從一道高考解析幾何試題產生聯(lián)想*

(太湖中學,安徽 太湖 246400)

1 試題分析

1)若|AF|+|BF|=4，求直線l的方程；

(2019年全國數(shù)學高考卷Ⅰ理科試題第19題)

即

y2-2y+2b=0,

y1=-3y2.

又y1+y2=2，y1y2=2b，從而

y1=3,y2=-1,

說明本題雖然難度不大，但解析幾何中的設點設線、聯(lián)立消元、韋達定理、根的判別式Δ>0、條件轉換(包括向量關系代數(shù)化、斜率關系、中點關系、弦長公式和活用定義等)，都在解題過程中得到了很好的體現(xiàn)，并對解析幾何中一些重要的思想方法進行了有效考查.

2 聯(lián)想探究

2.1 逆向聯(lián)想

對上題中的第1)小題作逆向思考，題設與結論互換得到：

聯(lián)想1[1]已知拋物線C:y2=3x的焦點為F，直線l:12x-8y-7=0與C的交點為A，B，求|AF|+|BF|.

144x2-360x+49=0,

從而

于是

2.2 特殊聯(lián)想

將直線l特殊化，它經過焦點F,得到：

聯(lián)想2已知拋物線C:y2=3x的焦點為F，直線l經過點F,且與C的交點為A，B.若|AF|+|BF|=4，求直線l的方程.

分析設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為

2.3 引申聯(lián)想

將直線斜率一般化，得到:

聯(lián)想3已知拋物線C:y2=3x的焦點為F，斜率為k的直線l與C的交點為A，B.若|AF|+|BF|=4，求直線l的方程.

k2x2+(2kb-3)x+b2=0,

由Δ=(2kb-3)2-4×k2b2>0,得

因為|AF|+|BF|=4，所以

即

將拋物線一般化，得到：

x1+x2+p=4.

將直線斜率和拋物線都一般化，得到：

聯(lián)想5已知拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點為F，斜率為k的直線l與C的交點為A，B.若|AF|+|BF|=4，求直線l的方程.

k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,

由Δ=(2kb-2p)2-4k2b2>0,得p>2kb.因為|AF|+|BF|=4，所以

x1+x2+p=4.

2.4 類比聯(lián)想

從拋物線向橢圓類比，得到：

從拋物線向雙曲線類比，得到：

2.5 混合聯(lián)想

從特殊化、類比兩者混合聯(lián)想得到:

(k2+2)y2+2ky-1=0,

從引申、類比兩者混合聯(lián)想得到:

(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,

由Δ=(4kb)2-4×2(1+2k2)(b2-1)>0,得

b2<2k2+1.

代入b2<2k2+1,得

從引申、類比兩者混合聯(lián)想又得到：

(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0,

由Δ=(4kb)2+4×2(1+2k2)(b2+1)>0,得

以上從一道高考題出發(fā)，通過多側面、多方向、多角度思考得到10個聯(lián)想.在整個探究過程中,融觀察、類比、猜想、證明于一體，3種圓錐曲線之間內在規(guī)律的和諧美、對稱美和統(tǒng)一美盡現(xiàn)其中.這給我們的啟示是:好的高考題往往具有針對性、示范性和拓展性，如果就題論題，就很難發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系、差異、規(guī)律和本質，如果認真思考、認真研究、認真比較，通過逆向聯(lián)想、特殊聯(lián)想、引申聯(lián)想、類比聯(lián)想、混合聯(lián)想等等，就能得到很多有價值的東西.數(shù)學教師在教學中若能恰當運用上述方法，則能有效培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、深刻性、廣闊性和創(chuàng)新性，促使學生的思維能力和解題水平達到一個新的高度[3].