經(jīng)典幾何問題及變式教學(xué)：復(fù)習(xí)備考的關(guān)注點(diǎn)
——從一道幾何綜合題的講評(píng)說起

☉江蘇省常熟市王莊中學(xué) 王裕龍

進(jìn)入中考二輪復(fù)習(xí)階段，常常開展綜合試卷訓(xùn)練，訓(xùn)練之后就要安排講評(píng)，如何對(duì)一些有難度的綜合題進(jìn)行講評(píng)往往需要精心設(shè)計(jì).本文從一道幾何綜合題的講評(píng)出發(fā)，進(jìn)一步闡釋我們對(duì)解題教學(xué)的一些思考.

一、幾何綜合題的解法與講評(píng)案例

幾何綜合題：（2019年4月某校中考模考卷，倒數(shù)第二大題）如圖1，等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD、DE，在AD上取點(diǎn)F，使∠EFD=60°，射線EF與AC交于點(diǎn)G.

（1）設(shè)∠BAD=α°，求∠AGE的度數(shù)（用含α的式子表示）；

（2）探究CG與DE之間的等量關(guān)系，并證明.

思路貫通：（1）把目光聚焦在△AFG中，借助三角形內(nèi)角和，可分析出∠AGE的度數(shù)為（60+α）.

圖1

圖2

（2）如圖2，在AC上截取CM=BD.由全等容易證出BM=AD.再利用（1）中的進(jìn)展，導(dǎo)角（∠EAG=∠EGA=（60+α）°）證出AE=GE，從而有AE=AD=BM，于是EG=BM.進(jìn)一步導(dǎo)角（∠EFD=∠ENM=60°）證出EG∥BM.于是四邊形BEGM是平行四邊形，所以GM=BE=BD=CM.于是M為CG的中點(diǎn).所以CG=2BD.而DE=，思路接通，即2DE=.

反思回顧：在上述思路中，有幾處關(guān)鍵步驟，分別是：證出AE=GE；作出輔助線BM，證出四邊形BEGM是平行四邊形；證出M是CG的中點(diǎn)；想清△BDE是含120°的等腰三角形.

不同思路：如圖3，延長GE、CB交于點(diǎn)P，通過導(dǎo)角證出∠PBE=∠ABE=∠C=60°，可得BE ∥CG，∠PEB=∠PGC=∠ADB=∠AEB=120°-α°.于是可證△ABE△PBE，從而得BP=BA=BC，PE=AE=EG，于是BE是△PCG的中位線，從而貫通思路.

圖3

解題教學(xué)微設(shè)計(jì)：“從等邊三角形出發(fā)”.

引例熱身：如圖4，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、M分別在邊BC、AC上，且BD=CM，連接AD、BM，它們的交點(diǎn)為G.

（1）求證AD=BM；

（2）證明（1）之后，請(qǐng)?jiān)偬岢鰞蓚€(gè)問題并解答.

圖4

圖5

教學(xué)組織：學(xué)生在證出全等之后，可以繼續(xù)提出一些角相等的問題，認(rèn)識(shí)深刻的也可得到AD、BM的夾角的度數(shù).

考題講評(píng)：見上文幾何綜合題.

教學(xué)組織：安排學(xué)生逐個(gè)分析上面考題“反思回顧”中提到的幾處關(guān)鍵步驟，在少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生貫通思路之后，讓其他學(xué)生再復(fù)述思路.為了鞏固這道考題的講評(píng)效果，再給出一道變式改編習(xí)題.

變式再練：如圖5，等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AD、DE，在AD上取點(diǎn)F，使∠EFD=60°，射線EF與AC交于點(diǎn)G.

（1）求證GE=AD.

（2）小睿提出一個(gè)等式：CG=k·DE，并發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)k是一個(gè)定值.請(qǐng)判斷“小睿的發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說明理由.

變式意圖：第（1）問在原考題第（1）問的基礎(chǔ)上就可得出，為第（2）問提供了鋪墊.第（2）問在原考題第（2）問的基礎(chǔ)上變換不同的設(shè)問方式，本質(zhì)上是一樣的，講評(píng)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“它們是一樣的”.

二、幾何綜合題解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1.精心預(yù)設(shè)幾何綜合題的教學(xué)組織

幾何綜合題作為一份試卷中的把關(guān)題之一，往往能順利完整解答的學(xué)生并不是很多，在講評(píng)之前，教師要做好充分的課前準(zhǔn)備，主要是針對(duì)幾何綜合題的深刻理解，特別是幾何題幾個(gè)小問之間缺少的鋪墊步驟，在備課時(shí)需要充分想清，然后對(duì)如何引導(dǎo)學(xué)生突破關(guān)鍵步驟進(jìn)行鋪墊式設(shè)問，這也是上面講評(píng)過程中我們預(yù)設(shè)一個(gè)“引例熱身”的教學(xué)立意.此外，在講評(píng)較難問題之后，還可基于原考題的“結(jié)構(gòu)”進(jìn)行必要的變式改編，以便學(xué)生進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.

