當(dāng)“發(fā)現(xiàn)”升級(jí)為“驗(yàn)證”

王慶菊

[摘 要]在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”之前，很多學(xué)生都已經(jīng)知道了“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論，順學(xué)而教，課堂教學(xué)的重心必然從“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”升級(jí)為“驗(yàn)證結(jié)論”——讓學(xué)生經(jīng)歷三角形的內(nèi)角和之所以為180°的探究過(guò)程，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在建構(gòu)中走向豐盈和深刻。

[關(guān)鍵詞]理性思維;推理;深度建構(gòu);三角形的內(nèi)角和

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版教材四年級(jí)下冊(cè)第67頁(yè)“三角形的內(nèi)角和”。

【課前慎思】

1. 四年級(jí)學(xué)生大多數(shù)都知道“三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論，而且對(duì)此深信不疑，并沒(méi)有太強(qiáng)的探究欲望。因此，即使教師讓學(xué)生用量角器量或用剪拼角等方法驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，也是徒有形式的“虛假”操作。那么，本節(jié)課的生長(zhǎng)點(diǎn)和核心是什么？

2.“內(nèi)角”指“在封閉折線構(gòu)成的圖形內(nèi)的夾角”。既然是研究三角形的內(nèi)角和，“內(nèi)角”自然成為繞不過(guò)的概念，而教材對(duì)于“內(nèi)角”概念卻只字未提。那么，需要專門進(jìn)行“內(nèi)角”概念教學(xué)嗎？

3.用測(cè)量法、剪拼法、折拼法等研究三角形的內(nèi)角和往往不能正好得到180°。對(duì)此，能否用“誤差”一詞以概之？

4. 數(shù)學(xué)之美在于理性思維，來(lái)不得一絲“差不多”。那么，是否有嚴(yán)密的適合學(xué)生驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和”的方法，以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的深度建構(gòu)？

【教學(xué)實(shí)踐】

一、直觀感知，認(rèn)識(shí)內(nèi)角、內(nèi)角和

1. 初識(shí)內(nèi)角、內(nèi)角和

師（出示一個(gè)三角形，如右圖）：這是一個(gè)什么圖形？

生（齊）：三角形。

師：為什么叫三角形？

生1：因?yàn)樗腥齻€(gè)角。

師：三角形的三個(gè)角∠1、∠2、∠3都在三角形的內(nèi)部，我們可以叫它們什么角？

生2：內(nèi)角。

師：把這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)合起來(lái)，又叫什么？

生3：內(nèi)角和。

2. 初識(shí)三角形的內(nèi)角和

師：聽(tīng)說(shuō)過(guò)三角形的內(nèi)角和嗎？誰(shuí)能介紹自己了解到的有關(guān)三角形內(nèi)角和的知識(shí)？

生4：三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你是怎么知道的？

生4：我是在書上看到的。

師：哪些同學(xué)真正研究過(guò)三角形的內(nèi)角和？三角形的內(nèi)角和真的是180°嗎？

二、小組交流，實(shí)踐驗(yàn)證

師：你準(zhǔn)備用什么方法研究？請(qǐng)先想一想，然后在小組里交流，再選擇合適的材料以小組為單位進(jìn)行驗(yàn)證。小組合作要求：（1）利用學(xué)具袋中提供的（或自己設(shè)計(jì)的）材料，選擇自己最喜歡的方法進(jìn)行驗(yàn)證，并填好記錄單。（2）通過(guò)驗(yàn)證，看看可以得出什么結(jié)論。

師：現(xiàn)在我們召開(kāi)研究成果發(fā)布會(huì)。發(fā)言的小組選一名同學(xué)當(dāng)主發(fā)言人，其他同學(xué)可以補(bǔ)充，下面的同學(xué)當(dāng)小記者，隨時(shí)準(zhǔn)備提問(wèn)?？茨膫€(gè)發(fā)言人表現(xiàn)最棒，哪個(gè)小記者最會(huì)提問(wèn)題。

（1）度量法

生1：我們小組用的是測(cè)量的方法。先用量角器測(cè)量出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再算內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和正好是180°。其他同學(xué)有問(wèn)題嗎？

師：這的確是個(gè)好方法。其他小組測(cè)量的結(jié)果也是180°嗎？好像有些同學(xué)遇到了一些問(wèn)題。

生2：我們小組測(cè)量后發(fā)現(xiàn)，有的三角形的內(nèi)角和是182°。

生3：我們小組測(cè)量的三角形的內(nèi)角和是179°，也不是180°。

師：剛才大家都認(rèn)為三角形的內(nèi)角和是180°，但測(cè)量的結(jié)果有的是180°，有的不是180°。為什么會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果？

