學理論并期望與未來的感官知覺相一致?！雹跧bid.， 1964， p.271.

八、數(shù)學中的歸納法

如我們所看到的，胡塞爾與哥德爾給出了物理世界經驗與數(shù)學中抽象世界經驗之間的一些平行關系。我們也將看到，他們在方法上也有相似性。如下重要段落引自哥德爾的吉布斯講座：“如果數(shù)學像物理學那樣描述了客觀世界，那么沒有理由認為歸納法不應該像在物理學中一樣運用在數(shù)學中。事實是，我們當今對待數(shù)學的態(tài)度仍像過去對待所有科學的態(tài)度一樣，也就是說，我們試圖從定義（用本體論術語來說，從事物的本質）按照有說服力的證明來推出一切。如果這種方法想要壟斷一切，那么它在數(shù)學中與在物理學中一樣都是錯誤的。”④Kurt G?del， “Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and their Implications”， p.313.關于類與概念，哥德爾還寫道：“對我來說，這些對象的假設似乎與物理對象的假設一樣都是合法的，非常有理由相信它們是存在的。在相同的意義上，它們對于一個令人滿意的數(shù)學系統(tǒng)來說是必要的，正如物理對象對于一個令人滿意的感官知覺理論來說是必要的，在這兩種情況中都不可能把人們關于這些實體所斷定的命題解釋為關于‘所與’的命題?！雹軰urt G?del， “Russell's Mathematical Logic”， in The Philosophy of Bertrand Russell， edited by Paul Arthur Schilpp， La Salle， Ill.： Open Court， 1944， p.137.值得注意的是，上述兩個段落寫于哥德爾研究胡塞爾之前。這就證實了，哥德爾在研究胡塞爾之前已經具有了與胡塞爾類似的想法。據(jù)說，胡塞爾為這些想法所提供給的系統(tǒng)性框架給哥德爾留下深刻印象。

因此，胡塞爾與哥德爾一樣，他們都堅持認為，數(shù)學與物理學一樣都通過假設展開：我們首先提出與邊界條件似乎相匹配的假設，然后研究它們如何匹配，從它們之中得出結論，再檢查這些結論是否匹配。

九、哥德爾論數(shù)學中的證據(jù)

哥德爾認為，我們對數(shù)學對象有某種類似于知覺的東西，這并不意味著，數(shù)學可以達到確定性。知覺和本質直觀都不是不可錯的證據(jù)來源。它們總是涉及關于對象各個方面的預期，這些預期尚未被探索，有可能最終是錯誤的。胡塞爾承認，即使在數(shù)學和邏輯中錯誤也總是可能的。哥德爾概述了四種方法，人們借此來獲得關于數(shù)學領域的洞見。

第一，基本結論。正如我們通過可觀察的預言來檢驗高度普遍的物理學理論，哥德爾認為，數(shù)學對象“在相同的意義上對于一個令人滿意的數(shù)學體系來說是必要的，正如物理對象對于一個令人滿意的感官知覺理論來說也是必要的”①Kurt G?del， “Russell's Mathematical Logic”， p.128.。哥德爾也指出，深奧的公理也具有基本結論。因此，在討論各種無窮公理時，哥德爾認為，“可以證明的是，這些公理在超窮數(shù)領域之外也具有結論，這是這些公理的直接主題：在一致性的前提下，每個主題都可以增加可判定命題的數(shù)目，即使在丟番圖方程中也是這樣”②Kurt G?del， “What is Cantor's Continuum Problem？”， p.264.。

第二，“成功”。哥德爾還指出另一個原因說明我們?yōu)槭裁窗岩粋€公理看作真的：“關于真理的概然判定按照另一種方式也是可能的，也就是說，通過‘成功’來歸納地學習。這里，成功意味著結論的豐富性，特別是可證實結論的豐富性，即在沒有新公理的情況下可演證的結論，但是，在新公理的幫助下這一證明過程變得簡單并且易于發(fā)現(xiàn)，也有可能把許多不同的證明縮減為單一的證明。在這個意義上，直觀主義者所拒斥的實數(shù)公理系統(tǒng)就在某種程度上得到證實。”③Ibid.， p.265.因此，在這種情況下，重要的不是推導出新定理，而是以優(yōu)雅的方式從公理中推導出舊定理。這種簡化經常是通過以新的方式看待舊的材料來實現(xiàn)的。

第三，澄清。有時我們發(fā)現(xiàn)，兩個或多個非常不同的類都可以滿足我們所設定的公理。于是，通過反思這些公理所要試圖捕捉的概念，我們發(fā)現(xiàn)，其中一個類不匹配于這個概念。哥德爾認為，“可以猜想的是，連續(xù)統(tǒng)問題不能在現(xiàn)有公理的基礎上得到解決，但是，另一方面，這個問題在新公理的幫助下可能得到解決，這些新公理表述了或蘊涵著集合的可定義性?！雹貹urt G?del， “What is Cantor's Continuum Problem？”， p. 266.

第四，系統(tǒng)性。在一份討論胡塞爾現(xiàn)象學的手稿中，哥德爾提到第四種獲得新公理的方法，也就是說，按照系統(tǒng)方式來安排公理，以此使我們發(fā)現(xiàn)新公理：“在數(shù)學公理的系統(tǒng)性安排中，雖然新公理不是按照形式邏輯的方式從已有公理中得出的，但新公理三番五次地變得顯明。任何明確提出的是或不是的問題都可以按照這種方式得到解決，這并沒有被不完全性定理這個否定性結論所排除。越來越多的新公理在初始概念意義的基礎上變得顯明，機器不能模擬這種顯明性。”②Kurt G?del， “The Modern Development of the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy，” in Kurt G?del： Collected Works， Vol. III， editedby Feferman， et al.，Oxford： Oxford University Press， 1995，p. 385.

胡塞爾提出過證成的“反思均衡”方案③參見Dagfinn F?llesdal， “Husserl on evidence and justification，” in Edmund Husserl and the Phenomenological Tradition： Essays in Phenomenology，edited by Robert Sokolowski， Washington： The Catholic University of America Press， 1988， pp. 107—129.，系統(tǒng)化作為一種澄清概念的方法被胡塞爾賦予重要意義。這在他的證成觀中是一個重要因素。