基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律

陳澤宏,鐘繼鴻,趙宏宇,王 鑒

(1. 空軍駐上海地區(qū)第一軍事代表室，上海 201109； 2. 上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

考慮到導(dǎo)引頭測(cè)量信息的特點(diǎn)，目前應(yīng)用最廣泛的制導(dǎo)律是比例導(dǎo)引律和修正比例導(dǎo)引律。比例導(dǎo)引律易于實(shí)現(xiàn)且導(dǎo)彈具有較好的彈道特性，能滿足導(dǎo)引律的基本要求。但是，由于初始誤差、導(dǎo)彈速度變化、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等對(duì)比例導(dǎo)引律的影響，導(dǎo)彈需用過(guò)載變化很大，甚至在彈目接近過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)需用過(guò)載過(guò)早飽和而導(dǎo)致比例導(dǎo)引性能大大下降，最終脫靶量過(guò)大的情況。隨著目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性能和速度不斷提升，末端制導(dǎo)信息存在不連續(xù)變化，經(jīng)典導(dǎo)引規(guī)律的不足日益凸現(xiàn)。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，許多學(xué)者提出了新的現(xiàn)代導(dǎo)引律[1-5]。根據(jù)技術(shù)指標(biāo)的要求，在引入性能指標(biāo)函數(shù)基礎(chǔ)上利用極小值原理得到的最優(yōu)制導(dǎo)律，在攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)或者小機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)能取得良好的制導(dǎo)效果。滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)思想比較簡(jiǎn)單，在解決參數(shù)不確定的非線性控制系統(tǒng)問(wèn)題的時(shí)候有很大優(yōu)勢(shì)。許多研究者針對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，還有類似基于人工智能的制導(dǎo)律、微分對(duì)策制導(dǎo)律等。

然而，上述大多數(shù)制導(dǎo)律都是基于漸近穩(wěn)定性或者指數(shù)穩(wěn)定性方法設(shè)計(jì)的，只有當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，視線角速度才會(huì)為零，而實(shí)際上末制導(dǎo)過(guò)程的時(shí)間是有限的。同時(shí)，在上述制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中往往沒有考慮導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)特性的影響，如果考慮制導(dǎo)末端的制導(dǎo)控制回路特性，彈目視線角速度實(shí)際上將趨向于發(fā)散，導(dǎo)彈需用過(guò)載將急劇增大，可能導(dǎo)致制導(dǎo)回路失穩(wěn)。因此，上述制導(dǎo)律的主要缺點(diǎn)是存在視線角速度收斂時(shí)間和穩(wěn)定控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的問(wèn)題?；诜蔷€性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性方法，文獻(xiàn)[6]提出了一種使視線角速度有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)律。根據(jù)有限時(shí)間收斂控制理論，文獻(xiàn)[7]應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了一種考慮導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)二階動(dòng)態(tài)特性的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律。

制導(dǎo)控制回路是探測(cè)制導(dǎo)系統(tǒng)與穩(wěn)定控制系統(tǒng)組成的非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，因此反步控制設(shè)計(jì)方法適用于考慮導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。在末制導(dǎo)中，對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)而言，主要的干擾其實(shí)是目標(biāo)的機(jī)動(dòng)和測(cè)量噪聲。在未考慮穩(wěn)定控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)律中，造成脫靶量變大的最主要原因是導(dǎo)彈加速度響應(yīng)滯后于制導(dǎo)指令，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)怪茖?dǎo)回路失穩(wěn)。 在本文中，為提高閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)的性能，考慮到穩(wěn)定控制系統(tǒng)為一階環(huán)節(jié)，利用反步設(shè)計(jì)方法，在進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)合了加速度指令的積分控制，并根據(jù)平行接近導(dǎo)引法思想，推導(dǎo)了一種新的有限時(shí)間制導(dǎo)律。理論分析證明，該方法能夠在彈目交會(huì)前使彈目視線角速度收斂到零。為了對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行有效補(bǔ)償，本文將擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer, ESO)的反步設(shè)計(jì)應(yīng)用到有限時(shí)間制導(dǎo)律中，對(duì)彈目視線角速度的跟蹤與目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

