注重多題歸一，提升復(fù)習(xí)效率
——記一堂優(yōu)質(zhì)旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 殷子玉

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 虞秀云

一、背景介紹

復(fù)習(xí)課在中小學(xué)課堂已然成為教學(xué)基本課型之一，同時(shí)是教學(xué)任務(wù)必不可少的一部分.不同于新課教授，復(fù)習(xí)課上的內(nèi)容往往是對(duì)學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)加以鞏固，如果教師不認(rèn)真?zhèn)湔n精心設(shè)計(jì)，只是把知識(shí)點(diǎn)羅列堆積再加上題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只會(huì)感到索然無(wú)味，降低學(xué)習(xí)興趣.因此用科學(xué)的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，提升復(fù)習(xí)課堂效率，是每個(gè)教師應(yīng)當(dāng)思考的問(wèn)題.

在江西省教研室組織實(shí)施的2018年江西省基礎(chǔ)教育優(yōu)秀教學(xué)課例展示活動(dòng)（初中數(shù)學(xué)組）中，筆者有幸觀摩了一等獎(jiǎng)獲得者賀老師執(zhí)教的人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十三章“圖形的旋轉(zhuǎn)”復(fù)習(xí)課一課，本課例展現(xiàn)了對(duì)典型例題進(jìn)行“一題多解、一題多變、多題歸一”的剖析，挖掘典型例題的深刻內(nèi)涵，讓學(xué)生對(duì)一類問(wèn)題形成深刻的認(rèn)識(shí)，把握一類問(wèn)題的本質(zhì)，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果.以下將以教學(xué)片段的形式呈現(xiàn)，與大家共享.

二、教學(xué)片段實(shí)錄與分析

教學(xué)片段1：一題多解，旋轉(zhuǎn)是基本知識(shí)

【畫(huà)一畫(huà)】例1如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE按順時(shí)方向針旋轉(zhuǎn)90°.畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形.（力求多種方法）

分析：題目確定了該圖形旋轉(zhuǎn)的三要素，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)會(huì)落在CB的延長(zhǎng)線上，所以要延長(zhǎng)線段CB，這樣就可以找到旋轉(zhuǎn)之后的圖形.

方法1：借助圓規(guī)，以A為圓心、AE為半徑畫(huà)弧，弧與CB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)E′，連接AE′，就確定了旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2，原理是對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，簡(jiǎn)稱保距）.

圖1

方法2：用圓規(guī)截取DE的長(zhǎng)度，在CB的延長(zhǎng)線上，以B為圓心、DE為半徑畫(huà)弧，得到點(diǎn)E′，并連接AE′，這樣就得到△ABE′（如圖3，原理是旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，簡(jiǎn)稱保形）.

圖2

圖3

圖4

方法3：用三角板的直角，過(guò)A點(diǎn)作AE的垂線，與CB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)E′（如圖4，原理是對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，簡(jiǎn)稱保角）.

小結(jié)：通過(guò)思考可以發(fā)現(xiàn)此題有多種解法，但是這些解法的依據(jù)都來(lái)源于旋轉(zhuǎn)的三個(gè)性質(zhì).我們之所以能確定旋轉(zhuǎn)后的圖形，是因?yàn)閺?qiáng)調(diào)了旋轉(zhuǎn)的三要素.所以旋轉(zhuǎn)的三個(gè)性質(zhì)及其三要素是旋轉(zhuǎn)的重要知識(shí)，故旋轉(zhuǎn)是知識(shí).

該教學(xué)片段是通過(guò)課本上一道典型例題，展現(xiàn)該題的三種解法，體現(xiàn)“一題多解”的解題思想，學(xué)生在平時(shí)解答習(xí)題時(shí)，往往只會(huì)就題論題，頭腦中并沒(méi)有完整、系統(tǒng)的知識(shí)體系，知識(shí)點(diǎn)分布零散，拿到題目不會(huì)多加思考，這種做法是不可取的.所以教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)展思路，從不同的角度思考問(wèn)題，提高知識(shí)遷移的能力，找到解決問(wèn)題的多種途徑.同時(shí)該教師并不是滿堂灌直接講授解題過(guò)程，而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，循循善誘，讓學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者參與其中，真正做到了把課堂交給學(xué)生.

