仿拓?fù)淙豪碚撗芯康娜舾蛇M(jìn)展

李嘉達(dá)， 林福財

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000）

仿拓?fù)淙菏峭負(fù)淙航Y(jié)構(gòu)的重要推廣，尋求仿拓?fù)淙豪碚摰膹V義度量性質(zhì)、基數(shù)不變量和自由仿拓?fù)淙豪碚摰龋貏e是尋求拓?fù)淙豪碚摰慕Y(jié)果能夠推廣到仿拓?fù)淙豪碚摚恢笔峭負(fù)浯鷶?shù)方向的研究者們關(guān)心的一類重大且有趣的問題.20 世紀(jì)的80 年代，國內(nèi)外就開始系統(tǒng)研究仿拓?fù)淙?，已取得了很多不錯的結(jié)果，例如P.J.Nyikos[1]證明了弱第一可數(shù)的仿拓?fù)淙菏堑谝豢蓴?shù)的，Arhangel'skiǐ A V 與Reznichenko E A[2]證明了每一個σ 緊的T2仿拓?fù)淙旱陌欢瓤蓴?shù)，但對仿拓?fù)淙豪碚摰难芯窟€有許多需要解決的重要問題.

2006 年著名的拓?fù)鋵W(xué)家Arhangel'skiǐ A V 到首都師范大學(xué)和閩南師范大學(xué)講學(xué)，提倡我國學(xué)者在拓?fù)浯鷶?shù)方面開展研究，特別是在仿拓?fù)淙豪碚摲矫?自此，越來越多的國內(nèi)學(xué)者就開始投入到仿拓?fù)淙豪碚摰难芯恐?，獲得了不少有突破性的成果，例如: 劉川和林壽[3]證明了每一個具有左不變對稱度量的仿拓?fù)淙菏峭負(fù)淙海指Ｘ擺4]用反例說明了具有可數(shù)偽特征的T2仿拓?fù)淙何幢厥谴慰啥攘康?此外，蔡長勇[5-8]、李丕余[7]、林福財[4,10-16]、劉川[3,17-19]、彭良雪[20]、沈榮鑫[21]、謝麗紅[22-23]等也相繼討論仿拓?fù)淙旱耐負(fù)湫再|(zhì)，特別是在廣義度量空間性質(zhì)、基數(shù)不變量、自由仿拓?fù)淙豪碚摰?

本文從仿拓?fù)淙旱幕鶖?shù)不變量、廣義度量性質(zhì)和自由仿拓?fù)淙豪碚撨@三個方面，介紹國內(nèi)學(xué)者在仿拓?fù)淙侯I(lǐng)域的研究成果，一些定語與術(shù)語，請參考文獻(xiàn)[24-25].

1 仿拓?fù)淙旱目臻g的基數(shù)不變量

仿拓?fù)淙旱幕鶖?shù)不變量是研究仿拓?fù)淙旱闹匾碚?，也是重要的研究工?本節(jié)介紹國內(nèi)學(xué)者在仿拓?fù)淙夯鶖?shù)不變量方面取得的一些研究成果.

1981 年，Nyikos P J 證明了弱第一可數(shù)的仿拓?fù)淙菏堑谝豢蓴?shù)的，那么滿足弱可數(shù)公理（如第一可數(shù)、第一可數(shù)、Fréchet-Urysohn 等）的仿拓?fù)淙壕哂惺裁吹耐負(fù)湫再|(zhì)或廣義度量性質(zhì)？如Nyikos P J、Arhangel'Skiǐ A V 和 Tkachenko M 提出的如下問題：

問題1[1]是否每一Fréchet-Urysohn 的仿拓?fù)淙菏?α4空間?

問題2[24]是否每一第一可數(shù)的正則仿拓?fù)淙菏谴慰啥攘炕?

注：雖然該問題已經(jīng)被著名拓?fù)鋵W(xué)家Taras B, Alex R 完全解決，但國內(nèi)學(xué)者是最早在該這問題上進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并做出了相應(yīng)的貢獻(xiàn).

問題3[24]是否每一Hausdorff（正則）第一可數(shù)偽特征的仿拓?fù)淙菏欠窬哂蠫δ對角線?

劉川、沈榮鑫、林福財、李丕余等在這些問題上開展了研究，獲得如下一些結(jié)果：

定理1[19]設(shè) G 是Hausdorff 第一可數(shù)仿拓?fù)淙海敲碐 具有正則Gδ對角線.

定理2[21]對序列的、 第一可數(shù)的和正則仿拓?fù)淙篏，則G 是第一可數(shù)的當(dāng)且僅當(dāng)G 不含Sw的閉拷貝.

定理3[21]具有可數(shù)網(wǎng)的第一可數(shù)的仿拓?fù)淙篏 具有可數(shù)基.

