“分”的巧妙 解的精彩*
——導(dǎo)數(shù)證明不等式策略的探究

(池州市第一中學(xué)，安徽 池州 247000)

用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧往往比較靈活，本文主要探究用“分”的技巧證明不等式.“分”的技巧主要有以下7個(gè)：分常、分函、分參、分類、分元、分隔、分拆，這些技巧是證明有關(guān)不等式的利器和法寶，對(duì)思維有很大的啟發(fā)作用，值得我們思考并加以總結(jié).

1 分常

分常，指的是分離“常數(shù)”.有些問題中，如果把式子中的某個(gè)關(guān)鍵的“常數(shù)”分離出來，問題求解就會(huì)變得簡單、巧妙.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的最值點(diǎn)不同，所以

2 分函

分函，指的是分離“函數(shù)”.這個(gè)函數(shù)主要指的是兩個(gè)特殊的函數(shù)：①y=lnx，②y=ex，這兩個(gè)函數(shù)可以說是最為重要、最為活躍的函數(shù)，它們出現(xiàn)的頻率很高，很多問題都涉及這兩個(gè)函數(shù).我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)，常常要把這兩個(gè)函數(shù)分離出來，使問題求解變得簡單.

則

易知f′(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，從而

于是

f(x)>0,

故

評(píng)注本題就是將函數(shù)lnx分離出來，這樣求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)就是冪函數(shù)，使問題求解變得簡單.

3 分參

分參，指的是分離“參數(shù)”.含參數(shù)的問題是最為常見的問題之一，解決這類問題有一個(gè)很重要的方法就是分離參數(shù)，分離參數(shù)最大的好處就是避免繁雜的討論.

則

易知

x-lnx-1≥0，

從而當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，于是F(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故

F(x)≥F(1)=e.

又a≤e，從而

f(x)≥a，

命題得證.

評(píng)注本題就是通過分離參數(shù)，使問題求解變得簡單.

4 分類

分類，指的是分類討論.這也是解決問題的常用方法，而且是高考幾乎必考的方法之一，考查學(xué)生的思維能力，難度一般較大.

對(duì)于例3，下面利用分類討論的方法求解.

證法2由題意知定義域是x>0.令

則

1)若a≤0，則

ex-ax>0，

從而

f(x)min=f(1)=e-a>0.

2)若1

h(x)=ex-ax，

則

h′(x)=ex-a,

易知h(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，從而h(x)min=h(lna)=a-alna=a(1-lna)≥0,于是f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞)上單調(diào)遞增，故

f(x)min=f(1)=e-a≥0.

3)若0

h′(x)=ex-a>1-a>0,

從而h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,于是

h(x)>h(0)=1>0,

進(jìn)而f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增，故

f(x)min=f(1)=e-a>0,

綜上可知f(x)≥0，命題得證.

g(x)min=g(1)=e，

進(jìn)而

故

ex≥ax.

可見，本題“分參”比“分類”要簡單.

5 分元

分元，指的是一個(gè)式子中如果含有多個(gè)變量，可以將其中一個(gè)變量作為主元，即所謂的“主元思想”.這種方法也是解決問題的一個(gè)重要方法，如果能夠巧妙運(yùn)用，可使問題解決變得簡單.

對(duì)于例3，下面利用分元的方法進(jìn)行證明.

易知ex-ex≥0，從而g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增，于是

g(x)min=g(1)=e-e=0，

進(jìn)而

g(x)≥0，

即

命題得證.

評(píng)注證法3用到了分元，即“主元思想”的運(yùn)用，這是處理多元變量的常用方法.從本題的解答中，還可以得出這樣一道變式題“求證：ex≥e(x2-xlnx)”.此題如果從分離函數(shù)的角度去考慮，是分離函數(shù)ex還是分離函數(shù)lnx？證法3實(shí)際上就是分離函數(shù)lnx，若分離函數(shù)ex，則證明比較困難，要用到三階求導(dǎo)，且需要敏銳地觀察出零點(diǎn)x=1.由此可見，一般情況下，如果一個(gè)式子中既有l(wèi)nx又有ex，分離lnx比分離ex好，這是值得我們注意的地方.

6 分隔

分隔，就是找到一條直線或一條曲線，將兩個(gè)函數(shù)圖像分隔開來，一個(gè)在直線的上方，另一個(gè)在直線的下方，從而使問題順利求解.這種方法在解決有關(guān)問題時(shí)比較簡單.

例4求證：ex>ln(x+2).

證明因?yàn)閤>-2,易知ex≥x+1(等號(hào)成立的條件是x=0)，ln(x+1)≤x，所以

ln(x+2)≤x+1(等號(hào)成立的條件是x=-1)，

從而

ex≥ln(x+2).

又等號(hào)成立的條件不同，故ex>ln(x+2).

評(píng)注本題就是找到一條隔離直線y=x+1，將函數(shù)y=ex與函數(shù)y=ln(x+2)隔離開來，函數(shù)y=ex在隔離直線y=x+1的上方，函數(shù)y=ln(x+2)在隔離直線y=x+1的下方，從而使問題巧妙得證.本題如果不用隔離直線的方法，直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-ln(x+2)，證明比較復(fù)雜.

7 分拆

分拆，指的是將題目所給的函數(shù)拆成幾部分，然后對(duì)每一部分分別求最值.這種方法在解決比較復(fù)雜的函數(shù)時(shí)效果明顯，因此分拆也是解決有關(guān)問題的好方法.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生做好“學(xué)思行”.學(xué)而不思則罔，善于思考、樂于思考是重要的學(xué)習(xí)品質(zhì)，在問題求解中，不能淺嘗即止，要深入反思、勤于總結(jié)、深度探究，力求有新發(fā)現(xiàn)，還要注重合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、創(chuàng)新學(xué)習(xí)，力求高觀點(diǎn)、大格局.