為了便于問(wèn)題分析，考慮平面制導(dǎo)問(wèn)題，彈目運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1所示。在參考坐標(biāo)系oxz中，導(dǎo)彈(M)與目標(biāo)(T)之間的連線為視線，視線與ox軸夾角q為視線角，R為彈目相對(duì)距離，vM、vT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，aMq、aTq分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于視線的加速度，aMR、aTR分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)沿著視線方向的加速度。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of missile-target relative motion

根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系可得

(1)

實(shí)際中導(dǎo)彈響應(yīng)加速度指令是動(dòng)態(tài)的，因此在本文中考慮導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié),其表達(dá)式為

(2)

式中：τ為加速度響應(yīng)時(shí)常數(shù)；u為加速度控制指令。

(3)

(4)

2 有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律

經(jīng)典飛行力學(xué)指出，無(wú)論目標(biāo)進(jìn)行何種機(jī)動(dòng)飛行，當(dāng)采用平行接近導(dǎo)引時(shí)，導(dǎo)彈需用法向過(guò)載總是小于目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)的法向過(guò)載，這樣可減小對(duì)導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)性能的要求。根據(jù)平行接近法思想，在末制導(dǎo)過(guò)程中，要求視線角速度盡可能快地收斂到零。

(5)

本文利用反步設(shè)計(jì)方法，有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律設(shè)計(jì)分為以下3個(gè)部分內(nèi)容。

2.1 制導(dǎo)控制回路指令設(shè)計(jì)

導(dǎo)引頭可測(cè)得彈目視線角速度，然后通過(guò)制導(dǎo)指令形成裝置產(chǎn)生導(dǎo)彈加速度指令。根據(jù)平行接近法，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)指令應(yīng)使得式(3)有限時(shí)間穩(wěn)定，即x1→0。對(duì)此有如下定理。

定理1：若設(shè)計(jì)的虛擬制導(dǎo)指令x2c為

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)得

(8)

由此可得

(9)

2.2 穩(wěn)定控制回路指令設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)加速度控制指令u，使得x2有限時(shí)間跟蹤上x2c。在式(4)中取狀態(tài)反饋控制為

u=τk+x2

(10)

式中：k為待設(shè)計(jì)的控制量。

由于存在導(dǎo)彈加速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程，x2與x2c存在誤差，即跟蹤誤差。定義加速度跟蹤誤差e=x2-x2c，則有

(11)

將式(3)代入到式(11)可得

(12)

將x2=e+x2c代入式(3)可得

(13)

定理2：對(duì)于式(12)和式(13)，若取控制量k為

(14)

則加速度跟蹤誤差e和彈目視線角速度x1有限時(shí)間收斂到零。

證明：選取新的Lyapunov函數(shù)為V2=V1+|e|，則有

(15)

(16)

將式(14)代入式(12)，并整理可得

(17)

則有

(18)

由于δ>‖aTq‖且g(x1)>0，R>0，則有并且所以由式(18)可得

(19)

對(duì)于任意常數(shù)p、x、y，當(dāng)p≥1時(shí)有(|x|+|y|)1/p≤|x|1/p+|y|1/p成立，則由式(19)可得

(20)

根據(jù)引理1可知，彈目視線角速度x1和加速度跟蹤誤差e有限時(shí)間收斂到零。

2.3 基于ESO的制導(dǎo)控制回路指令設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

由式(6)可得

(21)

將式(3)代入式(21)可得

(22)

對(duì)式(22)設(shè)計(jì)ESO可得

(23)

式中：

z1跟蹤彈目視線角速度x1；z2跟蹤系統(tǒng)模型的干擾項(xiàng)與未知部分f2。由此可得彈目視線角速度估計(jì)和目標(biāo)機(jī)動(dòng)估計(jì)值。由此可得

(24)

式中：ω1=(f1(z1,x2)+z2)/b+ω。同理，對(duì)式(24)設(shè)計(jì)ESO可得

(25)

式中：x1c為期望彈目視線轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，令x1c=0以實(shí)現(xiàn)平行接近導(dǎo)引；z3跟蹤控制量ω1。由此可得，基于ESO的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)指令為

(26)