生4：是不是量錯(cuò)了？

生5：可能量角器不準(zhǔn)。

生6：可能沒(méi)有把量角器放好。

師：的確，由于受測(cè)量工具或測(cè)量方法的影響，測(cè)量時(shí)只要有一點(diǎn)偏差，就會(huì)出現(xiàn)誤差。數(shù)學(xué)需要嚴(yán)謹(jǐn)，還有別的方法嗎？

（2）剪拼法

生7：我們小組用的是剪拼的方法。因?yàn)橐粋€(gè)平角是180°，我們就想，如果三角形的三個(gè)內(nèi)角剛好能拼成一個(gè)平角，不就能說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°了嗎？于是我們把三角形的三個(gè)角撕下來(lái)拼到一起，發(fā)現(xiàn)正好拼成一個(gè)平角，說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°。

師：這個(gè)小組通過(guò)變換位置，把原本不在一起的三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角。其他同學(xué)有問(wèn)題要問(wèn)嗎？

生8：我覺(jué)得這種方法也不太準(zhǔn)確——拼成的角和角之間也會(huì)有縫隙，不能確定正好是180°吧？

師：的確，這種方法也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。剛才同學(xué)們分別用測(cè)量和剪拼的方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，卻發(fā)現(xiàn)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和未必正好是180°。

三、以疑促思，補(bǔ)充完善

師：學(xué)具袋里好像還有一個(gè)材料被大家忽略了?？纯词悄膫€(gè)圖形？

生1：長(zhǎng)方形。

師：今天研究的是三角形的內(nèi)角和。猜猜看，老師為什么要給大家準(zhǔn)備這樣一個(gè)長(zhǎng)方形？

生1：這個(gè)長(zhǎng)方形沿對(duì)角線剪開(kāi)后可以得到兩個(gè)完全一樣的直角三角形。長(zhǎng)方形的每個(gè)角都是90°，4個(gè)角一共360°，所以一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：這種方法好不好？好在哪里？

生2：好！這種方法避免了在剪拼過(guò)程中出現(xiàn)的誤差。

生3：這種方法能說(shuō)明直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。

師：是這樣嗎？這種方法實(shí)際上就是借助已知的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)——長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，推出直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。那么，現(xiàn)在可以說(shuō)三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

生4：不行。銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和還沒(méi)有證明呢。

師：每個(gè)同學(xué)手中都有銳角三角形和鈍角三角形，有沒(méi)有辦法進(jìn)一步確認(rèn)它們的內(nèi)角和也是180°呢？

生5：是不是可以把銳角三角形、鈍角三角形也轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或者直角三角形，從而得出它們的內(nèi)角和？

師：試試看！

生6：在銳角三角形內(nèi)畫一條高，把它分成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和一共是360°，減去增加的兩個(gè)直角的度數(shù)，那么，三角形的內(nèi)角和是180°+180°-90°-90°=180°。

生7：在鈍角三角形內(nèi)畫一條高，把它分成兩個(gè)直角三角形，發(fā)現(xiàn)每個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：現(xiàn)在可以得出什么結(jié)論？

生8：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

師：其實(shí)，早在300多年前，法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家帕斯卡就用這種方法驗(yàn)證了任何三角形的內(nèi)角和都是180°，當(dāng)時(shí)他只有12歲。（介紹帕斯卡的推理證明方法）

師：為什么三角形的形狀不同，內(nèi)角和卻都是180°？這里面有沒(méi)有什么奧秘？老師這里有一幅圖（用幾何畫板演示不斷變化的三角形），仔細(xì)觀察，在這個(gè)過(guò)程中，什么變了？什么沒(méi)變？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：三個(gè)角的度數(shù)都在變化，內(nèi)角和卻總是不變。

師：如果老師把上面這個(gè)角一直往下拉，猜一猜會(huì)出現(xiàn)什么情況？

生10：真神奇！這個(gè)角變成了一個(gè)180°的平角，另外兩個(gè)角變成了0°，雖然這個(gè)圖形已經(jīng)不再是三角形，但這三個(gè)角的和仍然是180°。

師：不同的方法，同樣的精彩！大家發(fā)現(xiàn)了嗎？無(wú)論是撕一撕、折一折，還是拼一拼、分一分，這些方法都有異曲同工之妙，那就是都用了轉(zhuǎn)化的策略。

