數(shù)學(xué)模型在西安市人口預(yù)測中的應(yīng)用*

高 梅,康寶生,曹黎俠

(1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安 710127；2.西安工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，西安 710021)

近年來，隨著我國人民的物質(zhì)文化和精神生活水平的不斷提高，大量人口向城市集聚，導(dǎo)致城市人口不斷增長，從而引發(fā)資源、環(huán)境與發(fā)展等各類問題。為了保證城市的可持續(xù)發(fā)展，城市人口分布和增長速度必須趨于合理。對城市本身來說，城市的用地規(guī)模、城市的布局以及城市基礎(chǔ)設(shè)施的組成和規(guī)模均與城市人口規(guī)模有著十分密切的關(guān)系。城市人口規(guī)模預(yù)測合理與否，將對城市的建設(shè)和發(fā)展產(chǎn)生重要的影響[1-2]。

人口預(yù)測是一個(gè)國家或者地區(qū)根據(jù)規(guī)劃區(qū)域人口現(xiàn)狀和對影響人口發(fā)展的各種因素的假設(shè)，對未來某段時(shí)間人口規(guī)模、趨勢和水平所做的預(yù)報(bào)的技術(shù)或方法。城市人口預(yù)測是城市總體規(guī)劃的首要工作，準(zhǔn)確的預(yù)測未來人口的發(fā)展趨勢，對于確定城市規(guī)劃的目標(biāo)和具體技術(shù)指標(biāo)，制定合理的人口布局方案和人口規(guī)劃，保證和促進(jìn)人口、資源、環(huán)境與經(jīng)濟(jì)相互協(xié)調(diào)發(fā)展具有重大的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。然而，影響人口發(fā)展過程的因素很多，要想將這些因素均準(zhǔn)確地包含在預(yù)測范圍內(nèi)，顯然比較困難。人口預(yù)測的方法有很多，如傳統(tǒng)人口預(yù)測方法包括平均增長率法、帶眷系數(shù)法、剩余勞動(dòng)力轉(zhuǎn)化法和勞動(dòng)平衡法等；現(xiàn)代人口預(yù)測方法包括線性回歸法、馬爾薩斯人口模型和Logistic增長模型等[3-5]。本文通過西安市統(tǒng)計(jì)局官網(wǎng)的西安市往年人口發(fā)展變化的實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料[2]，建立馬爾薩斯人口模型[6-8]和Logistic模型[9-11]并加以分析比較，對西安市人口規(guī)模在未來20年的發(fā)展做出預(yù)測，試圖為本市的經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會(huì)發(fā)展的決策提供思考。

1 西安市人口現(xiàn)狀描述與分析

根據(jù)2016西安統(tǒng)計(jì)年鑒[2]：2015年年末西安市常住人口870.56萬人，比上年末凈增加7.81萬人，其中，男性人口446.91萬人，占總?cè)丝诘?1.3%；女性人口423.65萬人，占總?cè)丝诘?8.7%，性別比例為105.51∶100 (女性以100為基準(zhǔn)，男性對女性的比例)。全年出生人口8.80萬人，出生率為10.15%；死亡人口4.78萬人，死亡率為5.51%；自然增長率為4.64%。城鎮(zhèn)人口635.68萬人，占73.02%；鄉(xiāng)村人口234.88萬人，占總?cè)丝诘?6.98%。年末全市戶籍總?cè)丝?15.66萬人，比上年增長0.05%。與2005年相比，這10年西安市共增人口74.00萬人，平均每年增長人口7.40萬人。從1985-2015年，西安市人口總數(shù)(見表1)來看，總?cè)丝谑冀K處于增長狀態(tài)。