2.解題教學(xué)進(jìn)程讓學(xué)生講關(guān)鍵步驟

在講評(píng)較難的幾何綜合題時(shí)，需要教師主導(dǎo)的啟發(fā)式講授，但是當(dāng)關(guān)鍵步驟得到突破之后，教師就需要充分“讓學(xué)”，讓學(xué)生學(xué)，讓學(xué)生講.比如，上文綜合題講評(píng)時(shí)，當(dāng)關(guān)鍵步驟都接通之后，就安排學(xué)生進(jìn)行整個(gè)思路過程的講述，然后安排兩到三人進(jìn)行復(fù)述，在復(fù)述的過程中可以看出學(xué)生對(duì)該題解題思路是否真正理解，同時(shí)可以讓一些“后進(jìn)生”贏得時(shí)間充分理解、想通思路和解法.想來，我們常常在觀摩一些專家教師的課堂教學(xué)中聽到“請(qǐng)你再說一遍”，大抵也是這個(gè)意圖吧.

3.解后揭示幾何綜合題的深層結(jié)構(gòu)

解題教學(xué)在學(xué)生都能順利貫通思路之后，還需要跟進(jìn)一個(gè)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，即引導(dǎo)學(xué)生解后回顧反思，促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何綜合題的深層結(jié)構(gòu)有較為深刻的理解，對(duì)解題過程中的關(guān)鍵步驟更加明確，還可幫助學(xué)生提煉一些基本圖形及性質(zhì)，特別是教材上提到的一些經(jīng)典問題、高頻習(xí)題都可進(jìn)行必要的鏈接、對(duì)比，讓學(xué)生感受一題多變、多題歸一，堅(jiān)持這樣做，有利于學(xué)生“做一題，會(huì)一類，通一片”.

三、復(fù)習(xí)備考要特別重視經(jīng)典幾何問題的變式教學(xué)

1.重視選用教材中的經(jīng)典幾何問題

當(dāng)前復(fù)習(xí)備考有一個(gè)很大的選題誤區(qū)，即每節(jié)課都大量選用所謂的中考真題，而且這些中考試題來自全國各地中考試卷，似乎鏈接了中考真題就是在有效、精準(zhǔn)備考，殊不知，全國各地中考試卷風(fēng)格差異巨大，各具特色，多數(shù)中考試題并不適合本地的復(fù)習(xí)備考.如果實(shí)在要在復(fù)習(xí)中體現(xiàn)中考元素，也應(yīng)該盡可能多關(guān)注本地區(qū)中考真題的考查特點(diǎn)，而不要盲目選取外地的中考試題，特別是一些來歷不明的所謂名?？碱}、?？荚囶}、“網(wǎng)紅題”.相對(duì)而言，比較重要的一個(gè)選題方向是到教材上挑選經(jīng)典幾何問題進(jìn)行復(fù)習(xí)，因?yàn)榻滩纳纤x的例、習(xí)題都是經(jīng)過精心挑選的，幾何圖形簡潔、性質(zhì)深刻，值得思考，中考命題都是“依標(biāo)靠本”，而經(jīng)典幾何問題常常是中考命題組改編的重要來源，所以師生在復(fù)習(xí)備考時(shí)要充分重視教材中的經(jīng)典問題，而不能左顧右盼，舍本逐末.

2..經(jīng)典幾何問題教學(xué)時(shí)要注重變式

經(jīng)典幾何問題在復(fù)習(xí)課上選用時(shí)，并不是簡單的讓學(xué)生再做一遍、多做幾遍，而要盡可能發(fā)揮經(jīng)典幾何問題的教學(xué)功能，本文選用的一道幾何綜合題其實(shí)就是對(duì)經(jīng)典幾何問題的變式改編，只是在兩個(gè)不同設(shè)問中拉開了“很大的距離”，學(xué)生解題時(shí)需要接通這些“距離”，接通的過程就是把很多經(jīng)典問題通過輔助線完善起來、連接起來的過程.這就啟發(fā)我們，在復(fù)習(xí)備考過程中，要善于把經(jīng)典幾何問題進(jìn)行改編包裝，以訓(xùn)練學(xué)生識(shí)別這些包裝，練就“火眼金睛”，達(dá)到快速解題的目的.關(guān)于變式改編，需要教師修煉命題能力，比如，針對(duì)經(jīng)典幾何問題，可以對(duì)問題進(jìn)行必要的拓展，深入挖掘可能的結(jié)論；也可針對(duì)經(jīng)典幾何問題的條件和結(jié)論進(jìn)行置換，研究互逆命題，并證明它們是否仍然是真命題；還可以將經(jīng)典幾何問題以新定義的方式包裝改編，讓學(xué)生識(shí)別問題結(jié)構(gòu).可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師的專業(yè)基本功除了“善于舉例、善于提問、善于優(yōu)化”（鄭毓信教授語），還需要鉆研命題功夫，不只是出一份試卷時(shí)才需要命題能力，日常課堂教學(xué)中針對(duì)例、習(xí)題的改編和變式更需要我們有扎實(shí)的命題功夫.