教學(xué)片段2：一題多變，旋轉(zhuǎn)是基本方法

【猜一猜】例2如圖5，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，其繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交線段BC、CD于點(diǎn)E、F，探究DF、EF、BE之間有怎樣的等量關(guān)系.

圖5

圖6

分析：由于旋轉(zhuǎn)之后的圖形比較抽象，故在幾何畫(huà)板中進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生得到如下猜想：

猜想1：DF+BE=EF；

猜想2：當(dāng)點(diǎn)F與D重合時(shí)（如圖6），DF=0，BE=BC，EF=CD；

猜想3：當(dāng)點(diǎn)F與C重合時(shí)（如圖7），BE=0，BF=EC，EF=EC.

接著賀老師結(jié)合數(shù)據(jù)用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證了學(xué)生的猜想都是正確的，最后給出猜想1的證明.

圖7

圖8

解：將△ADF繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ABH（如圖8），此時(shí)AF=AH，AE=AE，∠HAE=∠EAF=45°，所以△AHE△AFE（依據(jù)是邊角邊），所以HE=EF，所以DF+BE=EF.

注意：要保證H、B、E三點(diǎn)共線，還需做如下說(shuō)明，因?yàn)椤鰽DF旋轉(zhuǎn)之后得到△ABH，所以∠ADF=∠ABH=90°，∠HBE是一個(gè)平角，所以這三點(diǎn)共線.

小結(jié)：通過(guò)旋轉(zhuǎn)將兩條短的線段拼在一起，得到新的線段再與EF比較，題目就迎刃而解了.說(shuō)明旋轉(zhuǎn)可以改變位置，把元素聚在一起，這就是旋轉(zhuǎn)的妙用.所以旋轉(zhuǎn)是一種解題的方法.

旋轉(zhuǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛，特別是在中考?jí)狠S題中常常用到，例如，2017年江西省數(shù)學(xué)中考第23題，2013年貴陽(yáng)數(shù)學(xué)中考第24題，2016年重慶數(shù)學(xué)中考第25題等，這也說(shuō)明旋轉(zhuǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的解題方法.賀老師通過(guò)基礎(chǔ)題改編，利用幾何畫(huà)板信息技術(shù)讓學(xué)生直觀感受圖形的變換，并沒(méi)有當(dāng)面對(duì)回答不出來(lái)問(wèn)題的學(xué)生提出批評(píng)，而是給其他學(xué)生機(jī)會(huì)一起完成這道題的分析，課堂氛圍十分融洽，學(xué)生參與度高.同時(shí)在證明平角的時(shí)候體現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明思路，讓學(xué)生在一開(kāi)始就形成良好的證明習(xí)慣.

教學(xué)片段3：多題歸一，旋轉(zhuǎn)是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【試一試】例3如圖9，等腰直角△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=，P為△ABD內(nèi)部任意一點(diǎn)，求PA+PB+PD的最小值.

圖9

分析：解此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置，通過(guò)把△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°讓三條線段DP、PP′、B′P′首尾順次相接，此時(shí)PA+PB+PD=PP′+P′B′+PD≥B′D，所以當(dāng)D、P、P′、B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PD的最小值就是B′D的長(zhǎng).

解：將△ABP繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60° 得 到△AB′P′（如圖10），連接PP′，此時(shí)△APP′為等邊三角形，所以∠P′AP=∠B′AB=60°.過(guò)點(diǎn)B′作B′F∥AB，再延長(zhǎng)DA交B′F于點(diǎn)F，此時(shí)AF⊥B′F.因?yàn)椤螧′AB=60°，B′F∥AB，所以∠AB′F=60°.由題意可知AB=AD=AB′=，所以B′F=，所以AF=，所以FD=.由勾股定理可知BD′=，所以PA+PB+PD的最小值為.

