一種新型變指數(shù)冪次趨近律的設(shè)計(jì)與分析

田 野，蔡遠(yuǎn)利

（西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，西安 710049）

滑?？刂剖且环N非線(xiàn)性控制方法，具有響應(yīng)快速、構(gòu)造簡(jiǎn)單、對(duì)系統(tǒng)匹配擾動(dòng)具有不變性等優(yōu)點(diǎn)[1]，在電機(jī)、航空航天、機(jī)器人等不確定性系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[2-5]。

滑模的控制過(guò)程可分為系統(tǒng)在趨近律作用下向滑模面運(yùn)動(dòng)和在滑模面上向平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段。傳統(tǒng)滑模控制系統(tǒng)在滑模運(yùn)動(dòng)階段具有魯棒性，但在滑模趨近階段存在控制抖振現(xiàn)象，并會(huì)受到不確定性和外界擾動(dòng)影響。因此，抑制抖振并減少滑模趨近時(shí)間仍是目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[6]。相對(duì)于準(zhǔn)滑模、高階滑模控制等控制滑模面上運(yùn)動(dòng)特性的方法，基于趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的優(yōu)點(diǎn)在于改善了系統(tǒng)趨近過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視。趨近律設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度、穩(wěn)定性和收斂時(shí)間等性能，是滑模設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。

高為炳院士提出了等速趨近律、冪次趨近律和指數(shù)趨近律等方法，通過(guò)調(diào)整趨近律參數(shù)削弱了抖振，提高了趨近過(guò)程動(dòng)態(tài)品質(zhì)，成為后續(xù)趨近律研究發(fā)展的基礎(chǔ)。但單冪次趨近律、指數(shù)趨近律等早期研究的趨近律可調(diào)節(jié)參數(shù)較少，且大多使用固定的指數(shù)和增益參數(shù)，控制性能在實(shí)際使用中受到限制。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究重點(diǎn)放在提高趨近律階次和增加冪次項(xiàng)，起到了提高系統(tǒng)魯棒性和響應(yīng)快速特性的效果[7-10]。Yu等[7]結(jié)合指數(shù)趨近律與單冪次趨近律，提出了一種快速冪次項(xiàng)趨近律方法，縮短了趨近時(shí)間并使趨近過(guò)程更加平滑，但在滑模面上仍存在抖振現(xiàn)象。李慧潔等[8]在改進(jìn)的新型雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上，研究了其固定時(shí)間的收斂特性，即收斂時(shí)間存在與滑模初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的上界，得出了一般形式下雙冪次趨近律收斂時(shí)間的結(jié)論。在最新的文獻(xiàn)[9-10]中使用fal函數(shù)構(gòu)造趨近律，廖瑛等[9]基于傳統(tǒng)快速冪次趨近律構(gòu)造了新型雙冪次組合函數(shù)趨近律，在[0,δ]區(qū)間提高了收斂速度，且由于是連續(xù)函數(shù)，避免了抖振，不足之處在于函數(shù)兩項(xiàng)的收斂速度差異較大且趨近律不具備自適應(yīng)能力。張瑤等[10]提出了在趨近律中加入變冪次項(xiàng)的方法，具備了一定自適應(yīng)能力，但在原點(diǎn)處該趨近律形式與符號(hào)函數(shù)趨近律相同，導(dǎo)致依然存在抖振。

針對(duì)上述研究中存在的問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種新型變指數(shù)冪次趨近律，其中冪次項(xiàng)將系統(tǒng)的趨近過(guò)程在一般冪次趨近律的基礎(chǔ)上進(jìn)一步細(xì)分，進(jìn)行分階段速率調(diào)節(jié)，提高了系統(tǒng)趨近過(guò)程的速率，并在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。當(dāng)存在有界外部擾動(dòng)時(shí)，狀態(tài)s及其一階導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡零點(diǎn)的有界鄰域內(nèi)。仿真分析表明，變指數(shù)冪次趨近律收斂速度快于現(xiàn)有的4種趨近律，且具有更好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

1 新型變指數(shù)冪次趨近律設(shè)計(jì)

1.1 相關(guān)工作基礎(chǔ)

