基于狀態(tài)觀測(cè)的雙臂空間機(jī)器人分散容錯(cuò)控制

雷榮華，陳 力

（福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116）

空間機(jī)器人是由航天器與機(jī)械臂組成的一類復(fù)雜多體系統(tǒng)，它可以協(xié)助宇航員執(zhí)行高風(fēng)險(xiǎn)的出艙任務(wù)，在空間探索領(lǐng)域發(fā)揮著巨大作用[1-5]?？臻g機(jī)器人的執(zhí)行器頻繁運(yùn)行控制指令，極易發(fā)生部分失效故障，并對(duì)系統(tǒng)的姿軌控制性能造成極大影響。目前，關(guān)于空間機(jī)器人的容錯(cuò)研究鮮見報(bào)道，而對(duì)于其他非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)控制研究也有待完善。

對(duì)于存在執(zhí)行器故障與輸出力矩受限的航天器，文獻(xiàn)[6]提出了一種基于速度估計(jì)的容錯(cuò)控制器，該算法在確知執(zhí)行器有效因子最小值的條件下實(shí)現(xiàn)了高精度的姿態(tài)容錯(cuò)控制。然而，對(duì)于實(shí)際的航天器，有效因子的最小值通常難以獲取，從而阻礙了該控制策略的工程應(yīng)用。針對(duì)存在執(zhí)行器故障與參數(shù)不確定的航天器，文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)的一種自適應(yīng)滑?？刂破骺梢詫?duì)有效因子的下界進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)和補(bǔ)償，并實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制，但該算法需要實(shí)時(shí)獲取系統(tǒng)的角速度信號(hào)。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于故障在線估計(jì)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制算法，該算法具有無(wú)需獲取任何故障信息的優(yōu)點(diǎn)，但文中使用了六組神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算量龐大。

值得一提的是，與單臂空間機(jī)器人相比，雙臂空間機(jī)器人具備更高的定位精度和承載能力[9-10]，因此具有更廣闊的工程應(yīng)用前景。但要實(shí)現(xiàn)雙臂與載體的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)會(huì)加大建模與控制算法設(shè)計(jì)的難度。

考慮到當(dāng)前研究現(xiàn)狀，本文針對(duì)關(guān)節(jié)執(zhí)行器存在部分失效故障的雙臂空間機(jī)器人的控制問題，提出了一種基于狀態(tài)觀測(cè)器的分散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容錯(cuò)算法。根據(jù)分散原理直接將執(zhí)行器部分失效故障問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制問題。結(jié)合狀態(tài)觀測(cè)器得到了關(guān)節(jié)的角速度信號(hào)，從而無(wú)需實(shí)時(shí)測(cè)量和反饋關(guān)節(jié)的角速度信號(hào)；利用分散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)的不確定項(xiàng)與交聯(lián)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，從而無(wú)需確知任何故障信息。最后通過(guò)數(shù)值仿真示例校驗(yàn)了算法的有效性。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

具有2n個(gè)關(guān)節(jié)的雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的平面結(jié)構(gòu)如圖1所示。該系統(tǒng)由載體（航天器）基座B0以及剛性臂桿Bi(i= 1 ,2,… ,2n)組成。載體B0可做平面轉(zhuǎn)動(dòng)與移動(dòng)，臂桿Bi只能做平面轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)Fig.1 Free-floating dual-arm space robot system

圖1中：XOY為系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系，xi oi yi為各分體Bi(i= 0 ,1,…,2n)的局部坐標(biāo)系；分體Bi(i= 0,1,…,2n)的質(zhì)量和中心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為mi和Ji；旋轉(zhuǎn)中心O0與O1的距離為l0，機(jī)械臂Bi(i= 1 ,2,… ,2n)沿yi軸的長(zhǎng)度為li；θ0為載體姿態(tài)相對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)角，θi(i= 1 ,2,…,2n)為相鄰兩連桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角；ω0=為載體的姿態(tài)角速度，ωi=θ˙i(i= 1 ,2,…,2n)為機(jī)械臂Bi的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

對(duì)于自由漂浮的欠驅(qū)動(dòng)（載體姿態(tài)不控）雙臂空間機(jī)器人，利用第二類拉格朗日法可推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為

為了獲取系統(tǒng)完全能控形式的動(dòng)力學(xué)模型，以便于后續(xù)控制策略的實(shí)施，可將式(1)表示為如下分塊矩陣的形式：

式(2)可進(jìn)一步分解為

由于D(q)是正定的分塊矩陣，故子矩陣D11的逆矩陣存在，并將其左乘式(3)，即可求得載體姿態(tài)角加速度將代入式(4)并整理可得如下完全能控形式的動(dòng)力學(xué)方程：

