淺談高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生思維*
——以一道二元最值問(wèn)題為例

(鎮(zhèn)海中學(xué)，浙江 寧波 315200)

●莫芬利

(北侖中學(xué)，浙江 寧波 315800)

1 背景

文獻(xiàn)[1]對(duì)文獻(xiàn)[2]中的一些觀點(diǎn)進(jìn)行了更加平緩、平民化、大眾化的解釋，并提出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何理解并貫徹“啟發(fā)思維”這個(gè)中心的三點(diǎn)看法．尤其是文章中提到，面對(duì)鮮活的教學(xué)現(xiàn)實(shí)，我們是否應(yīng)當(dāng)跳出現(xiàn)實(shí)的情境，在思想上、理論上有一個(gè)升華的準(zhǔn)備，并在此基礎(chǔ)上重新審視我們的教學(xué)行為，改進(jìn)我們的教學(xué)思路[1]．對(duì)此筆者深有感觸，尤其在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，對(duì)于突出的、典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師該如何帶領(lǐng)學(xué)生一步步深入分析問(wèn)題、一點(diǎn)點(diǎn)撥開題目的迷霧？如何搭設(shè)一層層臺(tái)階，幫助學(xué)生找到思維的切入點(diǎn)，從而提升學(xué)生的思維水平？這些問(wèn)題都對(duì)教師提出了很大的挑戰(zhàn)．筆者結(jié)合高三一節(jié)公開課，談?wù)勗诟呷龔?fù)習(xí)課中啟發(fā)學(xué)生思維的幾個(gè)具體切入點(diǎn)．

2 教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

2.1 提出問(wèn)題

二元變量最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中一類重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是學(xué)習(xí)基本不等式、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)后，具體運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的一個(gè)良好的載體．由于多模塊內(nèi)容之間知識(shí)的聯(lián)系性，教師要引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中多維度、多視角地觀察與分析問(wèn)題的條件，不斷啟迪思維，逐步培養(yǎng)能力，從而提升解題水平，落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.2 分析問(wèn)題

2.3 解決問(wèn)題

問(wèn)題1解決含有約束條件的最值問(wèn)題通常有兩個(gè)視角：代數(shù)視角和幾何視角.從代數(shù)的角度看，可以怎樣理解這個(gè)問(wèn)題？

啟發(fā)思維點(diǎn)1結(jié)合函數(shù)和方程的關(guān)系，從函數(shù)或者方程變量個(gè)數(shù)角度看，是二元參數(shù)問(wèn)題，減少參數(shù)個(gè)數(shù)是永恒的主題,因此直接利用消元法.由2x+y=1,得y=1-2x,從而

問(wèn)題2從代數(shù)的角度看，對(duì)于二元參數(shù)問(wèn)題，減少參數(shù)個(gè)數(shù)是永恒的主題.除了直接利用消元法，還有別的方法嗎？

(1)

方法1(利用三角函數(shù)的有界性)由式(1)得

(2m-1)cosθ+msinθ=1,

即

從而

(2m-1)2+m2≥1,

故

方法2(數(shù)形結(jié)合)由式(1)得

圖1

故

設(shè)計(jì)意圖消參法是解決多變量最值問(wèn)題最常見(jiàn)的方法.通過(guò)消去變量，化為含有單變量的最值問(wèn)題，再利用函數(shù)的最值方法去解決，這是高中數(shù)學(xué)中一種重要的解決最值問(wèn)題的方法.這種簡(jiǎn)單、常見(jiàn)的解決方法中蘊(yùn)含了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和化歸等重要思想.在消參的過(guò)程中，根據(jù)條件的不同，可以利用消元法、齊次化、三角換元等方法消減參數(shù).

x2+y2=(x-t)2，

整理成關(guān)于x的方程，即

4x2+2(t-2)x+1-t2=0.

上述關(guān)于x的一元二次方程有解，則

Δ=4(t-2)2-16(1-t2)≥0，

即

20t2-16t≥0，

故

設(shè)計(jì)意圖在含有多變量問(wèn)題中，往往可以從一個(gè)變量的角度出發(fā)，視其為主元，而把其他變量視為參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題.