文獻(xiàn)[7]提出的快速冪次趨近律如下：

其中，k1＞ 0 ，k2＞ 0 ，0 ＜γ＜1。

經(jīng)分析可知，該趨近律本質(zhì)連續(xù)，若不考慮干擾可實(shí)現(xiàn)二階滑模動(dòng)態(tài)，有限時(shí)間內(nèi)使得s=s=0。系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面分為兩個(gè)階段：s＞1時(shí)，式中第一項(xiàng)起主要作用；當(dāng)系統(tǒng)接近滑模面時(shí)，即s＜1時(shí)，第二項(xiàng)起主導(dǎo)作用。該趨近律中的冪次項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)結(jié)合了兩者的優(yōu)點(diǎn)，在不同趨近階段分別控制收斂速率。

基于上述快速冪次趨近律和雙冪次趨近律[8]，文獻(xiàn)[9]提出了如下雙冪次組合函數(shù)趨近律：

其中，a=1 +γ，b=1 -γ，δ= 1 ，0 ＜γ＜1，

由于fal函數(shù)的分段特性，雙冪次組合函數(shù)趨近律在[0,δ]范圍內(nèi)比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律趨近速度更快，且趨近律在(0,∞)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，不存在抖振。但fal函數(shù)項(xiàng)的第二項(xiàng)相對(duì)于第一項(xiàng)收斂速度較慢，并未對(duì)趨近律的速度提升產(chǎn)生大的貢獻(xiàn)。取a=0.5，δ=1，圖1的仿真表明了不同項(xiàng)的趨近速度對(duì)比，其中 s1、s2、s3分別表示fal函數(shù)第一、二項(xiàng)和一般冪次項(xiàng)。

圖1 不同項(xiàng)趨近速度對(duì)比Fig.1 Comparison on different functions

文獻(xiàn)[10]提出的多冪次趨近律如下：

在s的不同取值下，系統(tǒng)可自適應(yīng)的選擇趨近律中的指數(shù)參數(shù)，獲得較快的收斂速率。

分析表明，該多冪次趨近律在不考慮輸入受限的情況下，只有變指數(shù)項(xiàng)k3sgn （s）的作用是必須的。其在相當(dāng)大的論域內(nèi)將遠(yuǎn)優(yōu)于其余三項(xiàng)。如xα1時(shí)，可知變指數(shù)項(xiàng)在改善趨近律收斂特性上具有較大的優(yōu)點(diǎn)。

1.2 新型變指數(shù)冪次趨近律

基于以上分析，對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，我們提出如下有限時(shí)間穩(wěn)定的新型變指數(shù)冪次趨近律：

λ的取值為

其中，k1＞ 0 ，k2＞ 0 ，0 ＜α＜1。

1.3 新型變指數(shù)冪次趨近律

定理1對(duì)于滑模趨近律(4)，系統(tǒng)狀態(tài)s在其作用下有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡零點(diǎn)。

證明根據(jù)式(4)可得：當(dāng)且僅當(dāng)s=0時(shí)，有

根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)滑模存在及可達(dá)性條件[1]，若滿(mǎn)足，則該趨近律存在且可達(dá)平衡點(diǎn)s=0，

2 新型變指數(shù)冪次趨近律的特性分析

2.1 穩(wěn)態(tài)抖振分析

以傳統(tǒng)指數(shù)趨近律為例

在滑模面上的極限為

因此系統(tǒng)會(huì)在平衡點(diǎn)附近以幅值ε抖振。

而對(duì)于本文設(shè)計(jì)的趨近律(4)，在s→ 0+及s→ 0-時(shí)，均有=0，表明系統(tǒng)在臨近穩(wěn)態(tài)時(shí)無(wú)抖振現(xiàn)象出現(xiàn)。

2.2 趨近速率分析

定理 2對(duì)于趨近律(4)，設(shè)s的初始狀態(tài)為s0，則狀態(tài)s和在有限時(shí)間T內(nèi)收斂到零，T的上限為為[T1+T2]。其中

證明：當(dāng)s＞0時(shí)，= -k1s-k2sλ。

假設(shè)初始狀態(tài)條件滿(mǎn)足s（0 ） =s0＞1，趨近過(guò)程可分為2個(gè)階段進(jìn)行分析。

1）系統(tǒng)從初始狀態(tài)s0到達(dá)s=1，此時(shí)趨近律可寫(xiě)成

為求解式(10)，考慮方程

可得：

令y=s1-s0，那么

求解上述一階線(xiàn)性微分方程，可得：

由s( 0)=s0，求出常數(shù)

