我國目前數(shù)學推理研究綜述

仲秋月

[摘 要]推理是數(shù)學的基本思維方式，也是數(shù)學的核心素養(yǎng)之一。通過收集大量與數(shù)學推理教學相關(guān)的文獻資料，進行整理、比較和分析，從數(shù)學推理的內(nèi)涵、數(shù)學推理的分類、數(shù)學推理的教育價值、數(shù)學推理的教學研究以及對數(shù)學推理的研究展望這五個方面，闡述了未來研究應(yīng)該注重科學規(guī)范地教學合情推理、演繹推理，加強對合情推理與演繹推理教學的分析與研究，積極開展實證性研究和評價研究等。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學推理;研究綜述;演繹推理;歸納推理;類比推理;合情推理

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識確定為十大核心概念。高中數(shù)學課程標準修訂組將數(shù)學核心素養(yǎng)分解為數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析六個方面。林崇德教授認為，高中數(shù)學課標組對數(shù)學核心素養(yǎng)的解讀也是小學數(shù)學核心素養(yǎng)的根本依據(jù)。因此，培養(yǎng)學生的數(shù)學推理將有效促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，這已成為近幾年數(shù)學教育界的一種共識。本文將對中國當前數(shù)學推理研究進行一次全面綜述。

一、數(shù)學推理的內(nèi)涵

推理是由已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）。

曹培英曾說：“推理是人們學習、工作和日常生活中經(jīng)常進行的一種思維活動，歷來是邏輯學、心理學以及認識論研究的重要對象。”邏輯學稱之為“思維形式”，心理學更愿意將它看作“思維過程”，認識論則進一步認為推理僅是對人類抽象思維一個方面的“單純模擬”，因為人的真實思維，總是多種心理因素的綜合活動?！巴评怼笔且环N思維活動，“能力”是使某種活動順利完成的個性心理特征，那么“推理能力”就可以解釋為“順利完成推理的個性心理特征”。

吳宏在《推理能力表現(xiàn)：要素、水平與評價指標》中指出，數(shù)學推理是數(shù)學的基本思維方式，不能等同于純演繹的邏輯推理。從邏輯學角度來看，數(shù)學推理分為論證推理和合情推理，結(jié)合方法論，觀察、實驗、聯(lián)想、猜測、直觀、推廣、限定、抽象等科學發(fā)現(xiàn)手段也屬于合情推理范疇。吳宏還進一步指出了一般推理和數(shù)學推理之間的關(guān)聯(lián)：一般推理可能是模糊的、不精確的，會導致不明確的結(jié)果，從而出現(xiàn)有偏差的行為。

二、數(shù)學推理的分類

課程標準指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理。”曹培英認為，推理具有多樣性，可以根據(jù)不同的標準進行分類，比較常見的分類如圖1所示。

演繹推理是從一般到特殊的推理，即從一般性知識的前提推出特殊性結(jié)論，因而是必然性推理。演繹推理模式由三部分組成，叫作“三段論”。大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理，對特殊情況作出判斷。有時為了簡化，也可以省略大前提。王永春在此基礎(chǔ)上將演繹推理細分為三段論、選言推理、假言推理和關(guān)系推理。合情推理是由已有事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果的推理形式。

歸納推理是從特殊到一般的推理，即從特殊（個別）性知識的前提推出一般性結(jié)論。歸納推理可以根據(jù)前提所考察對象的范圍，分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對象，無一例外，它也是必然推理;不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對象，由此推出的一般結(jié)論，可能真，也可能假，它也是合情推理。

在此基礎(chǔ)上，還可以根據(jù)前提是否揭示了對象與其屬性之間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理細分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。簡單枚舉歸納推理是根據(jù)某類事物的部分對象有無某種屬性，考察中沒有遇到相反的情況，從而推出該類全部對象有無某種屬性的歸納推理。科學歸納推理是指在考察（觀察或?qū)嶒灥龋┠愁愂挛锏牟糠謱ο蟮幕A(chǔ)上，通過分析找出原因，以此為依據(jù)，由點及面推出結(jié)論的推理方式。對簡單枚舉歸納推理而言，前提所考察的對象數(shù)量盡可能多一些、全面一些，有利于提高結(jié)論的可靠性;但對科學歸納推理而言，前提所考察的對象數(shù)量的多少對結(jié)論的可靠程度不起主要作用，只要是真正揭示了對象預(yù)期屬性之間的因果聯(lián)系，“知其然”且“知其所以然”，即使前提所考察的對象數(shù)量不多（甚至只有一個），也能得到較為可靠的結(jié)論。

