在解決問題中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
——以“勾股定理的簡單應(yīng)用”為例

☉江蘇省張家港市港區(qū)初級中學(xué) 黃嘉玲

近來筆者做了一節(jié)全校數(shù)學(xué)教師的示范課，該節(jié)課所授內(nèi)容是“勾股定理的簡單應(yīng)用”.從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度來看，本節(jié)課是為了在解決問題中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方法.在常規(guī)教學(xué)中，多是輔助以大量的練習(xí)題，在題海戰(zhàn)術(shù)中深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.通過多年的教育實踐發(fā)現(xiàn)，初中生沒有成人的毅力，大量的練習(xí)會讓他們望而生畏.如何才能在課堂上跳出題海，又能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？筆者將本節(jié)內(nèi)容所采取的一些做法留于紙上，旨在與各位一線教師進(jìn)行更加深入的交流.

一、抓住授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，確定教學(xué)的目標(biāo)

通過前面幾節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)明確了勾股定理將幾何圖形進(jìn)行了數(shù)字化處理，突出了“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，融入了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).而本節(jié)是運用勾股定理及直角三角形的判定條件去解決實際問題，這不但能夠發(fā)展學(xué)生分析問題的能力和表達(dá)能力，同時培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力及合作交流的意識.

通過以上分析，筆者確定了教學(xué)的目標(biāo)，由此考慮到在傳授知識時概括出勾股定理、直角三角形的判定定理（即勾股定理的逆定理）在應(yīng)用方面的區(qū)別，在實際應(yīng)用中提出二者的區(qū)分和應(yīng)用能力，也為本節(jié)知識的課時計劃的編寫奠定了基礎(chǔ).

二、誘發(fā)授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)的情境

作為一線教師，不但要了解學(xué)生的學(xué)情，而且要適應(yīng)現(xiàn)代中學(xué)生的心理特征.他們有強(qiáng)烈的好奇心，有刨根問底不放棄的毅力，所以，創(chuàng)設(shè)與所授知識相關(guān)的情境是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是激發(fā)學(xué)生求知欲的引擎.筆者是這樣創(chuàng)設(shè)情境的：

《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”然后用電子白板展示該背景材料，其展示配旁白解釋（見圖1）.

創(chuàng)設(shè)這樣的質(zhì)疑情境，一方面，讓學(xué)生理解中國古文化的博大精深；另一方面，能激發(fā)學(xué)生的探究興趣.讓學(xué)生在情境中感受勾股定理應(yīng)用的意義，體會數(shù)學(xué)思想，形成學(xué)科核心素養(yǎng).

在學(xué)生鼓舞了斗志，有了探究知識的欲望之際，可以回顧已有的勾股定理的知識，為后面勾股定理的簡單應(yīng)用打下基礎(chǔ).預(yù)設(shè)這樣的問題：

問題1：直角三角形的角有什么關(guān)系？邊有什么關(guān)系？

問題2：若一個三角形的三邊存在a2+b2=c2這樣的關(guān)系，則其對應(yīng)的角有什么關(guān)系？三角形是什么三角形？

創(chuàng)設(shè)的兩個勾股定理的相關(guān)問題是建立在學(xué)生的激情之上的，學(xué)生通過情境的誘發(fā)能夠快速進(jìn)入探究知識的角色，為課堂后面環(huán)節(jié)的展開埋下了伏筆.

圖1

3.提煉應(yīng)用緊扣數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在思考中發(fā)展能力

讓學(xué)生進(jìn)入知識的主體，在課堂練習(xí)的思考中培養(yǎng)能力是教學(xué)的終極目標(biāo).讓學(xué)生在實際問題中概括出勾股定理、直角三角形的判定定理的區(qū)別是教學(xué)的重點.在分析問題中去觀察、比較；在解決問題中去合作、交流；在釋疑問題中去探究、求索.在課堂上，筆者設(shè)計了兩道助學(xué)課堂訓(xùn)練題：

練習(xí)1：用電子白板出示：如圖2，在風(fēng)平浪靜的湖面上，有朵垂直于水面的荷花，高出湖面3m，某學(xué)生用手將花朵拉到齊及水面，荷花移動的水平距離為4m，請問：荷花所處位置的湖深是多少？

練習(xí)1是較為簡單的勾股定理的應(yīng)用問題，采取學(xué)生自主練習(xí)來完成.在課堂上，讓兩位中等程度的學(xué)生在黑板上板演，其余學(xué)生在完成任務(wù)之后在小組內(nèi)進(jìn)行交流，然后看黑板，由考慮成熟的學(xué)生進(jìn)行點評，規(guī)范步驟、統(tǒng)一解法.

