保參數(shù)方向的形狀可調(diào)過渡曲線與曲面

李軍成，李兵，易葉青

（1.湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，湖南婁底417000；2.四川航天技術(shù)研究院總體部，四川成都610100；3.湖南人文科技學(xué)院信息學(xué)院，湖南婁底417000）

0 引 言

在許多實際工程問題中，往往需要將2條曲線或2張曲面光滑地連接起來。因此，過渡曲線曲面的構(gòu)造一直都是重要的研究課題。

為了滿足一些特定場合的應(yīng)用需求，李凌豐等［1］、高暉等［2］、李軍成等［3-4］研究了基于勢函數(shù)與Metaball技術(shù)的過渡曲線構(gòu)造方法；劉華勇等［5-7］與李軍成等［8］則討論了利用調(diào)配函數(shù)構(gòu)造過渡曲線的方法。由于應(yīng)用場合的特殊性，文獻(xiàn)［1-8］所構(gòu)造的過渡曲線與2被過渡曲線的參數(shù)方向不一致，過渡曲線在兩端點處也只能滿足擬連續(xù)性。MEEK等［9］、SZILVASI-NAGY 等［10］、HARTMANN［11］采用混合方法構(gòu)造了保參數(shù)方向的過渡曲線曲面，這些方法雖然考慮了2被過渡曲線曲面的全局幾何信息，使得構(gòu)造的過渡曲線曲面更加有效，但無法調(diào)整過渡曲線曲面的形狀。然而，在一些實際應(yīng)用場合，常常需要構(gòu)造既能保持參數(shù)方向又能令形狀具有可調(diào)性的過渡曲線曲面。針對這一問題，李重等［12］提出了一種構(gòu)造過渡曲線曲面的混合方法，雖然該法不僅可以推廣得到任意參數(shù)連續(xù)或幾何連續(xù)的過渡曲線曲面，還可通過調(diào)節(jié)參數(shù)獲得合適的過渡曲線曲面，但所構(gòu)造的過渡曲線曲面含有較多的自由參數(shù)，確定這些自由參數(shù)的計算量較大。江卯等［13］提出的方法可使過渡曲線與2被過渡曲線的參數(shù)方向保持一致，還可通過平衡因子對過渡曲線的形狀進(jìn)行調(diào)節(jié)，但需要事先構(gòu)造2條輔助延拓曲線。

為了構(gòu)造保參數(shù)方向的形狀可調(diào)過渡曲線曲面，基于2類帶1個自由參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，分別構(gòu)造了滿足C1與C2連續(xù)的過渡曲線與曲面，其對2被過渡曲線曲面的種類無限制，不僅與2被過渡曲線曲面保持相同的參數(shù)方向，而且當(dāng)2被過渡曲線曲面保持不變時，可通過所含的自由參數(shù)調(diào)節(jié)過渡曲線曲面的形狀。通過確定自由參數(shù)的取值，還可獲得盡可能光順的過渡曲線與曲面。

1 問題的描述

設(shè)Ci(t)(i=1,2)為平面上任意2條參數(shù)曲線，且其參數(shù)方向相同，如圖1所示，希望構(gòu)造1條從點C1(1)過渡到點C2(0)的參數(shù)曲線G(t)，并要求：

（1）過渡曲線G(t)的參數(shù)方向與被過渡曲線Ci(t)=1,2)保持一致。

（2）過渡曲線G(t)在2個過渡點處滿足一定的連續(xù)性。

（3）過渡曲線G(t)具有形狀可調(diào)性。

類似地，給定任意2張參數(shù)方向相同的參數(shù)曲面Si(u,)(=1,2)，如圖2所示，希望構(gòu)造1張從曲線S1(u,1)過渡到曲線S2(u,0)的參數(shù)曲面G(u,)，并要求：

注1 本文僅考慮過渡曲面與2張被過渡曲面在參數(shù)v方向保持一致的情形，在參數(shù)u方向保持一致的情形可類似討論。

圖1 保參數(shù)方向構(gòu)造過渡曲線Fig.1 Constructing transition curve with parameter direction preserving

圖2 保參數(shù)方向構(gòu)造過渡曲面Fig.2 Constructing transition surface with parameter direction preserving

注2 需要說明的是，雖然本文討論的問題是2被過渡曲線曲面取為任意參數(shù)曲線曲面的情形，但對于2被過渡曲線曲面為代數(shù)曲線曲面的情形也可按此討論，只要將2被過渡曲線曲面的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式即可。 例如，當(dāng)被過渡曲線的方程為y=f（x）（a≤x≤b）時，可將該方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式

