基于支持向量回歸的金屬諧振陀螺多元溫度補(bǔ)償方法

韋俊新，王澤濤，叢 正，魏艷勇，齊國(guó)華

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

金屬諧振陀螺是一種基于哥式效應(yīng)的固體波動(dòng)陀螺，具有壽命長(zhǎng)、精度體積比較高、可靠性高、成本低等特點(diǎn)，在各個(gè)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

全溫特性不理想是制約金屬諧振陀螺工程化的一個(gè)重要因素。溫度變化嚴(yán)重影響了陀螺的零偏穩(wěn)定性等性能。改善陀螺溫度特性包括硬件補(bǔ)償和軟件補(bǔ)償，硬件補(bǔ)償不僅增加系統(tǒng)體積和成本，而且實(shí)現(xiàn)難度較大，軟件補(bǔ)償具有方便易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，故實(shí)際應(yīng)用通常采取軟件補(bǔ)償方式。

陀螺溫度特性一般受多種因素影響，文獻(xiàn)[1]針對(duì)激光陀螺建立了基于溫度-溫變速率-溫度梯度的多元溫補(bǔ)模型，補(bǔ)償后的陀螺精度提升數(shù)倍。

隨著智能算法的逐步興起，用來(lái)模擬和補(bǔ)償陀螺漂移的方法越來(lái)越豐富。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是常用的智能算法，在隨機(jī)漂移建模中取得了良好的效果[2-3]。但在訓(xùn)練過程中可能存在過度擬合問題，隱藏層中的節(jié)點(diǎn)數(shù)量取決于經(jīng)驗(yàn)而缺乏理論指導(dǎo)[4]。相比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，支持向量機(jī)（SVM）具有更好的抗過擬合能力和回歸能力。文獻(xiàn)[5]采用最小二乘支持向量機(jī)建立模型，補(bǔ)償后陀螺精度提升約一個(gè)數(shù)量級(jí)；文獻(xiàn)[6]采用一種基于改進(jìn)支持向量機(jī)的多尺度建模和回歸方法，回歸精度提升了兩個(gè)量級(jí)。

本文基于金屬諧振陀螺工作原理，對(duì)其溫度特性進(jìn)行機(jī)理分析和仿真研究，綜合考慮各種建模方法與補(bǔ)償模型，提出一種基于支持向量回歸的多元溫度補(bǔ)償方法，建立溫度-溫度變化率-溫度梯度補(bǔ)償模型，最后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并對(duì)比該方法的補(bǔ)償效果。

1 工作原理及溫度特性分析

金屬諧振陀螺的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，它包括基座、諧振子、壓電陶瓷及外殼。諧振子包括諧振環(huán)及導(dǎo)振結(jié)構(gòu)，分別用于產(chǎn)生陀螺效應(yīng)和振動(dòng)傳遞；底部均勻分布八個(gè)圓孔，具有抑制各階模態(tài)耦合的作用；底面粘有四對(duì)壓電電極，分別用于激勵(lì)和檢測(cè)。

圖1 金屬諧振陀螺結(jié)構(gòu)與工作原理Fig.1 Metal resonant gyro structure and working principle

金屬諧振陀螺的工作原理如圖1(b)所示。給相對(duì)的兩個(gè)壓電電極施加與諧振子固有頻率相同頻率的交變電壓，激勵(lì)出諧振子的驅(qū)動(dòng)模態(tài)，此時(shí)波節(jié)點(diǎn)處壓電輸出為零。當(dāng)陀螺敏感軸方向有角速度輸入時(shí)，在科氏力的作用下激勵(lì)出陀螺的敏感模態(tài)，此時(shí)波節(jié)點(diǎn)處壓電產(chǎn)生輸出信號(hào)，檢測(cè)該信號(hào)即可得到外界輸入角速度大小。

可見，金屬諧振陀螺是一種基于科氏效應(yīng)的固體波動(dòng)陀螺。當(dāng)溫度變化時(shí)，諧振子材料的非理想因素會(huì)引起與溫度相關(guān)的額外誤差項(xiàng)，導(dǎo)致陀螺輸出發(fā)生漂移[7]。

當(dāng)諧振子處于諧振狀態(tài)時(shí)，諧振子振動(dòng)生熱，假設(shè)外界環(huán)境溫度為T2，諧振子溫度為T1，穩(wěn)態(tài)時(shí)有T1＞T2，熱傳導(dǎo)過程如圖2所示。熱量將從陀螺內(nèi)部傳導(dǎo)至外界進(jìn)而達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，有熱傳導(dǎo)公式：