定理4[10]每一 sn 第一可數(shù)的仿拓?fù)淙篏 是 so 第一可數(shù)的.

命題5[3]下列條件等價：

1) 每一正則具有可數(shù)網(wǎng)的雙序列的仿拓?fù)淙菏强煞峙c可度量化的；

2) 每一可數(shù)、正則的和雙序列的仿拓?fù)淙菏堑谝豢蓴?shù).

下列3 個命題是對問題1 的一個部分回答.

命題1[3]下列表述等價：

1) 每一 Fréchet-Urysohn 仿拓?fù)淙?G 是 α4空間；

2) 每一可數(shù)的 Fréchet-Urysohn 仿拓?fù)淙?G 是 α4空間.

命題 2[3]設(shè) G 是序列的仿拓?fù)淙?若 G 是 α4空間，那么 G 是強(qiáng) Fréchet-Urysohn 空間.

命題 3[3]設(shè) G 是仿拓?fù)淙海瑒t G 是強(qiáng) Fréchet-Urysohn 當(dāng)且僅當(dāng) t（G）ω 且G 的每一可數(shù)子集是不包含閉拷貝Sω的序列子空間.

下列5 個定理是對問題2 的一些部分回答.

定理 5[4]若（G，）是SIN 且第一可數(shù)的Hausdorff 仿拓?fù)淙海瑒t（G，）是次可度量化空間.

定理 6[4]若（G，）是具有可數(shù)特征的Hausdorff 交換仿拓?fù)淙?，則（G，）是次可度量化空間.

定理 7[4]若（G，）是saturated 的第一可數(shù)Hausdorff 仿拓?fù)淙?，則G 是次可度量化空間.

定理 8[4]若（G，）是弱緊的第一可數(shù)Hausdorff 仿拓?fù)淙海瑒tG 是次可度量化空間.

定理 9[4]設(shè)（G，）是SIN 的Hausdorff 仿拓?fù)淙?，若G 是局部可數(shù)的，則G 是次可度量化空間.

例1[4]存在具有可數(shù)偽特征但不具有Gδ對角線交換仿拓?fù)淙篏.

例1 是對問題3 的一個否定回答，是最早在可數(shù)偽特征仿拓?fù)淙旱难芯糠矫嫒〉猛黄?

2 仿拓?fù)淙旱膹V義度量性質(zhì)

廣義度量空間研究是我國傳統(tǒng)研究強(qiáng)項(xiàng)，如江守禮、林壽、李進(jìn)金、彭良雪、燕鵬飛、李克典等取得很多好成果.應(yīng)用廣義度量空間理論的方法和技術(shù)手段來研究拓?fù)浯鷶?shù)，是我國在拓?fù)浯鷶?shù)研究的一大研究特色.仿拓?fù)淙鹤鳛橥負(fù)淙旱闹匾茝V， 涉及到大量廣義度量空間理論的公開問題， 如是否每一正則的Moore 仿拓?fù)淙菏强啥攘炕瘑?？廣義度量方法在仿拓?fù)淙豪碚摰难芯康玫搅撕芎玫膽?yīng)用，我們將重點(diǎn)闡述國內(nèi)學(xué)者在這方面取得的成果.

下面例子和定理說明每一正則的Moore 仿拓?fù)淙翰灰欢ㄊ强啥攘炕?，否定地回答了著名拓?fù)鋵W(xué)家Arhangel'skiǐ A V 和 Tkachenko M 的公開問題.

例2[4,9]存在正則的Moore 仿拓?fù)淙翰豢啥攘炕?

定理10[26]在MA+┐CH，存在不可度量化、可分、正規(guī)Moore 的仿拓?fù)淙?

下面的定理給出該問題另一種回答.

定理11[4]每一正則擬可展的Baire 仿拓?fù)淙篏 都是可度量化的拓?fù)淙?

定理12[17]每一第一可數(shù)且β 仿拓?fù)淙菏强烧沟?

自然地，什么樣的仿拓?fù)淙菏强啥攘炕?劉川、林壽和林福財給出該問題的一些回答.

定理13[3]下列條件等價：

1）G 是具有左不變度量的可度量化拓?fù)淙海?/p>

2）G 是度量化拓?fù)淙海?/p>

3）G 是具有左不變對稱度量的對稱度量化仿拓?fù)淙海?/p>

4）G 是具有左不變擬度量和左連續(xù)的擬度量化的仿拓?fù)淙?

定理14[4]設(shè)G 是不可數(shù)的仿拓?fù)淙?，若G 是可分度量空間的偽開映像，則G 是可分的度量化空間.

定理15[4]設(shè)G 是正則、局部的可數(shù)kω仿拓?fù)淙?，那么G 是離散的拓?fù)淙夯虬]拷貝Sω.

