顛倒的總數(shù)和份數(shù)

陸靜

[摘 要]雖然小學(xué)階段的知識總是越直觀越好，對某些算式的解釋也是越通俗越好，如除法，就是將總數(shù)平均分配給若干對象，然后求每個對象分到的分量，但學(xué)生有時會誤認為大數(shù)就一定為總數(shù)，小數(shù)就一定為份數(shù)，一旦待分割的總量小于份數(shù)，學(xué)生的思路就會陷入死胡同。在教學(xué)中，教師有時可以故意調(diào)換總數(shù)與份數(shù)的位置，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用解題策略的能力，讓學(xué)生活學(xué)活用。

[關(guān)鍵詞]總數(shù);份數(shù);顛倒

“用4千克的馬鈴薯可以提制淀粉1.6千克。照此計算，1千克的馬鈴薯可以提制多少千克的淀粉？要提制1千克淀粉需消耗多少千克馬鈴薯原料？”這樣的“馬鈴薯提制淀粉”類型題屢見不鮮，一個條件兩個問題，兩問題之間只是調(diào)換了單位量和分配量的位置，這對于學(xué)生來說不亞于一次腦力競賽，尤其對于學(xué)困生，他們總是難以辨明二者的區(qū)別，時?；煜τ谶@類題目，一些資深的教師主要教授以下兩種解題方法。第一種：抓住問句的落腳點和中心詞，看到底求的是淀粉還是馬鈴薯。如果求的是淀粉，那就用淀粉的量除以馬鈴薯的量;如果求的是馬鈴薯，那就用馬鈴薯的量除以淀粉的量。第二種：看問題中已經(jīng)定為單位“1”的是哪個量。如果問句中含有“1千克馬鈴薯”的表述，那就把馬鈴薯的量作為除數(shù)，淀粉的量作為被除數(shù);如果問句中含有“1千克淀粉”的表述，那就反過來把淀粉的量作為除數(shù)，馬鈴薯的量作為被除數(shù)。在感慨這兩種解題妙法之余，筆者也有了自己的一些研究和體悟。

一、兩種解法，一種數(shù)量關(guān)系模型

以上兩種解法有異曲同工之妙，歸根結(jié)底就是遵守一個準(zhǔn)則，那就是基本的數(shù)量關(guān)系模型：“總數(shù)[÷]份數(shù)=每份數(shù)”。第一種解法著重尋找總量，而第二種解法則偏重于份數(shù)，不管思路怎么變換，都是沿著不同路徑計算出“每份數(shù)”。如果把馬鈴薯的量看作總數(shù)，對淀粉進行配額，那么淀粉的量值就為份數(shù)，也就是1千克單獨為一份，用除法計算就可以算出每千克淀粉需要消耗多少千克的馬鈴薯，即題目的第二問。有了基本數(shù)量關(guān)系模型作為論據(jù)，筆者教學(xué)時信心倍增，下一步亟須解決的是如何讓學(xué)生理解。要讓學(xué)生深刻理解為什么總數(shù)和份數(shù)之間可以顛倒相除，這是教學(xué)的難點。受低學(xué)段整數(shù)除法的負遷移，學(xué)生印象中只有大數(shù)字可以除以小數(shù)字，大數(shù)會被默認為被除數(shù)，小數(shù)則被默認為除數(shù)。隨著數(shù)域的擴充，小數(shù)、分?jǐn)?shù)不斷加入到數(shù)字的行列，這種守舊落后的觀念遲早要打破。因此要想解釋清楚這個問題，必須徹底鏟除學(xué)生心目中的小數(shù)不能除以大數(shù)的偏見。