為了構(gòu)造保參數(shù)方向的形狀可調(diào)過渡曲線與曲面，首先給出2類帶參數(shù)的調(diào)配函數(shù)：

（1）對于 0≤ t≤ 1，-3≤ α1≤ 12，稱關(guān)于 t的函數(shù)

為第一類帶參數(shù)α1的調(diào)配函數(shù)，簡稱為第一類調(diào)配函數(shù)。

（2）對于 0≤ t≤ 1，-10/3≤ α2≤ 20，稱關(guān)于 t的函數(shù)［8］

為第二類帶參數(shù)α2的調(diào)配函數(shù)，簡稱為第二類調(diào)配函數(shù)。

注3 文獻(xiàn)［8］利用一種帶參數(shù)的曲線模型構(gòu)造出式（2）表示的第二類調(diào)配函數(shù)，該調(diào)配函數(shù)可令形狀調(diào)配問題中的過渡曲線曲面滿足C2連續(xù)。為了后續(xù)構(gòu)造滿足C1連續(xù)的過渡曲線曲面，本文利用文獻(xiàn)［8］的方法構(gòu)造了式（1）表示的第一類調(diào)配函數(shù)，限于篇幅，具體構(gòu)造過程不再贅述。

不難驗證，由式（1）表示的調(diào)配函數(shù)H1(t)在端點處滿足

由式（2）表示的調(diào)配函數(shù)H2(t)在端點處滿足

2 過渡曲線的構(gòu)造

對于圖1所描述的問題，可分別利用式（1）與式（2）表示的調(diào)配函數(shù)H1(t)與H2(t)構(gòu)造2類過渡曲線。

定義1 給定平面上2條參數(shù)方向相同的被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)，稱曲線

為第一類過渡曲線，其中H1(t)為式（1）表示的第一類調(diào)配函數(shù)。

定義2 給定平面上2條參數(shù)方向相同的被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)，稱曲線

為第二類過渡曲線，其中H2(t)為式（2）表示的第二類調(diào)配函數(shù)。

定理1 由式（5）與式（6）表示的第2類過渡曲線具有以下特性：

（1）保參數(shù)方向性：過渡曲線Gi(t)(i=1,2)與被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)的參數(shù)方向保持一致。

（2）連續(xù)性：過渡曲線G1(t)在2個過渡點處滿足C1連續(xù)，過渡曲線G2(t)在2個過渡點處滿足C2連續(xù)。

（3）形狀可調(diào)性：當(dāng)被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)保持不變時，可通過修改參數(shù)α1與α2的取值對過渡曲線Gi(t)(i=1,2)的形狀進(jìn)行調(diào)節(jié)。

證明由式（3）與式（5）可得

式（7）表明，過渡曲線G1(t)與2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)的參數(shù)方向保持一致，且在2個過渡點處滿足C1連續(xù)。

由式（4）與式（6）可得

式（8）表明，過渡曲線G2(t)與2條被過渡曲線Ci(t)(=1,2)的參數(shù)方向保持一致，且在2個過渡點處滿足C2連續(xù)。

由于調(diào)配函數(shù)H1(t)與H2(t)分別帶有參數(shù)α1與 α2，故由式（5）與式（6）可知，當(dāng) 2條被過渡曲線Ci(t)(=1,2)保持不變時，可分別通過修改參數(shù)α1與α2的取值調(diào)節(jié)過渡曲線Gi(t)(i=1,2)的形狀。證畢。

下面給出2種情形下，保參數(shù)方向構(gòu)造形狀可調(diào)的C1與C2連續(xù)過渡曲線實例。

例1（圓弧間的過渡曲線） 設(shè)兩圓弧的方程分別為

式中，0≤t≤1。 當(dāng)參數(shù)α1與α2分別取不同值時，C1(t)與C2(t)間形狀不同的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖3所示。

圖3 圓弧間的過渡曲線Fig.3 The transition curves between arcs

例2（Bézier曲 線 間 的 過渡曲線） 設(shè) 三 次Bézier曲線的方程為

二次Bézier曲線的方程為

當(dāng)參數(shù) α1與 α2分別取不同值時，C1(t)與 C2(t)間形狀不同的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖4所示。

圖4 Bézier曲線間的過渡曲線Fig.4 The transition curves between Bézier curves

注4 由圖3與圖4可知，當(dāng)被過渡曲線Ci(t)(i=1 2)保持固定時，所構(gòu)造的保參數(shù)方向過渡曲線在滿足C1或C2連續(xù)的情形下，可通過參數(shù)α1或α2對其形狀進(jìn)行有效調(diào)節(jié)。但也注意到，參數(shù)α2對C2連續(xù)過渡曲線的形狀調(diào)整較為敏感，故在實際應(yīng)用中要根據(jù)具體情況選取合適的參數(shù)值。