圖2

為了讓學(xué)生通過練習(xí)1進(jìn)一步了解勾股定理的應(yīng)用范圍，給出下面的課堂練習(xí)，讓學(xué)生在非直角三角形中學(xué)會尋找勾股定理的應(yīng)用.

練習(xí)2：用電子白板出示：如圖3，在△ABC中，AD=12，AB=13，BC=7.5，D分BC為2∶1.求AC的長度.

設(shè)計練習(xí)2的目的在于讓學(xué)生能夠舉一反三，逆向思維.練習(xí)的解決途徑是多元化的，應(yīng)用勾股定理來判斷直角三角形，采取學(xué)生獨立思考的方式進(jìn)行.解題途徑可以百花齊放、百家爭鳴，但最終必須讓學(xué)生回歸課本，理解勾股定理的應(yīng)用的真正意義.

圖3

四、熟練掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在釋疑中提升素養(yǎng)

課堂的精華在于對知識的理解與應(yīng)用，需要一種對課堂氣氛的烘托.換句話說，要讓學(xué)生在激情飽滿和自然和諧的氛圍中深化所學(xué)知識.因此，這個環(huán)節(jié)的設(shè)計旨在讓學(xué)生利用勾股定理解決問題，將幾何概念和將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決的化歸思想植于學(xué)生的腦海，形成學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

變式提升1：用電子白板出示：圖4是某櫥窗上拼接的一塊有色玻璃，其中，AB⊥BC，AB=6cm，BC=8cm，AD=24cm，CD=26cm.計算這塊有色玻璃的面積.

這個變式提升是學(xué)生在對勾股定理所含的核心素養(yǎng)進(jìn)行提煉之后的一種拓展，通過學(xué)生自主獨立思考，達(dá)成熟練掌握所學(xué)知識的目的.在變式提升的解讀過程中，要使學(xué)生有所感悟，對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行建模：一是在求解不規(guī)則圖形的面積時，需要將“不規(guī)則圖形規(guī)則化”，也就是對不規(guī)則圖形進(jìn)行重新切割，尤其是切割為最小化的“三角形”；二是注意特殊性在求面積中的應(yīng)用.

變式提升2：用電子白板出示：一個長3m的梯子，其頂端靠在墻上，其下端距墻根1.8m，若將梯子遠(yuǎn)離墻根移動0.6m，則梯子頂端下滑多少米？

本變式練習(xí)沒有配上相應(yīng)的圖形，旨在讓學(xué)生自己能夠解讀文字，將文字轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圖形，這樣，通過本變式訓(xùn)練，不但可以培養(yǎng)學(xué)生的動手作圖能力，也可以達(dá)到加深學(xué)生對勾股定理和轉(zhuǎn)化思想的理解與運用能力.

圖4

在本節(jié)課結(jié)束之際，將學(xué)生所做的變式練習(xí)2的優(yōu)秀步驟展示在電子白板上，讓學(xué)生共享成果，有所感悟：

題干轉(zhuǎn)化：在圖5中，已知∠ACD=90°，AB=ED=3m，CB=1.8m，BD=0.6m，求AE的長.

圖5

在以上兩個變式提升中，充分運用勾股定理和直角三角形判定定理（即勾股定理的逆定理）來解決實際問題.變式提升1是求不規(guī)則圖形的面積問題，需要應(yīng)用化歸思想，將不規(guī)則圖形的問題轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的問題來解決，所以說，解決這類習(xí)題時作輔助線尤為重要.在變式提升2中，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出正確的圖形，通過數(shù)形結(jié)合，確認(rèn)直角三角形.

總之，筆者的這節(jié)示范課在教學(xué)設(shè)計時，依據(jù)了新課標(biāo)的基本要求，從學(xué)生認(rèn)知的基本學(xué)情來選擇身邊的素材，創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境充滿趣味性和吸引力，讓學(xué)生在和諧、愉悅的探究氛圍中理解了用勾股定理解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.在課堂教學(xué)中，采用了小組合作交流的形式，讓課堂更加開放，學(xué)生積極參與，熱情高.通過課堂媒體的輔助引導(dǎo)，給學(xué)生提供更為寬裕的時空和交流的機(jī)會，從而達(dá)到合作交流的目的，使不同的方法、智慧在交流合作的過程中得到融合.并通過題型變化訓(xùn)練的手段幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)中化歸思想的核心素養(yǎng).