表1 西安市1985-2015年歷年總?cè)丝诒鞹ab.1 Total populatiou in Xi’an in 1985-2015

注：數(shù)據(jù)來源于西安市統(tǒng)計(jì)年鑒和統(tǒng)計(jì)公報(bào)。

人口指標(biāo)的變化情況如圖1所示，從圖1可看出，西安市的人口自然增長率狀態(tài)大體上呈下降的趨勢，1985-2001年的人口自然增長率狀態(tài)呈現(xiàn)不規(guī)律變動(dòng)。其中，1989年和2000年兩次出現(xiàn)峰值，第一次出現(xiàn)峰值之后的下降主要得益于計(jì)劃生育政策的落實(shí)，第二次出現(xiàn)峰值之后下降再上揚(yáng)是由于前一時(shí)期人口出生高峰的效應(yīng)。從2001-2015年，人口自然增長率基本處于平穩(wěn)狀態(tài)。

圖1 西安市1985-2015人口指標(biāo)變化Fig.1 Demographic change in Xi’an in 1985-2015

2 模型預(yù)測

西安市的比較完整的人口統(tǒng)計(jì)資料為人口預(yù)測提供了較為充分的依據(jù)。本文選擇西安市1985-2015年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來建立模型，采用馬爾薩斯人口模型和Logistic模型兩種方法來預(yù)測西安市未來20年內(nèi)的總?cè)藬?shù)。

2.1 馬爾薩斯人口模型

英國人口學(xué)家馬爾薩斯根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出了著名的基于指數(shù)增長的人口模型。該模型假設(shè)人口的增長率為常數(shù)，即人口隨著時(shí)間的增加按指數(shù)規(guī)律無限的增長。

假設(shè)在t時(shí)刻(單位以年記)人口為P(t)，則人口的增長率dP(t)/dt由出生率B(p,t)和死亡率D(p,t)來決定。假定B(p,t)和D(p,t)不隨著時(shí)間的變化而變化，即相對于t來說，B(p,t)和D(p,t)為常數(shù)，從而有B(p,t)=B(p)和D(p,t)=D(p)。假設(shè)1 000個(gè)人中每年有50個(gè)小孩出生，那么文中認(rèn)為2 000個(gè)人中每年有100個(gè)小孩出生是合理的，則出生率與人口成正比。設(shè)出生率為R1，死亡率為R2，則有B(p,t)=B(p)=R1P(t)，同理，D(p,t)=D(p)=R2P(t)。此處R1和R2均為大于0的常數(shù)，一般來說R1-R2>0。

由以上的敘述可以得出

假設(shè)在基年t0時(shí)的人口數(shù)量是P(t0)，則對dP(t)/dt=αP(t)進(jìn)行積分，可以解出P(t)=P(t0)eα(t-t0)，即為馬爾薩斯人口模型[3]。

西安市1985-2012年的年平均人口自然增長率為7.13%，設(shè)定預(yù)測期內(nèi)人口自然增長率做高、中、低3個(gè)方面預(yù)測。其中，高方案認(rèn)為：2013-2036年西安市人口自然增長率為1985-2012年的年平均人口自然增長率7.13%；低方案認(rèn)為：2013-2036年西安市人口自然增長率為1985-2012年的自然增長率的最小值3.10%；中方案取高方案和低方案的平均值5.12%。

對應(yīng)上述3種人口自然增長率的方案，以2012作為基準(zhǔn)年，以2013-2015年的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停鶕?jù)馬爾薩斯人口模型，通過Matlab求解，得到3種方案下的預(yù)測值，將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖2 西安市2013-2015年總?cè)丝?種方案預(yù)測Fig.2 Three schemes for forecasting Xi’an’s total population in 2013-2015

比較上述3種方案發(fā)現(xiàn)，高方案的預(yù)測值與實(shí)際人口數(shù)值誤差最小，研究認(rèn)為高方案的預(yù)測比較符合西安市未來人口發(fā)展的動(dòng)態(tài)趨勢。因此，運(yùn)用馬爾薩斯人口模型時(shí)選用高方案來預(yù)測西安市2016-2036年的總?cè)丝跀?shù)。