上述2個實例也表明，當(dāng)參數(shù)α1或α2的取值不恰當(dāng)時，所構(gòu)造的C1或C2連續(xù)過渡曲線會出現(xiàn)不光順的情況。 例如，圖3中α1=12時的C1連續(xù)過渡曲線與α2=-10/3時的C2連續(xù)過渡曲線，圖4中α2=10時的C2連續(xù)過渡曲線。另外，在某些特定的應(yīng)用場合中，有時也只需確定一條盡可能光順的過渡曲線。為此，下面給出一種確定參數(shù)α1與α2取值的方法，以使得構(gòu)造的C1與C2連續(xù)過渡曲線盡可能光順。

若記

則式（5）可改寫為

根據(jù)光順準(zhǔn)則［14］，過渡曲線G1(t)的光順程度可近似地由其能量值來刻畫。 能量值Ec1越小，表明過渡曲線G1(t)越光順。由于式（9）中帶有參數(shù) α1(-3≤ α1≤ 12)，當(dāng) 2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)保持固定時，要使過渡曲線G1(t)盡可能地光順，只需確定參數(shù)α1的取值，使其能量值Ec1盡可能小，即可得優(yōu)化模型：

則帶參數(shù)α2的使得C2連續(xù)過渡曲線G2(t)盡可能光順的優(yōu)化模型為

式（11）與式（12）均為二次函數(shù)的條件最值問題，易求得參數(shù)α1與α2的值，再分別由式（5）與式（6）即可獲得盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線。

注5 當(dāng)給定的2條被過渡曲線Ci(t)(i=1,2)不可積時，式（11）與式（12）中對應(yīng)的常數(shù)Ai與Bi(i=1,2,3)將無法直接通過計算獲得精確值，此時，可利用數(shù)值積分公式（如Simpson公式）計算其近似值。

例3 對于例1中給定的2條圓弧，通過求解式（11） 與 式 （12） 可 得 參 數(shù) α1=2.964 6，α2=2.629 7。 繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖5所示，過渡曲線的能量值曲線如圖6所示。

圖5 圓弧間盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線Fig.5 The C1and C2continuous transition curves between arcs as smooth as possible

圖6 圓弧間過渡曲線的能量值曲線Fig.6 The energy curve of the transition curves between arcs

對于例2中給定的2條Bézier曲線，通過求解式 （11） 與 式 （12） 可 得 參 數(shù) α1=3.384 0，α2=1.804 6。繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線如圖7所示，過渡曲線的能量值曲線如圖8所示。

3 過渡曲面的構(gòu)造

對于圖2所描述的問題，分別利用式（1）與式（2）表示的調(diào)配函數(shù)H1(t)與H2(t)，可構(gòu)造2類過渡曲面。

圖7 Bézier曲線間盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲線Fig.7 The C1and C2continuous transition curves between Bézier curves as smooth as possible

式中，-3≤ β1≤ 12。

定義4 給定2張參數(shù)方向相同的被過渡曲面Si(u,v)(i=1,2)，稱曲面

為第二類過渡曲面，其中H2(v)為參照式（2）表示的第二類調(diào)配函數(shù)，滿足

圖8 Bézier曲線間過渡曲線的能量值曲線Fig.8 The energy curve of the transition curves between Bézier curves

定理2 由式（13）與式（14）表示的2類過渡曲面具有以下特性：

（2）連續(xù)性：過渡曲面G1(u,)在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C1連續(xù)，過渡曲面G2(u,)則在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C2連續(xù)。

（3）形狀可調(diào)性：當(dāng)被過渡曲面Si(u,)(=1,2)保持固定時，過渡曲面Gi(u,v)(i=1,2)的形狀可分別通過修改參數(shù)β1與β2的取值進(jìn)行調(diào)節(jié)。

證明由式（3）與式（13）可得

式（15）表明，過渡曲面G1(u,v)與被過渡曲面在參數(shù)v方向保持一致，且在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C1連續(xù)。

由式（4）與式（14）可得

為第一類過渡曲面，其中H1(v)為參照式（1）表示的第一類調(diào)配函數(shù)，滿足

式（16）表明，過渡曲面G2(u,)與被過渡曲面Si(u,)(i=1,2)在參數(shù)v方向保持一致，且在過渡邊界曲線S1(u,1)與S2(u,0)處滿足C2連續(xù)。