眾所周知，一個拓?fù)淙褐芯哂校ㄩ]）拷貝S2當(dāng)且僅當(dāng)具有（閉）拷貝Sω，但在仿拓?fù)淙褐两袢匀皇莻€公開問題，但劉川證明了如下定理.

定理 16[19]設(shè) G 是仿拓?fù)淙?若 G 具有（閉）拷貝 S2，那么 G 具有（閉）拷貝 Sω.

3 自由仿拓?fù)淙豪碚?/h2>

自由仿拓?fù)淙菏俏墨I(xiàn)[27]引入的概念.至今，自由仿拓?fù)淙菏欠峦負(fù)淙豪碚摰囊粋€重要研究方向，能夠?yàn)檠芯糠峦負(fù)淙豪碚撎峁├碚摴ぞ吆头椒?2002 年至今，仿拓?fù)淙豪碚摰难芯恳鸨姸鄬W(xué)者的興趣，特別是國內(nèi)的學(xué)者的研究獨(dú)具特色.自由仿拓?fù)淙旱那度雴栴}和鄰域基問題是研究仿拓?fù)淙豪碚摰暮诵膯栴}，2012 年，林福財首次給出了自由交換仿拓?fù)淙簡挝辉徲蚧男问剑?015 年，林福財、林壽等解決了自由交換仿拓?fù)淙旱那度雴栴}；蔡長勇、林壽等對自由仿拓?fù)淙哼M(jìn)行了系統(tǒng)的研究，見[5-8].

定理17[15]設(shè)Y 是度量空間X 的子空間，則 AP（Y）是AP（X）仿拓?fù)淙鹤尤?

自由仿拓?fù)淙簭V義度量性質(zhì)的刻畫是一個重要研究方向，是厘清自由仿拓?fù)淙和負(fù)湫再|(zhì)的一個重要手段，國內(nèi)的學(xué)者在這方面取得了重要的進(jìn)展.下面定理推廣了自由拓?fù)淙豪碚摰闹匾晒?

定理18[16]設(shè)X 是函數(shù)Hausdorff 空間，則下列等價：

1）FP（X）是幾乎可數(shù)型的仿拓?fù)淙海?/p>

2）AP（X）是幾乎可數(shù)型的仿拓?fù)淙海?/p>

3） X 是離散的.

定理19[5]設(shè) X 是次可度量空間，則FP（X）是 σ 空間（半層空間）當(dāng)且僅當(dāng)X 是 σ 空間（半層空間）.

定理20[15]設(shè)X 是可度量的 z 空間，則下列等價：

1）AP（X）是 k 空間；

2）AP（X）同胚于可數(shù)的 kω空間與離散空間的積；

3）X 是局部緊、局部可數(shù)的且非孤立點(diǎn)集是可分的.

定理21[5]設(shè)X 是正則空間，則下列等價：

1） FP2（X）是第一可數(shù)的；

2）FP2（X）是度量空間；

3）X 是可度量化的且非孤立點(diǎn)集是有限集；

4） AP2（X）是第一可數(shù)的；

5） AP2（X）是度量空間；

6）對每一 n∈N，APn（X）是第一可數(shù)空間.

4 公開問題

關(guān)于仿拓?fù)淙豪碚摰墓_問題非常多，下面列舉部分有趣且重要的問題.首先，給出一個關(guān)于仿拓?fù)淙嚎啥攘炕瘑栴}.

問題4[10]設(shè)G 是具有點(diǎn)可數(shù)基（sharp 基或一致基）的正則仿拓?fù)淙?，則G 是可度量化？

問題5[4]是否每一具有可數(shù)序基的仿拓?fù)淙菏强烧箍臻g？

問題 6[19]設(shè) G 是仿拓?fù)淙?若 G 具有（閉）拷貝 Sω，那么 G 具有（閉）拷貝 S2？

關(guān)于仿拓?fù)淙旱姆蛛x性方面，我們有如下問題：

問題7[24]設(shè)G 是局部正規(guī)的仿拓?fù)淙?，則G 是正規(guī)？

關(guān)于仿拓?fù)淙旱娜艨蓴?shù)公理方面，下面是一個重要的公開問題.

問題8[17]設(shè)G 是正則T1雙序列的仿拓?fù)淙?，則G 是第一可數(shù)？

關(guān)于自由仿拓?fù)淙悍矫?，具有如下的公開問題：

問題9[15]設(shè)Y 是層空間（度量空間）X 的子空間，則FP（Y）是FP（X）仿拓?fù)淙鹤尤海?/p>

問題10[15]設(shè)X 是度量空間，則FP（X）（AP（X））是仿緊空間？ 特別地，X 是不可數(shù)緊度量空間呢？