3 仿真驗(yàn)證

在末制導(dǎo)段考慮導(dǎo)引頭測(cè)量噪聲進(jìn)行仿真。假設(shè)導(dǎo)彈加速度響應(yīng)時(shí)常數(shù)為τ=0.4 s，初始位置為xM(0)=4 000 m、zM(0)=500 m，速度vM=1 000 m/s。目標(biāo)初始位置為xT(0)=16 000 m、zT(0)=3 500 m，速度vT=800 m/s。假定導(dǎo)彈初始彈道偏角指向目標(biāo)。導(dǎo)彈可用加速度為400 m/s2。仿真中，目標(biāo)飛行方式分別設(shè)為平飛和aT=100 sin(2πt/5) m/s2的正弦機(jī)動(dòng)，并在相同的初始條件下與增強(qiáng)型比例導(dǎo)引(augmented proportional navigation，APN)方法進(jìn)行對(duì)比。

1) 目標(biāo)平飛

彈目視線角速度和導(dǎo)彈加速度的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示，目標(biāo)平飛時(shí)加速度估計(jì)如圖6(a)所示，脫靶量見表1。

(a) 彈目視線角速度 (b) 加速度指令與輸出圖2 本文制導(dǎo)律仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of guidance law in this paper

(a) 彈目視線轉(zhuǎn)率 (b) 加速度指令與輸出圖3 APN制導(dǎo)律仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of APN guidance law

2) 目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)

彈目視線角速度和導(dǎo)彈加速度的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)時(shí)加速度估計(jì)如圖6(b)所示，脫靶量見表1。

(a) 彈目視線轉(zhuǎn)率 (b) 加速度指令與輸出圖4 本文制導(dǎo)律仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of guidance law in this paper

(a) 彈目視線轉(zhuǎn)率 (b) 加速度指令與輸出圖5 APN制導(dǎo)律仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of APN guidance law

(a) 平飛情況下 (b) 正弦機(jī)動(dòng)情況下圖6 基于ESO的目標(biāo)加速度估計(jì)結(jié)果Fig.6 Target acceleration estimation based on ESO

表1 目標(biāo)平飛和正弦機(jī)動(dòng)情況下的脫靶量Tab.1 Miss Distance when target in level flightand sinusoidal maneuver

圖2～5中，(a)圖表明：在本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律下，視線角速度能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近；目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)情況下視線角速度最后才發(fā)散，目標(biāo)平飛情況下視線角速度不發(fā)散，所以制導(dǎo)精度較高。由于APN設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略了加速度響應(yīng)延遲，所以平飛和機(jī)動(dòng)情況下視線角速度均較早發(fā)散，導(dǎo)致脫靶量較大。

圖2～5中，(b)圖給出了兩種制導(dǎo)律下的加速度指令和導(dǎo)彈加速度的變化過(guò)程。可以看出：制導(dǎo)過(guò)程開始時(shí)，本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律下的導(dǎo)彈加速度相對(duì)較大，視線角速度能夠快速地收斂到零附近；而APN下的導(dǎo)彈初始加速度相對(duì)較小，所以視線角速度收斂慢，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下APN末端所需加速度較早被限幅，且加速度響應(yīng)滯后于指令。從圖4(b)中可見導(dǎo)彈輸出加速度能夠快速準(zhǔn)確跟蹤加速度指令，這是因?yàn)楸疚脑谥茖?dǎo)律設(shè)計(jì)中考慮了穩(wěn)定控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

圖6給出了采用ESO方法估計(jì)得到的目標(biāo)加速度情況。ESO方法能夠快速收斂并準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)加速度，在末端時(shí)彈目距離較近，ESO估計(jì)值與實(shí)際值的誤差變大，因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)彈目交會(huì)前0.5 s不再接入目標(biāo)加速度補(bǔ)償，以保證制導(dǎo)精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮導(dǎo)彈穩(wěn)定控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律。通過(guò)理論分析和仿真驗(yàn)證可知，該制導(dǎo)律能夠使視線角速度在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近。與APN相比，本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的加速度跟蹤指令滯后小，導(dǎo)彈末端加速度小，制導(dǎo)精度更高，對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)具有魯棒性。