圖2

問(wèn)題3從幾何角度出發(fā)，可以如何理解題目條件和所求式子？

設(shè)計(jì)意圖幾何法是解決函數(shù)問(wèn)題的“另一只眼睛”，數(shù)形結(jié)合可以讓學(xué)生更加深入地認(rèn)識(shí)所求問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)揭示，從較高的角度幫助學(xué)生理解問(wèn)題的來(lái)源、拓寬思考問(wèn)題的角度和深度、挖掘解決問(wèn)題的方法、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素養(yǎng).

2.4 歸納拓展

上述從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度揭示了本題的具體的解決方法．綜合利用了函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、三角、直線和圓等相關(guān)知識(shí)，結(jié)合代數(shù)式的各種特征，利用了常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合、判別式法、多元減參、線性規(guī)劃等多種解題策略.在解決問(wèn)題過(guò)程中充分利用數(shù)學(xué)邏輯推理、直觀想象，根據(jù)數(shù)學(xué)式的特點(diǎn)建立距離模型，結(jié)合具體方法落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，直至問(wèn)題解決．

問(wèn)題4不等式法一直是解決最值問(wèn)題的一種有效的方法.在此題中，能不能利用不等式的知識(shí)來(lái)解決呢？

啟發(fā)思維點(diǎn)6(柯西不等式)因?yàn)?/p>

所以

則

當(dāng)且僅當(dāng)

設(shè)計(jì)意圖不等式是解決最值問(wèn)題一個(gè)有效的途徑，但是對(duì)學(xué)生要求較高.從不等式的角度看這個(gè)問(wèn)題，需要我們理解不等式的形式及其作用，并檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，尤其是柯西不等式的系數(shù)的湊配.

而(x2+y2)[(2λ-1)2+λ2]≥[(2λ-1)x+λy]2，于是

(2λ-1)2+λ2=1，

故

該方法簡(jiǎn)單易理解，也可以理解為本題的代數(shù)解釋．

設(shè)計(jì)意圖知其然更要知其所以然.這種解法從反面角度、從代數(shù)方面解釋了為什么所求為最小值，結(jié)合思維點(diǎn)5解釋了為什么有最小值，從而圓滿地解決了此問(wèn)題．不僅如此，還給我們以后解決此類型的問(wèn)題提供了方法上的借鑒．

2.5 練習(xí)鞏固

2.6 課后反思

問(wèn)題5在解題后反思的基礎(chǔ)上，你有哪些收獲？結(jié)合下面的“問(wèn)題清單”，要求學(xué)生在思考的基礎(chǔ)上整理.

1)解決二元(多元)最值問(wèn)題最直接的想法就是“減元”(或減參)和“換元”;

2)體會(huì)數(shù)形結(jié)合這種重要的思想方法;

3)在認(rèn)識(shí)求解二元(多元)最值問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)運(yùn)用了哪些思想方法,碰到了哪些困難,有何感觸.

3 高三復(fù)習(xí)課啟發(fā)思維的幾個(gè)切入點(diǎn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：在教學(xué)過(guò)程中，要始終體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主動(dòng)性和積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，營(yíng)造寬松、和諧的學(xué)習(xí)氣氛.在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，如何發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和積極性？高三課堂教學(xué)內(nèi)容多、容量大、難度高，如何找準(zhǔn)學(xué)生的“興奮點(diǎn)”？筆者認(rèn)為只有找準(zhǔn)思維的啟發(fā)點(diǎn)，像本文的解題過(guò)程一樣，逐步切入，培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性，從而逐步落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．具體表現(xiàn)在：

3.1 疑難之時(shí)點(diǎn)撥——對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)

