悟向量四通法 破高考八方題*

(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)，浙江 金華 321004)

1 向量的特點(diǎn)

向量是幾何與代數(shù)交匯的數(shù)學(xué)知識，融“數(shù)”“形”于一體[1].一方面向量有大小、坐標(biāo)表示、數(shù)量積等代數(shù)特征；另一方面向量有圖形、方向、夾角等幾何特征.向量廣泛運(yùn)用于函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何等，在處理長度、角度、位置關(guān)系等問題中具明顯優(yōu)勢.向量是數(shù)形結(jié)合的有效工具，當(dāng)向量問題無法直接處理時，通?？赊D(zhuǎn)化為數(shù)或形使問題變得簡潔明了.因此，向量問題蘊(yùn)含“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化化歸”思想，有利于提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

先從運(yùn)算說起，設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中x1，x2，y1，y2∈R,則相關(guān)運(yùn)算如表1所示.

表1 向量的相關(guān)運(yùn)算

向量的多種運(yùn)算啟示我們，在處理向量問題時可使用直接法、數(shù)形結(jié)合(圖解法)、坐標(biāo)法、基向量法等方法.

圖1

2 問題展示

(2019年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

此題的特點(diǎn)：1)形式復(fù)雜但運(yùn)算單一，全為數(shù)乘向量，λi只有兩個值；2)圖1為邊長是1的正方形，雖簡約但各邊和對角線同時出現(xiàn)，分量重.

思路1向量太多，可否變得集中些？

考慮用基向量法：

圖2

思路2正方形ABCD比較適合通過建系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，采用坐標(biāo)法.

接下去與思路1相同.

3 各顯神通

為凸顯各法的特點(diǎn)以及使用條件，筆者將2019年全國高考卷中所有向量考題一一歸類，輔以部分歷年有代表性的高考題，通過分析各種題型特征，為求解向量問題快速找到突破辦法.

3.1 直接法

例2已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a⊥b，則m=______.

(2019年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

分析因?yàn)閍⊥b，所以a·b=-4×6+3×m=0，得m=8.向量a，b的坐標(biāo)已知，故可直接利用數(shù)量積公式運(yùn)算.

例3已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，則a與b的夾角為

( )

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第7題、文科試題第8題)

分析此題涉及的知識點(diǎn)有：1)b2=|b|2；2)(a-b)⊥b，則(a-b)·b=0；3)向量的夾角公式．

以上知識均屬《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試說明》中的“掌握”內(nèi)容，因此該題無需數(shù)形結(jié)合或者轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，屬直接法．

類似的考題還有：

例4已知向量a=(2,2)，b=(-8,6)，則cos=______.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ文科試題第13題)

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第13題)

例6已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a-b|=

( )

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ文科試題第3題)

( )

A．-3 B．-2 C．2 D．3

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第3題)

3.2 數(shù)形結(jié)合

( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

(2019年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖3

( )

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第6題)

例10已知平面向量a，b(其中a≠0，a≠b)滿足|b|=1，且a與b-a的夾角為120°，則|a|的取值范圍是______．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

此外，采用數(shù)形結(jié)合法解決的向量問題中部分還可以使用“投影法”或“等值線法”快速解決．

3.2.1 投影法

( )

圖4

(2016年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

3.2.2 等值線法

( )

圖5 圖6

(2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第12題)

共線定理中的3個向量的特點(diǎn)是同起點(diǎn)，若具備λ+μ=1，則3個向量的終點(diǎn)共線，因?yàn)橹灰c(diǎn)A在直線BC上，均有λ+μ=1，所以直線BC可稱為λ+μ的等值線．若點(diǎn)A在另一條與BC平行的直線上運(yùn)動，則λ+μ的值也保持不變．

3.2.3 坐標(biāo)法

2019年數(shù)學(xué)高考題中需轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)法求解的考題不多，天津卷第14題可以用坐標(biāo)法解決.這里再列舉幾個歷年考題．

圖7

( )

(2018年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

此題中有AB⊥BC，AD⊥CD，垂直是建系的一種“暗號”，提醒我們?nèi)绻苯臃ɑ蛘邎D形運(yùn)算不能做出來的時候，可以通過建系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．

歷年高考卷中可用坐標(biāo)法解決的考題還有：

( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

( )

(2017年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第7題)

圖8

3.2.4 基向量法

(2019年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

當(dāng)一個考題中向量個數(shù)多顯得“雜亂”時，可選取適當(dāng)?shù)幕?，將所有向量轉(zhuǎn)化為基底表示，最后變?yōu)閮蓚€向量的問題，進(jìn)行“瘦身”運(yùn)動.

可用基向量法解決的考題還有：

(2019年天津市數(shù)學(xué)高考文、理科試題第14題)

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

向量的多種運(yùn)算形式已在前面詳細(xì)說明，下面對各種解法適用的特征做簡單小結(jié)：

1)不管涉及向量的字母運(yùn)算、圖形運(yùn)算還是坐標(biāo)運(yùn)算，凡是在求模、夾角、數(shù)量積中可由題中條件直接得出結(jié)果，不需要另外建系、畫圖或者分解之類的，都屬于直接法．

2)圖形語言描述向量問題可使問題變得直觀，如a·b=0表達(dá)垂直，|a-b|=1表達(dá)兩點(diǎn)間距離，|a|=1且a·b=1，則表達(dá)投影.以上信息，均可用向量的圖形語言表達(dá)，有時“取值范圍”的問題用圖形運(yùn)算特別合適，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”法的優(yōu)勢．

3)坐標(biāo)法與圖形語言不同，坐標(biāo)法是將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，使用坐標(biāo)法得先判斷建系與向量的坐標(biāo)表示是否便捷．

4)問題中出現(xiàn)多個不同向量時，可選取適當(dāng)?shù)幕祝瑢⑺邢蛄坑没妆硎?，進(jìn)行“瘦身”運(yùn)動，最后變?yōu)閮蓚€向量的問題.

當(dāng)然，很多時候，光靠某一種解法可能還不夠，可將以上方法綜合應(yīng)用，如文中例1需要數(shù)形結(jié)合、直接法、坐標(biāo)法等多種方法結(jié)合才能解決.

4 教學(xué)建議

向量問題中蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想、方法，是認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展核心素養(yǎng)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提高四基四能的重要載體.因?yàn)橄蛄繂栴}表達(dá)抽象、方法靈活，所以很多學(xué)生都畏懼.但通覽近幾年的向量問題，均可用上述方法解決，說明向量問題有章法可循，因此筆者提供的教學(xué)建議是：1)要求學(xué)生掌握向量的3種運(yùn)算，熟記平行、垂直的向量表達(dá)公式，這是基礎(chǔ)；2)教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解向量的特征，從符號語言、圖形語言、坐標(biāo)語言等角度分析向量問題，及時歸類和鞏固，培養(yǎng)學(xué)生一題多解、多題一解的能力，進(jìn)而掌握以上4種通法.