二、顛倒表述，拓展至策略制定

怎么清除學(xué)生心目中的思想障礙，筆者采取了欲擒故縱的策略，給學(xué)生出了一道低學(xué)段的除法題：孤兒院有80間兒童房，平均分給40名孤兒居住，每名孤兒能分到幾間房？這道題顯然難不倒學(xué)生，列式80[÷]40=2（間）就可輕松解決問題。筆者馬上又跟進一個“換位思考”的問題：40名孤兒平均分給80間兒童房，平均每間房里住幾名孤兒？問題一出，學(xué)生都愣住了，仔細考慮后，還是有學(xué)生自告奮勇地列出算式：40[÷]80=[12]（名）。筆者從旁解釋：40名孤兒平均分配80間兒童房，最后每兩間房住一個人，也就是每間房住半個人。學(xué)生聽了筆者的解說，茅塞頓開，頻頻點頭稱是。借此機會，筆者講述了總數(shù)、份數(shù)在生活中有時是可以顛倒調(diào)換的，只是在低學(xué)段還沒有涉及小于1的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，所以不便論及。借此良機，學(xué)生再來解答“馬鈴薯提制淀粉”類問題就易如反掌了。

在新版教材中，解決問題的重心轉(zhuǎn)移到策略制定上，那么站在策略高度，碰到“馬鈴薯提制淀粉”類問題還有什么其他策略嗎？梳理小學(xué)階段的其他解題策略，有畫圖、列表等，但畫圖在此顯然不合時宜，可以嘗試列表。

分析表格可知，馬鈴薯和淀粉是有對應(yīng)關(guān)系的，多少量的馬鈴薯對應(yīng)提制多少量的淀粉，馬鈴薯的數(shù)量增加，淀粉的數(shù)量也相應(yīng)增加，淀粉的數(shù)量減少，馬鈴薯的數(shù)量也相應(yīng)減少。既然存在這般對應(yīng)關(guān)系，那問題就很明了了，比如表格中4千克馬鈴薯→1千克馬鈴薯，馬鈴薯的數(shù)量縮小了4倍，那么提制淀粉的數(shù)量也應(yīng)相應(yīng)縮小4倍，變?yōu)?.6[÷]4=0.4（千克）;提制淀粉1.6千克→提制淀粉1千克，淀粉的數(shù)量縮小了1.6倍，那么馬鈴薯的數(shù)量也應(yīng)隨之縮小1.6倍，變?yōu)?[÷]1.6=2.5（千克）。利用列表策略可以清晰反映出馬鈴薯和淀粉之間的隨動關(guān)系，只有看清了對應(yīng)關(guān)系，解答起來才能駕輕就熟。

三、觸類旁通，策略的廣泛應(yīng)用

列表策略在“馬鈴薯提制淀粉”類型問題上作用巨大，比如，200克馬鈴薯可以提制淀粉40克，照此計算，要提制淀粉200克，需要馬鈴薯多少克？有1千克馬鈴薯可以提制淀粉多少克？碰到這類問題，列表找對應(yīng)關(guān)系比思考辨析總數(shù)、每份數(shù)要便利得多?？梢姡诓呗砸庾R的培養(yǎng)上，教師不能因循守舊，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用。

上面提到的都是有關(guān)“馬鈴薯提制淀粉”的問題，那么在掌握“馬鈴薯提制淀粉”的基本解題策略后，該策略還有哪些拓展應(yīng)用？常見的有類似例題：李明經(jīng)常騎車上學(xué)，上學(xué)時走上坡路，每小時行3千米，放學(xué)時走下坡路，每小時行4千米。李明騎車上學(xué)的平均速度是多少？此題貌似缺少路程這一條件，而且看上去跟“馬鈴薯提制淀粉”問題風(fēng)馬牛不相及，但仔細琢磨，“走完1千米需要幾小時”，不就是“馬鈴薯提制淀粉”問題的翻版嗎？把條件“上學(xué)每小時騎行3千米”看似簡單的“馬鈴薯提制淀粉”問題其實并不簡單，一些繁難的問題通過“馬鈴薯提制淀粉”式的另類解讀便可輕松化解?？梢?，解數(shù)學(xué)問題時應(yīng)該透過現(xiàn)象直擊本質(zhì)，只有把握本質(zhì)才能走得更遠。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 甄慰.以問題細化“閱讀與理解”，提升“解決問題”能力——以“解決問題——怎樣租船最省錢”的教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（5）：45-46.

[2] 黎金彩.淺談數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（23）：28-29.

[3] 馬增福.小學(xué)數(shù)學(xué)“模型思想”中“核心素養(yǎng)”解讀——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)為例[J].教育實踐與研究（A），2018（11）：4-11.

（責(zé)編 羅 艷）