正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Gauss 指標判別法

王 瑜, 鐘粵敏

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建漳州363000）

函數(shù)項級數(shù)是表示函數(shù)的一種重要方法，它的一致收斂性是研究函數(shù)項級數(shù)所確定的函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性等）的核心，熟知判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的判別法有魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法（M-判別法）、阿貝爾（Abel）判別法、狄利克雷（Dirichlet）判別法等，它們是判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的有效方法.針對函數(shù)項級數(shù)所具有的特別情況，如一般項的正項的函數(shù)項級數(shù)，文獻[1]按照正項級數(shù)收斂性判別法給出了正項的函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比值型判別法、 根式型判別法和Raabe 型判別法等.文獻[2]給正項級數(shù)收斂性Gauss 指標判別法，它是比值判別型法、根式型判別法和Raabe 型判別法的推廣，本文把它應(yīng)用于正項的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的判別，給出了正項的函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Gauss 型判別法，它是已有的比值型判別法和Raabe 型判別法等一般化.

1 相關(guān)概念

函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂的定義，可參見文獻[1].這里我們僅給出與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判別的相關(guān)概念.為了敘述方便，已有的結(jié)論用引理給出.

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充要條件(柯西準則).

引理1[1]設(shè)函數(shù)項級數(shù)∑un（x）在數(shù)集E 上一致收斂的充要條件是

引理1 有如下等價的敘述

函數(shù)項級數(shù)一致收斂的充分條件(優(yōu)級數(shù)判別法).

引理2[1]設(shè)有函數(shù)項級數(shù)∑un（x），若且正項級數(shù)∑Mn收斂，則函數(shù)項級數(shù)∑un（x）在數(shù)集E 上一致收斂.

正項級數(shù)的Gauss 判別法與Gauss 指標判別法.

引理3[2]如果正項級數(shù)∑an滿足條件：，其中與 μ 是常數(shù)，而 θn是有界量，即，使得 θnL，則當＞1 或=1， μ ＞1 時，正項級數(shù)∑an收斂；當＜1 或=1， μ1時，正項級數(shù)∑an發(fā)散.

引理4[3]設(shè)有正項級數(shù)∑an，為正數(shù)列｛an｝的 Gauss 指標.則當 G ＞1 或G=+∞ 時，∑an收斂；當 G ＜1 或 G=-∞ 時，∑an發(fā)散.

2 主要結(jié)果及其證明

我們把正項級數(shù)的Gauss 指標判別法，應(yīng)用于判別正項函數(shù)級數(shù)的一致收斂性，給出如下的定理.

定理 1 設(shè)∑an是在數(shù)集 E 上的正項函數(shù)項級數(shù)（an（x）＞0，x∈E，n∈N+），

推論 1 設(shè)∑an（x）是在數(shù)集 E 上的任意函數(shù)項級數(shù)（an（x）≠0，x∈E），如果

且 an（x）在 E 上是一致有界，則∑ an（x） 在 E 上一致收斂.

根據(jù)定理1，我們可以得到[4]中正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的比值型判別法.

推論 2[4]設(shè)∑un（x）是在數(shù)集D 上的正項函數(shù)項級數(shù)，令，如果=q＜1，并且 un（x）在 D 上是一致有界的，那么∑un（x）在 D 上是一致收斂的.

因而

根據(jù)定理1，∑un（x）在 D 上是一致收斂的.

于是

所以

于是根據(jù)定理1，∑un（x）在D 上是一致收斂的.

我們給出[5]中的正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Raabe 判別法.

推論 3[5]設(shè)∑un（x）為定義在區(qū)間 I 上的正函數(shù)項級數(shù)（an（x）≠0，x∈I），且｛an（x）｝在 I 上是一致有界的，存在正整數(shù)N0及常數(shù)r.

由于 r ＞1，有

根據(jù)定理1，∑un（x）在區(qū)間I 上是一致收斂的.

3 應(yīng)用舉例

例1 設(shè) f（x）為［a，b］上的正值連續(xù)函數(shù)，證明函數(shù)項級數(shù)

在［a，b］上是一致收斂.

解令

則有

因為 f（x）為［a，b］上的正值連續(xù)函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù) f（x）在［a，b］上有最小值，記其為 m 且 m＞0.所以

于是

根據(jù)定理1，函數(shù)項級數(shù)

在［a，b］上是一致收斂.

說明 文獻[4]中判別法（本文推論2）不能判定該正項函數(shù)項級數(shù)在［a，b］上的一致收斂性.事實上，對于n∈N+及x∈［a，b］，有

于是