1.2 子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

將雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的臂桿關(guān)節(jié)考慮為一個(gè)子系統(tǒng)，并從系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(5)中分離出局部變量，可以得到子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為[8]：

對(duì)于關(guān)節(jié)執(zhí)行器存在部分失效故障的空間機(jī)器人，其執(zhí)行器的理想輸出與實(shí)際輸出之間存在比例性偏差（有效因子）。此時(shí)，子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

其中：ρi∈(0,1]為表征執(zhí)行器故障程度的有效因子，其值越小表示執(zhí)行器故障程度越高；ρi=1與ρi∈(0,1)分別表示執(zhí)行器正常運(yùn)行和發(fā)生部分失效故障。

2 狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了便于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，不妨定義第i個(gè)子系統(tǒng)(i= 1 ,2,…,2n)的狀態(tài)變量為則式(8)可以表示為如下的狀態(tài)空間方程：

其中：

其中：Wif和Wig為理想神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，和Φig(qri)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)，εif和εig為逼近誤差，εi1與εi2為正常數(shù)。

定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最小逼近誤差為

假設(shè)1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最小逼近誤差wio有界且滿足

其中，ξio為正常數(shù)。

其中，k1i與k2i為正常數(shù)。

結(jié)合式(9)與(18)可得狀態(tài)識(shí)別誤差方程為

定理1對(duì)于狀態(tài)未知的故障子系統(tǒng)(8)，在假設(shè)1成立的前提下，設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律(20)與(21)，則分散狀態(tài)觀測(cè)器(18)可漸進(jìn)地識(shí)別子系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)xij。

證明選擇正定的Lyapunov函數(shù)為

將V1對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：

再將式(20)與(21)代入式(24)，得：

由此可知，只要不等式組(26)成立：

3 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

3.1 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

定義第i個(gè)子系統(tǒng)的位置及速度跟蹤誤差分別為誤差向量為，則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差向量可表示為

假設(shè) 2 關(guān)節(jié)期望軌跡xid及其導(dǎo)數(shù)、有界且連續(xù)。

將式(9)變換為如下形式：

式中：

Fi為正常數(shù)。

由式(27)，可得誤差動(dòng)力學(xué)方程為

定義Pi為如下Riccati方程的解：

定義子系統(tǒng)的理想控制輸入為

由式(30)可知，控制輸入iτ*為變量riq、及ie的未知非線性函數(shù)，故其理想神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近可表示為

式中：Wiτ與Φiτ分別為理想神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和基函數(shù)；εiτ為估計(jì)誤差，且滿足 |ε′1i為正常數(shù)。

定義iτ*的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)為

容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)為

結(jié)合式(30)(33)，誤差動(dòng)力學(xué)方程(24)可重寫為

由式(31)與(32)可得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)誤差為

定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最小逼近誤差為

假設(shè)3 逼近誤差iw滿足即

結(jié)合式(35)(36)，則誤差動(dòng)力學(xué)方程(34)可變換為

假設(shè)4 耦合交聯(lián)項(xiàng)hi(q,υ,˙)有界且滿足[11]

式中，dij為正常數(shù)。

式中，ηiτ與ηiδ為正常數(shù)。

值的注意的是，由于控制器(33)不含任何慣性參數(shù)項(xiàng)，因此它是一類無(wú)模型控制器。

3.2 穩(wěn)定性分析

定理 2對(duì)于雙臂空間機(jī)器人的故障子系統(tǒng)(8)，考慮假設(shè)2至假設(shè)4，并設(shè)計(jì)參數(shù)更新律(39)與(40)，則容錯(cuò)控制器(33)可保證閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差e1i滿足H∞收斂性能。

證明選擇正定的Lyapunov函數(shù)為

將式(41)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：

將式(37)代入式(42)，得：

將式(39)代入式(43)，可得：

綜合式(44)與式(45)，可得：

將式(40)代入式(46)，得：

由Riccati方程式(29)，可得：

設(shè)λmin(Q)為Q的最小特征值，則有：

對(duì)式(49)從t= 0 到t= T 求積分，可得：

4 仿真對(duì)比

為了驗(yàn)證(33)所示的容錯(cuò)控制器（Fault-Tolerant Controller,FTC）的有效性，對(duì)圖1所示的平面兩連桿( 2)n= 雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，并將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[12]提出的計(jì)算力矩控制器（Computed Torque Controller,CTC）的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

CTC算法的表達(dá)式為

其中：qrd為關(guān)節(jié)的期望軌跡，kv與kp為正常數(shù)。

雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的慣性參數(shù)為：載體為m0= 4 0kg ，J0= 3 4kg·m2，l0=1 m；剛性臂B1與B3為m1=m3=3 kg，J1=J3=2 kg·m2，l1=l3=3m ；剛性臂B2與B4為m2=m4=2 kg，J2=J4=1.2 kg·m2，l2=l4=3 m。