類比推理是由特殊到特殊的推理，即以兩個或兩類對象有部分屬性相同為前提，推出它們的其他屬性也有相同的結(jié)論，也稱類推。

不完全歸納推理和類比推理屬于或然推理、似真推理，因為它們常常看似合情合理，卻可能導致錯誤的結(jié)論。課程標準指出：“在數(shù)學里，常常依靠合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索證明思路，然后通過演繹推理證明結(jié)論?！?/p>

值得一提的是，連四清、方運加對合情推理模式進行了辨析，他們指出：“在數(shù)學和數(shù)學教育的發(fā)展歷程中，演繹推理和歸納推理的作用一直都是非常關(guān)鍵的。”數(shù)學研究表明，兩者相互關(guān)聯(lián)、融合一體地發(fā)揮作用，這是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的真諦。因而，數(shù)學教學過程中，教師強調(diào)對學生歸納推理和演繹推理能力的培養(yǎng)，確實是充分發(fā)揮數(shù)學育人功能的關(guān)鍵所在。更進一步，只有充分強調(diào)歸納推理和演繹推理的聯(lián)系與綜合，才能把培養(yǎng)學生靈活運用歸納和演繹推理解決數(shù)學問題的能力放在核心地位，才能高效地推動學生數(shù)學能力的發(fā)展。

三、數(shù)學推理的教育價值

殷嫻在《小學階段數(shù)學推理目標實施綜述》中梳理了我國數(shù)學推理課程目標的演進歷程，指出數(shù)學推理能力的培養(yǎng)一直是小學數(shù)學教材的主線，貫穿于各年級數(shù)學教學的始終。課程標準指出：“推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式……在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！蓖评聿粌H促進人的思維的發(fā)展，同時促進數(shù)學的發(fā)展、推動科學的發(fā)展。推理能力的發(fā)展對于個人與社會的發(fā)展都有著重要的意義，許多專家學者都給出了這樣的論斷。

史寧中教授認為，數(shù)學具有邏輯性，從假設(shè)前提出發(fā)，通過推理得到數(shù)學的結(jié)果，推理促進了數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展。

曹培英認為，推理的本質(zhì)功能在于生成新結(jié)論、推出新知識，因而它是如此重要。我們可以這樣說，沒有推理，就沒有今天的數(shù)學，同樣可以說，沒有推理，就沒有真正的數(shù)學學習。

王瑾認為，小學生通過歸納推理認知數(shù)學規(guī)律、形成數(shù)學概念，從而構(gòu)建數(shù)學知識體系，又通過歸納推理解決問題。因此，歸納推理是小學數(shù)學中提高兒童數(shù)學素養(yǎng)，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新精神的重要的內(nèi)容。小學數(shù)學中的列舉推理往往是在具體情境中，根據(jù)對象的外部特征作出一定結(jié)論的，解決“是什么”的問題。然而，科學歸納推理是通過發(fā)現(xiàn)對象與屬性之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系來說明和解釋規(guī)律，獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在依據(jù)，也就是解決“是什么”和“為什么”的問題，具有一定的抽象性。列舉推理使學生“知其然”，而科學歸納推理不但使學生“知其然”且“知其所以然”，特別有助于學生對所學知識的實質(zhì)理解，有利于學生養(yǎng)成科學分析的習慣。

綜上所述，無論是從個別現(xiàn)象出發(fā)抽象其共性總結(jié)出一般的結(jié)論的歸納推理，還是通過條件預(yù)測結(jié)果以及由結(jié)論探究成因這類從特殊到一般的推理，都能夠發(fā)現(xiàn)新的“知識”，雖然這種“知識”具有或然性，卻是數(shù)學創(chuàng)新的根本。數(shù)學直觀、聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)并不是“學到的”，而是在伴隨數(shù)學推理的過程中“生長而來的”。推理是學生數(shù)學學習和解決問題過程中不可或缺的基本思維方式，也是創(chuàng)新能力發(fā)展的根本。

四、數(shù)學推理的教學研究

課程標準指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學學習過程中。”

徐斌艷在《數(shù)學推理活動在數(shù)學教育中的意義》中指出：“學生數(shù)學學習的基本過程是類比式的推理?！迸囵B(yǎng)學生數(shù)學學習中的類比推理可以從明確數(shù)學類比物、鼓勵學生探測問題結(jié)構(gòu)、在活動中強調(diào)類比推理的過程等方面入手。

曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）（下）》中提出，小學數(shù)學學習合情推理多于演繹推理、小學數(shù)學蘊含著很多有待發(fā)掘的演繹推理、“猜想→實驗→說理”過程能使合情推理與演繹推理相輔相成;培養(yǎng)小學生的推理能力應(yīng)從重視知識的理解、鼓勵學生猜想、啟發(fā)學生說理、充分利用直觀、“數(shù)、形、事”結(jié)合、適當開展推理訓練、培養(yǎng)良好的思維習慣、增強教師自身的素養(yǎng)八個方面入手。他在《小學數(shù)學合情推理的教學研究》中以實際的題例說明了怎樣培養(yǎng)學生感悟合情推理的或然性以及怎樣啟發(fā)學生確認合情推理的結(jié)論。

王瑾在《小學階段數(shù)學歸納推理課程的實施研究》中指出：“歸納推理的學習應(yīng)該是一個貫穿整個小學階段的認知活動。”小學數(shù)學的歸納推理除了關(guān)注列舉推理以外，還應(yīng)該在適當?shù)臅r期增加對科學歸納推理的重視。具體而言，根據(jù)兒童的認知發(fā)展特點，在小學低年級數(shù)學教學中應(yīng)側(cè)重于幾何形象的、直觀的、數(shù)量相對較少的數(shù)學對象，側(cè)重于外部關(guān)系的內(nèi)容;小學中年級要注意由直觀形象的水平向抽象本質(zhì)的水平過渡;小學高年級可以選擇數(shù)量相對較多的、抽象的數(shù)學對象，側(cè)重于內(nèi)部關(guān)系的內(nèi)容，同時注意討論數(shù)學對象與屬性之間的因果關(guān)系。他將小學歸納推理的教學大致劃分為有關(guān)系的四個階段：前歸納階段、歸納推理的初級階段、歸納推理的完善階段、歸納推理的前演繹階段。

黃偉星在《小學數(shù)學教學中要處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系》中提出，加強教學設(shè)計中的分析判斷發(fā)展學生演繹推理能力，通過歸納和類比猜想探尋數(shù)學規(guī)律發(fā)展合情推理能力，通過正反兩方證明數(shù)學規(guī)律，使合情推理與演繹推理相輔相成、兩種推理能力協(xié)同發(fā)展，對激發(fā)學生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力有很大幫助。

王永春在《小學數(shù)學思想方法的梳理（四）》中對小學數(shù)學中推理思想的應(yīng)用進行了初步的梳理，并通過實例介紹了一些推理能力教學的方法。

對合情推理做過教學實踐研究的還有貢紅娣、李艷梅、王秋歌，梁仁東等;對演繹推理的教學展開分析與討論的有郭玉俠、吉智深、劉霞非，吳敏、周正文，王俊等;對類比推理進行教學研究的有卞愛存、劉德宏、顧曉東、許盛文等;討論合情推理與演繹推理教學關(guān)系的有魏常春、張德勤等。

值得一提的是，在課程標準頒布的早期，曾有學者提出演繹推理能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。如，徐斌艷、寧連華都在各自的文章中表達了斯滕伯格的觀點：數(shù)學推理的三個方面——分析性推理、創(chuàng)造性推理和實踐性推理同時起著重要作用。其中，分析性推理側(cè)重于演繹式邏輯分析，創(chuàng)造性推理側(cè)重于發(fā)現(xiàn)與猜想的活動過程，而實踐性推理是指在真實、具體的問題情境中，推斷、規(guī)劃解決問題的方法。分析性推理依舊是數(shù)學推理的基本要素，因為分析性推理在某種程度上對創(chuàng)造性推理和實踐性推理具有明顯的推進和制約作用。進而指出，數(shù)學教學中對學生推理能力的培養(yǎng)要立足于演繹推理的培養(yǎng)，同時發(fā)展學生合情推理、實踐性推理等能力。

五、數(shù)學推理的研究展望

通過文獻研究，我們能夠基本了解我國目前數(shù)學推理的研究概貌?？梢灾溃瑪?shù)學推理對數(shù)學教育和學生智力發(fā)展意義重大，是數(shù)學的核心素養(yǎng)，也是個人發(fā)展的基本素養(yǎng)。然而，數(shù)學教育理論研究方面和數(shù)學教學實踐方面都存在著很多難題，使得推理能力的培養(yǎng)無法真正落實到數(shù)學教育教學實踐中。筆者認為，我們的研究工作還應(yīng)從以下方面展開。