圖10

小結(jié)：此題通過(guò)旋轉(zhuǎn)讓四點(diǎn)共線，三條線段化歸到一條線段上，這就體現(xiàn)了化歸及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)這個(gè)點(diǎn)P也是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)點(diǎn)——費(fèi)馬點(diǎn).

恩格斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中的變換，不是無(wú)聊的游戲，而是解決實(shí)際問(wèn)題的杠桿.”本節(jié)課最后一道例題是著名的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，原題是“三村短路”問(wèn)題，而賀老師把這道題放到旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課上，表明旋轉(zhuǎn)是解一類題的思想，也為解題搭建了橋梁，通常用于求線段最小值.整堂課的例題呈現(xiàn)由易到難，充分考慮學(xué)生學(xué)情，讓學(xué)生能夠更好地自主探究.

三、啟示與感悟

賀老師這節(jié)旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課非常好地給我們展示了初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的模式，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手合作、相互交流探索課堂的核心.同時(shí)這堂課的教學(xué)思路新穎，充分展現(xiàn)了其教學(xué)魅力.以下幾點(diǎn)是在這堂復(fù)習(xí)課中得到的啟示與感悟.

1.復(fù)習(xí)課要整體設(shè)計(jì)，多題歸一

復(fù)習(xí)課的教學(xué)大多是解題教學(xué)，但有些教師“拉在籃子里就是菜”，簡(jiǎn)單找?guī)椎李}給學(xué)生訓(xùn)練，盡管教師把一道題分析得十分清楚，但因?yàn)榭傮w結(jié)構(gòu)不明朗，導(dǎo)致學(xué)生還不容易對(duì)這些題目有個(gè)大體的掌握.孫維剛老師提出“一題多解，一題多變，多題歸一”的解題思想，就是把多道題歸納起來(lái)形成結(jié)構(gòu)，在復(fù)習(xí)課上賀老師把這個(gè)解題思想充分運(yùn)用，用一條主線把題目串在一起，只有這樣，才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有充分的認(rèn)識(shí)，才能提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.合理運(yùn)用信息技術(shù)，體現(xiàn)幾何直觀

“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合注重實(shí)效”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的一個(gè)重要理念，賀老師這節(jié)課采用多媒體與幾何畫(huà)板相結(jié)合，運(yùn)用幾何畫(huà)板展示旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，能夠“變抽象為直觀”“化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)”，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.進(jìn)而讓學(xué)生更好地感受不同圖形變化的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，保障了教學(xué)的有效進(jìn)行.

3.倡導(dǎo)主題式復(fù)習(xí)，鼓勵(lì)創(chuàng)造性思維

復(fù)習(xí)課對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)十分枯燥無(wú)趣，但賀老師的課堂氣氛是十分生動(dòng)活躍的，她以“旋轉(zhuǎn)”為主題貫穿整節(jié)課，同時(shí)教學(xué)內(nèi)容和難度也在層層深入，最后一個(gè)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題更是將本節(jié)課進(jìn)一步升華，充分展現(xiàn)了以生為本的教學(xué)理念.在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)的理解存在偏差，有些教師將復(fù)習(xí)課看作單純的解題活動(dòng)，這樣只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)時(shí)目標(biāo)不明確，缺少對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考.因此教師應(yīng)完善教學(xué)方法，提倡主題式復(fù)習(xí)，即課堂教學(xué)以項(xiàng)目探究的形式或問(wèn)題解決的形式進(jìn)行復(fù)習(xí)，設(shè)計(jì)學(xué)生感興趣的問(wèn)題情境引入，從而做到充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.