狀態(tài)觀測(cè)器的增益為：ki1=18，ki2= 1 2，ηifo= 0 .0003，ηigo= 0 .0005。FTC算法的控制參數(shù)選取為Ki=[15,300]T，diag([80,80])，ηiτ=5，ηiδ= 2；CTC算法的控制參數(shù)為kv= 4 ，kp= 6 。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)選擇為高斯函數(shù)x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量，中心向量c均勻分布于[2,2]- ，寬度b= 2 ，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5。

4.1 正常模式

此時(shí)，雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的關(guān)節(jié)執(zhí)行器正常工作，即有效因子ρi=1(i= 1 ,2,… ,4 )。仿真結(jié)果如圖2～4所示，其中，圖2為載體姿態(tài)角位移，圖3為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線，圖4為關(guān)節(jié)角速度觀測(cè)曲線。

由圖3可知，當(dāng)系統(tǒng)的關(guān)節(jié)執(zhí)行器正常工作時(shí)，F(xiàn)TC算法與CTC算法均能在2 s內(nèi)保證關(guān)節(jié)連桿完成期望運(yùn)動(dòng)。由圖4可知，狀態(tài)觀測(cè)器可對(duì)實(shí)際關(guān)節(jié)角速度信號(hào)進(jìn)行精確的識(shí)別。

圖2 載體姿態(tài)角位移Fig.2 Angular displacement of the base attitude

圖3 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectory tracking curves of the joints

圖4 關(guān)節(jié)角速度觀測(cè)曲線Fig.4 Angular velocity observation curves of the joints

4.2 故障模式

假設(shè)雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)右臂(B1與B2)的關(guān)節(jié)執(zhí)行器在第 2 s直至仿真結(jié)束的時(shí)間段內(nèi)均處于部分失效的故障狀態(tài)（而在此之前正常工作），且有效因子為：ρ1=0.3，ρ2=0.5。與此類似，左臂(B3與B4)關(guān)節(jié)執(zhí)行器故障發(fā)生的起始時(shí)刻為第5 s，有效因子為ρ3=0.5，ρ4=0.6。仿真結(jié)果如圖5～7所示，其中，圖5為載體姿態(tài)角位移，圖6為關(guān)節(jié)角速度觀測(cè)曲線，圖7為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線。

圖6 關(guān)節(jié)角速度觀測(cè)曲線Fig.6 Angular velocity observation curves of the joints

圖5 載體姿態(tài)角位移Fig.5 Angular displacement of the base attitude

圖7 關(guān)節(jié)軌跡跟蹤曲線Fig.7 Trajectory tracking curves of the joints

由圖6可知，當(dāng)系統(tǒng)的關(guān)節(jié)執(zhí)行器發(fā)生部分失效故障時(shí)，本文提出的FTC算法仍能在2 s內(nèi)控制關(guān)節(jié)連桿抵達(dá)指定軌跡，CTC算法由于無(wú)法對(duì)執(zhí)行器故障進(jìn)行補(bǔ)償，因而關(guān)節(jié)連桿的跟蹤誤差無(wú)法收斂。由圖7可知，在執(zhí)行器故障的情況下，狀態(tài)觀測(cè)器仍然可對(duì)實(shí)際關(guān)節(jié)角速度信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確的識(shí)別。由此表明了容錯(cuò)控制器與狀態(tài)觀測(cè)器的有效性與可行性。

5 結(jié) 論

針對(duì)關(guān)節(jié)執(zhí)行器發(fā)生部分失效故障、慣性參數(shù)未知且角速度不可測(cè)的雙臂空間機(jī)器人，設(shè)計(jì)了一種基于狀態(tài)觀測(cè)器的容錯(cuò)控制算法。利用狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)關(guān)節(jié)子系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)變量進(jìn)行了識(shí)別，從而無(wú)需測(cè)量關(guān)節(jié)的角速度信號(hào)。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)子系統(tǒng)包含交聯(lián)項(xiàng)、慣性參數(shù)與執(zhí)行器故障在內(nèi)的所有不確定非線性項(xiàng)進(jìn)行了估計(jì)。根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果在線設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)關(guān)節(jié)執(zhí)行器部分失效故障的容錯(cuò)控制。本文的控制策略同時(shí)解決了執(zhí)行器故障、慣性參數(shù)未知與角速度不可測(cè)問題，具備較大的工程應(yīng)用潛力，可為空間機(jī)器人的實(shí)際容錯(cuò)控制提供理論依據(jù)。