2.2 Logistic模型

由馬爾薩斯人口模型可知人口將無限增加，這顯然是不可能的，當(dāng)人口增長到一定數(shù)量后增長率就會(huì)下降，原因是自然資源、環(huán)境、食物、醫(yī)療衛(wèi)生等因素對人口的增長起阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用會(huì)越來越大，所以荷蘭生物數(shù)學(xué)家VERHULST于1837年提出增加競爭項(xiàng)：-bP2,將馬爾薩斯人口模型改進(jìn)為Logistic模型[3]：

(1)

為了計(jì)算模型中的a,b，選擇t0,t1,t23年的數(shù)據(jù)P0=P(t0)，P1=P(t1)，P2=P(t2)，其中t1-t0=t2-t1=f，代入式(1)有：

本文選擇間距相等的3個(gè)年份(1986年、1999年和2012年)，總?cè)丝诜謩e為P(1986)=564.0萬人,P(1999)=674.5萬人,P(2012)=795.9萬人,計(jì)算得a=0.033 6,b=3.6×10-5,代入式(1)得西安市人口增長的計(jì)算式為

(2)

根據(jù)式(2)，以2013-2015年的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。運(yùn)用Logistic模型，通過Matlab求解，得到預(yù)測值，將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

2.3 兩種模型的驗(yàn)證情況

本文利用西安市1985-2012年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，預(yù)測2013-2036年的人口發(fā)展規(guī)模，通過比較2013-2015年的人口預(yù)測值與實(shí)際統(tǒng)計(jì)值，得出預(yù)測誤差的大小，見表2。

通過誤差對比分析，馬爾薩斯人口模型的平均相對誤差為0.65%，Logistic模型的平均相對誤差為0.94%，說明兩種模型均可以較好的模擬預(yù)測，但前者比后者的誤差更小，模擬精度更好，故本文選用馬爾薩斯人口模型來預(yù)測2016-2036年的人口。

圖3 西安市2013-2015年總?cè)丝跀?shù)預(yù)測Fig.3 Prediction of Xi’an’s total population in 2013-2015

表2 兩種模型的預(yù)測值及誤差Tab.2 Predicted values and residue errors obtained by the two models

3 未來人口的預(yù)測結(jié)果

本文采用馬爾薩斯人口預(yù)測模型中的高方案來預(yù)測2016-2036年的人口，預(yù)測結(jié)果見表3，在2026年總?cè)丝跀?shù)達(dá)到882.3萬人，2016-2026年平均年凈增長為5.52萬人，到2036年總?cè)丝跀?shù)達(dá)到947.5萬人，2026-2036年平均年凈增長為5.93萬人，說明人口增長呈現(xiàn)較穩(wěn)定的狀態(tài)。

表3 西安市2016-2036年人口預(yù)測值Tab.3 Prediction of Xi’an’s total population in 2016-2036

4 結(jié) 論

本文通過建立馬爾薩斯人口模型和Logistic模型，并用這兩種模型分別對西安市2013-2015年人口規(guī)模進(jìn)行了預(yù)測，通過2013-2015年實(shí)際人口與預(yù)測人口數(shù)進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)：

1)馬爾薩斯人口模型和Logistic模型均能滿足預(yù)測精度要求。

2)與Logistic模型相比，馬爾薩斯人口模型的相對誤差較小，原因在于本文預(yù)測的時(shí)間較短，研究的年份較少，所以可以獲得良好的預(yù)測效果。對于長期的人口預(yù)測而言，Logistic模型是更為合適的模型。

3)預(yù)測得到2036年西安市的人口規(guī)模將達(dá)到947.5萬人，這是僅從歷史數(shù)據(jù)的變化趨勢所做出的預(yù)測，未考慮國家放開的二孩政策，西安入圍國家中心城市等因素，這些因素將使得西安市實(shí)際的人口規(guī)?？赡艹^預(yù)測的人口規(guī)模。

綜上所述，人口增長會(huì)受多種因素的影響，任何一種模型均不能完整地預(yù)測其發(fā)展情況，具體采用何種模型可得到理想的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)按照實(shí)際情況加以選擇。