德西特空間中常平均曲率類(lèi)空超曲面的全測(cè)地性*

王琪

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550005)

1 引 言

de Sitter 空間是數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界共同關(guān)注的一種非平坦偽黎曼空間形式，它是有常數(shù)截面曲率的連通偽黎曼流形.就n+1維單位de Sitter空間 dSn+1而言，其截面曲率K≡1.

幾十年來(lái)，人們對(duì)dSn+1中具有常數(shù)平均曲率的類(lèi)空超曲面，作了大量研究，得到許多結(jié)果[1-7].關(guān)于3維單位de Sitter 空間 dS3中有常數(shù)平均曲率的類(lèi)空超曲面，文[1] 曾經(jīng)給出一個(gè)結(jié)果，即下列定理1.利用文獻(xiàn)[1-3] 給出的一個(gè)關(guān)于超曲面的第二基本形式模長(zhǎng)平方S的 拉普拉斯ΔS的一個(gè)估計(jì)公式，本文得到一個(gè)新的定理，即下列定理2.定理2改進(jìn)了定理1的結(jié)論.

定理1[1]設(shè)M是3維單位de Sitter空間dS3中的緊致無(wú)邊的類(lèi)空超曲面.如果M的平均曲率H為常數(shù)，則必有H2<1.

定理2 設(shè)M是n+1維單位de Sitter空間 dSn+1中的緊致無(wú)邊的類(lèi)空超曲面.如果M的平均曲率H為常數(shù)，則必有：M的第二基本形式模長(zhǎng)平方S≡H≡0，即M必為全測(cè)地超曲面.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

記Rn+2為n+2維歐氏空間，并令Rn+2帶有負(fù)指標(biāo)為1的 Lorentz 度量[1-6]，即

〈,〉=-(dx1)2+(dx2)2+…+(dxn+2)2

并令其帶有誘導(dǎo)度量，則dSn+1是連通的偽黎曼空間，且其截面曲率K≡1.

令(M,g)為黎曼流形，而φ:M→dSn+1是光滑流形間的浸入映照.如果g=φ*(〈,〉),則M或者φ(M)稱(chēng)為dSn+1中的類(lèi)空等距浸入超曲面，其中〈，〉是dSn+1中的 Lorentz 度量.

以下規(guī)定指標(biāo)取值范圍為

1≤i,j≤n,0≤α,β≤n

同時(shí)，記矩陣

其中δij是標(biāo)準(zhǔn) Kronecker 張量.

設(shè)e0,e1,…,en是與dSn+1的偽黎曼度量相適應(yīng)的局部標(biāo)架場(chǎng)，又設(shè)ω0,ω1,…,ωn是與dSn+1的偽黎曼度量相容的對(duì)偶標(biāo)架，即

其中δαβ也是標(biāo)準(zhǔn) Kronecker 張量.

M的平均曲率定義為[1-4]

且平均曲率的定義與局部標(biāo)架場(chǎng)e0,e1,…,en的選取無(wú)關(guān).

定義M的第二基本形式的模長(zhǎng)平方為[1-7]

且S的定義與局部標(biāo)架場(chǎng)e0,e1,…,en的選取無(wú)關(guān).

3 定理2的證明

證明由Cauchy-Schwartz不等式，有

(1)

用ΔS表示S的拉普拉斯.當(dāng)M的平均曲率H為常數(shù)時(shí)，參照文[1-3] 的計(jì)算，有

(2)

首先，假設(shè)常數(shù)平均曲率H≠0. 此時(shí)，通過(guò)適當(dāng)選取M的類(lèi)時(shí)單位法向量場(chǎng)的指向(過(guò)去指向或者將來(lái)指向)，可以假設(shè)常數(shù)平均曲率H<0， 再結(jié)合 (1) 式，則由 (2) 式有

(3)

因?yàn)镸是緊致無(wú)邊的，由 Hopf原理，以及 (3) 式，可知S在M上為常數(shù).再由 (3) 式知道：S≡0，從而由 (1) 式有：H≡0，但這與H≠0的假設(shè)矛盾，這個(gè)矛盾說(shuō)明：在M上必須有H≡0.

由H≡0及(2) 式又有

(4)

同樣因?yàn)镸是緊致無(wú)邊的，由 Hopf原理以及 (4) 式知道：S在M上為常數(shù).又因?yàn)镾在M上為常數(shù)，再由 (4) 式并結(jié)合 (1) 式知道:S≡0. 證畢