結(jié)合式(15)(16)，可得趨近時(shí)間如下：

求得由s0到達(dá)s=1的時(shí)間為

由前所述，系統(tǒng)由s0到達(dá)s=1所需時(shí)間小于t1。

2）系統(tǒng)從初始狀態(tài)s0到達(dá)s=1

根據(jù)對(duì)應(yīng)的趨近時(shí)間，同理計(jì)算可得：

綜合上述兩階段收斂情況，在s＞0時(shí)，系統(tǒng)由初始狀態(tài)s0到達(dá)s=0的時(shí)間應(yīng)小于上述兩階段所需時(shí)間之和t1+t2。

結(jié)合考慮s＜0的情況，收斂時(shí)間可寫(xiě)為

綜上，趨近律(4)的收斂時(shí)間小于[T1+T2]。

2.3 穩(wěn)態(tài)誤差界分析

變指數(shù)冪次趨近律可以使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡零點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)受到不確定擾動(dòng)時(shí)，設(shè)計(jì)的趨近律能使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)。

考慮如下不確定非線(xiàn)性系統(tǒng)：

其中，x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u∈R為控制輸入，f、g為已知光滑向量場(chǎng)，d為擾動(dòng)。取滑模面s(x) = 0，目標(biāo)是控制系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面并產(chǎn)生滑模動(dòng)態(tài)，即s==0。

對(duì)s求導(dǎo)：

將式(24)代入式(23)中得：

定理 3考慮存在不確定性及外加干擾的系統(tǒng)(25)，若滿(mǎn)足為常數(shù)，則其狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至以下區(qū)域：

證明：選取Lyapunov函數(shù)并求導(dǎo)，

式(29)可寫(xiě)成以下兩種形式：

系統(tǒng)狀態(tài)s在有限時(shí)間內(nèi)收斂到式(27)范圍內(nèi)[11]。由V0收斂到V1所需時(shí)間T1d≤T1max。

由V0收斂到V2所需時(shí)間其中，

綜上所述，s在有限時(shí)間內(nèi)收斂到：

將式(36)代入式(25)得：

定理3得證。

注1由式(36)和(37)可得，穩(wěn)態(tài)誤差界受擾動(dòng)上界影響，增大k1和k2可減小穩(wěn)態(tài)誤差界。

3 仿真算例及分析

3.1 收斂特性仿真

仿真1 考慮非線(xiàn)性單輸入單輸出系統(tǒng)

其中，u為控制輸入，d(t)為有界總擾動(dòng)，s為滑模變量。分別使用本文設(shè)計(jì)的新型變指數(shù)冪次趨近律、雙冪次趨近律、快速冪次趨近律、文獻(xiàn)[9]提出的雙冪次組合函數(shù)趨近律和文獻(xiàn)[10]中的多冪次趨近律設(shè)計(jì)控制律u進(jìn)行仿真，控制參數(shù)k1=2，α=0.5。

1）快速變冪次趨近律

2）快速冪次趨近律

3）雙冪次趨近律

4）雙冪次組合函數(shù)趨近律

5）多冪次趨近律

對(duì)于確定系統(tǒng)(38)，無(wú)擾動(dòng)的情況下，設(shè)置滑模初值為s0= 0 .5，s0=5?；及其一階導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的收斂曲線(xiàn)如圖2～3所示（縱軸采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)）。

圖2 s0 =0.5時(shí)s 與收斂曲線(xiàn)對(duì)比Fig.2 Comparison on convergence conditions of s and

表1 滑模變量s各趨近律下收斂時(shí)間對(duì)比Tab.1 Comparison of reaching speed

圖3 s0 =5時(shí)s與收斂曲線(xiàn)對(duì)比Fig.3 Comparison on convergence conditions of s and

表2 滑模變量s各趨近律下收斂時(shí)間對(duì)比Tab.2 Comparison of reaching speed 21k=

分析兩圖及結(jié)果可以看出，本文所提趨近律使滑模s及其一階導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡零點(diǎn)、無(wú)抖振現(xiàn)象。其速度明顯快于其余幾種趨近律，并且其最大幅值較其他趨近律小，具有更優(yōu)的特性。

仿真 2 考慮飛行器姿態(tài)控制問(wèn)題，使用幾種趨近律進(jìn)行仿真對(duì)比?；谒脑獢?shù)描述，飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程用如下非線(xiàn)性方程表示[12]：