1.數(shù)學合情推理的教學應(yīng)科學規(guī)范

合情推理包括不完全歸納推理、類比推理、統(tǒng)計推理等。這些推理均具有或然性，它們的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的。然而，在實際教學中，由于合情推理的結(jié)論多數(shù)是人類已經(jīng)形成的數(shù)學知識，學生所經(jīng)歷的只是一個“簡化版”的“數(shù)學再創(chuàng)造”過程。學生在經(jīng)歷了較多這樣的“結(jié)果一定正確”的合情推理之后，自然會對合情推理產(chǎn)生錯誤認知，即“合情推理的結(jié)論都是正確的”。同時，教師教學時也會因此弱化合情推理的過程，甚至出現(xiàn)“非邏輯的自由聯(lián)想”或“想當然”地得出結(jié)論，等等。如何改變合情推理的學習過程與教學設(shè)計？怎樣讓學生認識到合情推理的或然性？應(yīng)為學生提供怎樣的合情推理的題例？合情推理的教學過程如何展開？如何做到科學規(guī)范？怎樣讓學生確認不完全歸納推理的結(jié)論是正確的？如何通過合情推理能力的培養(yǎng)提高學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力？

2.數(shù)學演繹推理的教學應(yīng)予以重視

在現(xiàn)行的課程標準引領(lǐng)下，我國的數(shù)學推理教學已由原先的強調(diào)邏輯推理，逐步轉(zhuǎn)向?qū)锨橥评淼闹匾暎霈F(xiàn)了一定的淡化邏輯推理的趨向。這一點，從研究合情推理和演繹推理的文獻資料比例上就能看出。

從課程標準關(guān)于“數(shù)學推理”的課程目標可知，第三學段中明確“體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理”。事實上，演繹推理并不是到了第三學段才開始被學習與運用的，在第一、二學段也蘊含著很多有待發(fā)掘的演繹推理。研究數(shù)學推理，需要研究演繹推理的內(nèi)涵，研究演繹推理的主要類型，研究蘊含演繹推理的例題與習題，研究小學數(shù)學學習中如何滲透演繹推理，研究初中數(shù)學學習中如何運用演繹推理證明的過程，研究演繹推理對促進學生邏輯思維能力發(fā)展的影響與作用……

3.加強對合情推理與演繹推理教學的分析與研究

合情推理與演繹推理在數(shù)學學習與解決問題的過程中是相輔相成、無法截然分開的。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。兩者相結(jié)合的推理教學無疑是學生數(shù)學推理能力培養(yǎng)的關(guān)鍵。教師應(yīng)著重研究兩者結(jié)合的典型教學內(nèi)容，研究數(shù)學教材中兩者結(jié)合的數(shù)學推理在不同數(shù)學內(nèi)容領(lǐng)域中的分布，研究這一數(shù)學推理內(nèi)容的教學策略，研究數(shù)學推理與數(shù)學抽象、數(shù)學建模之間的關(guān)系，等等。

4.開展實證性研究和評價研究

關(guān)于數(shù)學推理的理論分析和教學實踐的文章并不多，尤其是實踐定量分析的文章非常少，而有關(guān)數(shù)學推理評價方面的文章更是無從搜索。因而，我們需要多進行數(shù)學推理的評價研究和實證性的量化研究。實證性的量化研究可以研究學生數(shù)學認知活動及解決問題中推理能力、數(shù)學推理能力形成的基本過程等的發(fā)展因素、數(shù)學推理發(fā)展與數(shù)學學習水平的相關(guān)性，等等。

課程標準關(guān)于推理能力的要求在不同學段呈現(xiàn)不同的水平層次差異，然而因為當前的課程標準關(guān)于數(shù)學推理能力要求包含于數(shù)學思考表述中，表現(xiàn)在較多地關(guān)注數(shù)學思想方法和觀念，對學生數(shù)學推理能力表現(xiàn)的標準是不具體的、籠統(tǒng)的，推理能力表現(xiàn)的變化性和差異性沒有得到足夠的重視。在研究數(shù)學推理的過程中，我們應(yīng)對推理能力的發(fā)展提出更為明確的要求。如，怎樣引導學生獨立思考？如何才能比較清楚地表達自己思考的過程和結(jié)果？作為中小學生數(shù)學學習的核心能力，推理能力在不同年齡和學習水平上具體有哪些差異性？怎樣的思考才是“有條理的思考”？發(fā)展合情推理和演繹推理的能力應(yīng)達到怎樣的程度？如何判斷學生形成了某種推理能力，其表現(xiàn)指標和項目是否有差異？具體評價指標是什么？等等。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（上）[J].小學數(shù)學教師，2014（Z1）.

[2] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之七——推理能力（下）[J].小學數(shù)學教師，2014（9）.

[3] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 黃偉星.小學數(shù)學教學中要處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系[J].小學數(shù)學教師，2014（2）.

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點自籌課題“基于學科關(guān)鍵能力發(fā)展的數(shù)學核心內(nèi)容教學設(shè)計研究”（課題編號：B-b/2018/02/07）成果。]

（責編 李琪琦）