由于H1(v)與H2(v)中分別帶有參數(shù)β1與β2，故由式（13）與式（14）可知，當(dāng)被過渡曲面 Si(u,v)(i=1,2)保持固定時，過渡曲面Gi(u,v)(i=1,2)的形狀可分別通過修改參數(shù)β1與β2的取值進(jìn)行調(diào)節(jié)。證畢。

例4 設(shè)2張被過渡曲面Si(u,v)(i=1,2)的方程分別為

式中，0≤u,v≤1。 當(dāng)參數(shù)β1與β2分別取不同值時，S1(u,v)與 S2(u,v)間形狀不同的 C1與 C2連續(xù)過渡曲面分別如圖9與圖10所示。

圖9 參數(shù)取不同值時的C1連續(xù)過渡曲面Fig.9 The C1continuous transition surfaces with different parameters

注6 由圖9與圖10可知,當(dāng)被過渡曲面Si(u v)(i=1，2)保持固定時,可分別利用參數(shù)β1與β2的取值實現(xiàn)對C1與C2連續(xù)過渡曲面形狀的調(diào)整。注意到,參數(shù)β2對C2連續(xù)過渡曲面的形狀較為敏感,故在實際應(yīng)用中要根據(jù)具體情況選取合適的參數(shù)值。

與過渡曲線相似，也可通過調(diào)整參數(shù)β1與β2的取值使得構(gòu)造的C1與C2連續(xù)過渡曲面盡可能光順。下面給出參數(shù)β1與β2的確定方法。

圖10 參數(shù)取不同值時的C2連續(xù)過渡曲面Fig.10 The C2continuous transition surfaces with different parameters

若記

則式（13）可改寫為

據(jù)光順準(zhǔn)則［14］，過渡曲面G1(u,v)的光順程度可近似地由其能量值來刻畫。能量值Es1越小，表明過渡曲面G1(u,)越光順。

由于式（17）中帶有參數(shù)β1(-3≤ β1≤ 12)，因此，當(dāng)被過渡曲面Si(u,)(i=1,2)保持固定時，要使過渡曲面G1(u,)盡可能光順，只需確定使其能量值Es1盡可能小的參數(shù)β1的取值，即可得優(yōu)化模型：

則使得C2連續(xù)過渡曲面G2(u,v)盡可能光順的優(yōu)化模型為

式中bi(i=1,2,3)為常數(shù)，分別為

式（19）與式（20）均為二次函數(shù)的條件最值問題，易求得參數(shù)β1與β2的值，再分別由式（13）與式（14）即可獲得盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面。

注7當(dāng)給定的被過渡曲面Si（u）（i=1，2）不可積時，式（19）與式（20）中對應(yīng)的常數(shù)ai與bi（i=1，2，3）將無法通過計算獲得精確值，此時可利用數(shù)值積分公式（如Simpson公式）計算其近似值。

例5 對于例4中給定的2張被過渡曲面，通過求 解 式（19）與 式（20）可 得 β1=-0.009 1，β2=3.013 3。繪制的盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面如圖11所示，過渡曲面的能量值曲線如圖12所示。

圖11 盡可能光順的C1與C2連續(xù)過渡曲面Fig.11 The C1and C2continuous transition surfaces as smooth as possible

圖12 過渡曲面的能量值曲線Fig.12 The energy curve of the transition surfaces

4 結(jié) 語

為滿足實際工程對過渡曲線曲面設(shè)計的高要求，基于2類帶1個自由參數(shù)的調(diào)配函數(shù),分別構(gòu)造了滿足C1與C2連續(xù)的過渡曲線曲面。所構(gòu)造的過渡曲線曲面的優(yōu)點有：（1）2被過渡曲線曲面可為任意的參數(shù)曲線曲面；（2）采用多項式形式，過渡曲線曲面的結(jié)構(gòu)簡潔，計算方便；（3）與2被過渡曲線曲面的參數(shù)方向保持一致，符合一般實際工程的需要；（4）含有自由參數(shù)，用戶可輕松通過自由參數(shù)對過渡曲線曲面的形狀進(jìn)行調(diào)節(jié)。另外，還給出了通過能量優(yōu)化模型確定自由參數(shù)的取值使得構(gòu)造的過渡曲線曲面盡可能光順的方法。如何在保參數(shù)方向構(gòu)造既滿足更高階連續(xù)性要求，又滿足形狀可調(diào)的過渡曲線曲面，有待進(jìn)一步研究。