設(shè)計(jì)滑模面為s=ωe+kqv，其中：姿態(tài)角速度ω為飛行器相對(duì)慣性系的角速度；J∈R3×3為飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；單位四元數(shù)為飛行器姿態(tài)控制力矩；ωe和qv分別為導(dǎo)彈角速度誤差和姿態(tài)跟蹤誤差。控制目標(biāo)是使ωe→ 0 ,qi→0,i=1,2,3，因此可用ω表示ωe。

控制器設(shè)計(jì)為u（t） = -L（?）-ks s，其中L（?）=初始仿真條件為ω（0 ）=

反饋增益系數(shù)為ks=505.6，k=1.6，設(shè)飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J=diag(147,158,137) kg· m2

在d（t）=0時(shí)，分別使用上述趨近律進(jìn)行仿真對(duì)比，其中仿真圖4和圖6～9為角速度與滑模變量曲線(xiàn)，仿真圖5為使用新型變指數(shù)冪次趨近律時(shí)角速度和角加速度的相位圖。各趨近律的參數(shù)根據(jù)初始輸入條件計(jì)算確定，保證了比較的一致性。

圖4 變指數(shù)冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.4 Condition of ω and s under the variable power reaching law

圖5 變指數(shù)冪次趨近律下的角速度和角加速度Fig.5 Phase image of ωand ωunder the variable power reaching law

圖6 快速冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.6 Condition of ω and s under the fast power reaching law

圖7 雙冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.7 Condition of ω and s under the double power reaching law

圖8 雙冪次組合趨近律下的角速度和滑模變化Fig.8 Condition of ω and s under the double power combination function reaching law

圖9 多冪次趨近律下的角速度和滑模變化Fig.9 Condition of ω and s under the multi power reaching law

表3 各趨近律仿真結(jié)果對(duì)比Tab.3 Simulation parameters of every reaching law

由仿真圖4～9和表3結(jié)果可以看出，本文提出的新型變指數(shù)冪次趨近律收斂速度最快，系統(tǒng)收斂于平衡點(diǎn)且無(wú)抖振現(xiàn)象，可知其性能更優(yōu)。

3.2 穩(wěn)態(tài)誤差界仿真

對(duì)于不確定系統(tǒng)(38)，系統(tǒng)集總擾動(dòng)統(tǒng)一寫(xiě)作d（t），設(shè)置滑模初值s=5，使用式(39)～(43)所列的趨近律仿真得到穩(wěn)態(tài)誤差界并進(jìn)行對(duì)比。

擾動(dòng)上界δ=5，d= 3 cost+ 2sin(2t)。

仿真結(jié)果如圖10和圖11所示?？梢?jiàn)在受擾動(dòng)的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至穩(wěn)態(tài)誤差界內(nèi)，并維持在式(26)所描述的范圍內(nèi)。

圖10 受擾動(dòng)時(shí)滑模變量s與收斂曲線(xiàn)Fig.10 Convergence conditions of s and ds with interference

圖11 滑模變量s收斂曲線(xiàn)對(duì)比Fig.11 Comparison of convergence conditions under different reaching laws

滑模s及其一階導(dǎo)數(shù)的收斂情況如圖9所示。在受擾情況下，狀態(tài)s在有限時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)誤差界內(nèi)，收斂時(shí)間約為1.85 s，≤1.013，≤4.003。

由表4可知，本文所提的新型變指數(shù)冪次趨近律穩(wěn)態(tài)誤差范圍小于其余4種趨近律。

表4 滑模變量s各趨近律下穩(wěn)態(tài)誤差界對(duì)比Tab.4 Comparison on convergence conditions

由上述仿真可以看出，與式(40)～(43)的幾種趨近律相比，本文提出的新型變指數(shù)冪次趨近律對(duì)有界外擾具有更優(yōu)的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)。同時(shí)，當(dāng)存在有界擾動(dòng)時(shí)，滑模變量在有限時(shí)間內(nèi)不再收斂到 0，而是收斂到平衡點(diǎn)附近鄰域。在實(shí)際應(yīng)用中，可使用非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，以達(dá)到更好的控制效果。

4 結(jié) 論

本文提出了一種新型變指數(shù)冪次趨近律，證明了其存在性、可達(dá)性及穩(wěn)定性，并給出了趨近速率和穩(wěn)態(tài)誤差界。相比流行的幾種趨近律，其具有收斂速度快和穩(wěn)態(tài)誤差小的特點(diǎn)，并在一定程度上消除了控制抖振。對(duì)于確定性系統(tǒng)，狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)存在外界擾動(dòng)時(shí)，狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)的有界區(qū)域內(nèi)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的正確性。