高三復(fù)習(xí)課，課堂容量比較大，難度比較高，學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)沒(méi)有思路.因此，啟發(fā)思維一個(gè)重要的時(shí)機(jī)就是在學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的過(guò)程中尤其是在解決過(guò)程中遇到阻力之時(shí)、疑難之時(shí)的點(diǎn)撥.即在學(xué)生找不到前進(jìn)的方向時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)地發(fā)揮“引路人”的作用，抓住主要矛盾，從不同的視角、不同的維度、不同的高度，帶領(lǐng)學(xué)生重新剖析題目條件，重新認(rèn)識(shí)遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而抓住解題核心，找準(zhǔn)解題的方向．例如，解決函數(shù)問(wèn)題要抓住函數(shù)具有數(shù)和形兩種特征，點(diǎn)撥學(xué)生從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)函數(shù)；代數(shù)法解決向量問(wèn)題，從基底和坐標(biāo)兩個(gè)維度去認(rèn)識(shí)和嘗試解決問(wèn)題等等.

3.2 點(diǎn)撥之后反思——對(duì)條件的反思

在學(xué)生突破題目難點(diǎn)，找到一種解法后，趁熱打鐵地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，思變、思同、思異、思源[3]，對(duì)問(wèn)題本質(zhì)重新剖析，反思解題方法、解題技巧、解答過(guò)程，力求將思維由特殊推向一般，使問(wèn)題層層深入，尋找總結(jié)通性通法，使思維逐漸深化．例如，對(duì)向量數(shù)量積問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生反思：除了常見(jiàn)的定義法、投影法外，還有什么方法？事實(shí)上，數(shù)量積的定義公式也可以轉(zhuǎn)化為

即極化恒等式，結(jié)合余弦定理有

等等．這兩個(gè)公式都消去了定義中的夾角這個(gè)參數(shù)，采用已知的模長(zhǎng)來(lái)表示向量的數(shù)量積，簡(jiǎn)化了公式，有較大的應(yīng)用價(jià)值．類似這種反思可以幫助學(xué)生加深理解并提高對(duì)已知問(wèn)題的認(rèn)識(shí)能力.

3.3 反思之機(jī)小結(jié)——對(duì)方法的總結(jié)

文獻(xiàn)[3]指出：題后小結(jié)是一種自我提升的重要手段．思變，拓寬題目背景、發(fā)散思維是基礎(chǔ)；思同，思考結(jié)論屬性、總結(jié)歸納是切入點(diǎn)；思異，猜想性質(zhì)范圍、大膽推廣是關(guān)鍵；思源，追溯事物本質(zhì)、掌握客觀規(guī)律是核心．通過(guò)這4步反思，教師帶領(lǐng)學(xué)生小結(jié)鞏固所學(xué)內(nèi)容，從思維的角度、過(guò)程、結(jié)果等方面進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的解題體驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)的理解．例如，學(xué)生都知道從特殊到一般的方法，這種方法在解決不等式恒成立問(wèn)題經(jīng)常用來(lái)求必要條件縮小參數(shù)的取值范圍.其實(shí)，在解決圓錐曲線問(wèn)題用到直線方程的時(shí)候，經(jīng)常有斜率不存在的情況，這其實(shí)也是一種“特殊”情況，在求解定值定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，往往也會(huì)給我們一點(diǎn)“方向”.這一點(diǎn)在高三復(fù)習(xí)課中尤為突出，高三復(fù)習(xí)的不僅僅是知識(shí)，更重要的是方法，平常所講的觸類旁通、舉一反三就是這個(gè)意思.

3.4 小結(jié)之處升華——對(duì)思想的感悟

近幾年的數(shù)學(xué)高考題，背景新穎、能力要求高、內(nèi)在聯(lián)系密切、思維方法靈活，充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)理念.高三的題目是做不完的，但是高三的知識(shí)點(diǎn)、方法是有限的.這就使得我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中，不能僅僅停留在題目的解決上，更應(yīng)該從題目的解答上升為對(duì)知識(shí)深層次的理解，即更加注重知識(shí)的形成過(guò)程、更加關(guān)注學(xué)生獲取知識(shí)的過(guò)程、更加關(guān)注學(xué)生思維能力發(fā)展的過(guò)程，在問(wèn)題本質(zhì)揭示的過(guò)程中、在一題多解的思維過(guò)程中、在多題一解的歸納總結(jié)中提升學(xué)生對(duì)思想的感悟，促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．