四、應(yīng)用感悟，豐富內(nèi)涵

（1）一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，這兩個(gè)小三角形的內(nèi)角和是180°嗎？

（2）把兩個(gè)三角形拼成一個(gè)大三角形，拼成的大三角形內(nèi)角和是180°嗎？

（3）著名數(shù)學(xué)家陳省身爺爺在北京大學(xué)的一次講學(xué)中語(yǔ)驚四座：“人們常說(shuō)，三角形內(nèi)角和等于180°。但是，這是不對(duì)的！”這又是為什么呢？

【課后思考】

1.重要的是驗(yàn)證結(jié)論

雖然很多學(xué)生在課前就知道“三角形的內(nèi)角和是180°”，但對(duì)他們而言，這僅僅是一個(gè)聽(tīng)來(lái)的信息而已。三角形的內(nèi)角和為什么是180°，學(xué)生未必思考過(guò)。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)不僅僅在于“三角形的內(nèi)角和是多少度”，更重要的是“用什么方法來(lái)說(shuō)明三角形的內(nèi)角和是180°”，即讓學(xué)生通過(guò)量、撕、拼、折等方法，經(jīng)歷“三角形的內(nèi)角和為180°”的探究過(guò)程。正如畢達(dá)哥拉斯所言：在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗赖摹?p>

2.在質(zhì)疑中走向深刻

關(guān)于三角形的內(nèi)角和，測(cè)量也好，剪拼、折拼也罷，誤差是不可避免的，許多教師對(duì)此不以為然，直接告訴學(xué)生這是誤差惹的禍。但是，用“誤差”之說(shuō)解釋“三角形的內(nèi)角和是180°”，是不是同樣可以解釋“三角形的內(nèi)角和是179°” “三角形的內(nèi)角和是182°”？如此，為什么三角形的內(nèi)角和偏偏是180°？

本節(jié)課之初，當(dāng)教師讓學(xué)生想辦法證明三角形的內(nèi)角和是180°時(shí)，很多學(xué)生想到的就是用量角器測(cè)量三個(gè)角的度數(shù)。但測(cè)量的結(jié)果并未如他們所聽(tīng)所想的那樣正好是180°。于是，有的學(xué)生開(kāi)始想辦法“解決”這個(gè)問(wèn)題：或調(diào)整測(cè)量結(jié)果，“湊”出180°;或先測(cè)出其中兩個(gè)角的度數(shù)，再用180°減去這兩個(gè)角的度數(shù)求出第三個(gè)角的度數(shù)，以迎合“三角形的內(nèi)角和是180°”。對(duì)此，如果僅以“誤差”一詞以概之，勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)和實(shí)事求是的科學(xué)精神的形成。

本節(jié)課中，從學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°的深信不疑，到測(cè)量法、剪拼法的不精確，使學(xué)生對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”將信將疑，再到借助長(zhǎng)方形論證以及幾何畫板演示使學(xué)生對(duì) “三角形的內(nèi)角和一定是180°”確信無(wú)疑，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)完整的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程，提升了思維品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在質(zhì)疑中走向深刻。

3.在推理中觸摸理性

中科院院士姜伯駒認(rèn)為，“不講證明，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。其實(shí)，數(shù)學(xué)上很多概念并不是完全可以實(shí)驗(yàn)出來(lái)的。比如三角形的內(nèi)角相加是180°，你真用尺子去量，可能會(huì)有誤差，也許就得不到這個(gè)180°?！?數(shù)學(xué)之美在于理性思維，推理是數(shù)學(xué)思維的核心。

本節(jié)課中，當(dāng)測(cè)量、剪拼等方法均不能很好地解釋三角形的內(nèi)角和為什么是180°時(shí)，借助學(xué)生熟知的、顯而易見(jiàn)的“長(zhǎng)方形的四個(gè)內(nèi)角都是90°”“長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°”這一經(jīng)驗(yàn)性數(shù)學(xué)事實(shí)，再結(jié)合長(zhǎng)方形與直角三角形的內(nèi)角關(guān)系，從特殊到一般進(jìn)行推理，使學(xué)生真正理解了三角形的內(nèi)角和之所以是180°的數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時(shí)感受轉(zhuǎn)化、變與不變的數(shù)學(xué)思想和推理力量，有效消除了直觀感知的尷尬，課堂在豐富和深刻中綻放出理性的光輝和散發(fā)出濃濃的數(shù)學(xué)味。

（責(zé)編 金 鈴）