圖2 熱傳導(dǎo)過程示意圖Fig.2 Schematic of heat conduction process

式中，Φ為熱流量，K為當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，A為傳熱面積，ΔT=T2-T1，L為導(dǎo)熱距離。圖3(a)為諧振狀態(tài)時(shí)，諧振子的溫度分布狀態(tài)仿真圖。顯然，諧振環(huán)與諧振子底部存在溫度梯度，因溫度傳感器的布置不能影響核心敏感元件諧振子的振動(dòng)狀態(tài)，所以溫度傳感器與諧振子必然存在溫度梯度。

當(dāng)外界環(huán)境溫度由T2升至T2′穩(wěn)定后，假設(shè)T2′ ＞T1，熱量將從外界傳至諧振子，諧振子溫度t時(shí)間后穩(wěn)定至T1′。圖3(b)為諧振子在不同時(shí)刻的溫度分布圖，在傳熱過程中，諧振子總熱能可表示為：

式中，c為諧振子比熱容，m為質(zhì)量，T1（t）為傳熱過程中諧振子溫度隨時(shí)間的變化，穩(wěn)定后為T1′。當(dāng)外界環(huán)境溫度變化率不同時(shí)，相同時(shí)間內(nèi)T1（t）不同，即諧振子溫度不同，進(jìn)而影響陀螺輸出。

綜上，當(dāng)溫度、溫度變化率及溫度梯度變化時(shí)，都會(huì)在一定程度上引起陀螺輸出的改變，并且這些指標(biāo)都具有一定隨機(jī)性，因此有必要采用措施綜合考慮這些指標(biāo)，并建立多元補(bǔ)償模型進(jìn)行補(bǔ)償，并且支持向量機(jī)具有抑制數(shù)據(jù)隨機(jī)性的特點(diǎn)。多元補(bǔ)償模型可表示為：

其中，Y為陀螺輸出，T為溫度，dTdt為溫度變化率，ΔT為溫度梯度。

2 模型建立

2.1 實(shí)驗(yàn)及測(cè)試系統(tǒng)

為獲取陀螺輸出隨溫度變化的原始數(shù)據(jù)，搭建了全溫區(qū)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖4所示，包括溫箱EG-02KAS、數(shù)字萬(wàn)用表34401A、溫度傳感器Pt1000、計(jì)算機(jī)及測(cè)試軟件。

溫度循環(huán)示意圖如圖5(a)所示，升降溫階段變化率都為1℃/min，保溫時(shí)間為1 h。

圖4 測(cè)試系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.4 Physical map of the test system

圖5 溫度循環(huán)曲線及陀螺輸出Fig.5 Temperature cycle curve and gyro output

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖5(b)所示，結(jié)果表明：陀螺輸出與溫度呈規(guī)律變化，全溫區(qū)范圍內(nèi)共變化約398.3 (°)/h，難以滿足工程應(yīng)用的需求。圖中輸出與溫度存在明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型對(duì)陀螺進(jìn)行溫度補(bǔ)償。

2.2 小波去噪

由于陀螺輸出原始數(shù)據(jù)噪聲較大，對(duì)模型擬合精度影響較大，因此在建模前先對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

小波變換具有低熵性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等特點(diǎn)，在去噪算法中被廣泛應(yīng)用。本文采用小波域閾值法[8-9]，其具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，不但能較好地抑制噪聲，還能保留原始信號(hào)的突變點(diǎn)，達(dá)到出色的去噪效果。去噪步驟包括噪聲信號(hào)分解、小波系數(shù)估計(jì)和有效信號(hào)重構(gòu)。

本文采用 sym5小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行噪聲分解，以減少小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和重構(gòu)時(shí)的相位失真。消噪后的數(shù)據(jù)如圖6所示，可以看出既保留了原始數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，又具有較好的去噪效果。

圖6 小波去噪前后對(duì)比Fig.6 Comparison before and after wavelet denoising

2.3 模型建立及優(yōu)化

考慮到溫度、溫度變化率及溫度梯度交叉項(xiàng)因素，采用多項(xiàng)式模型，階數(shù)取3。模型(3)可展開為：

本文采用最小二乘法求解模型各階擬合系數(shù)，具體過程不再贅述。最小二乘估計(jì)的一般形式為：

其中，β是模型各項(xiàng)系數(shù)組成的列向量，是其最小二乘估計(jì)，X為式(4)中由各變量組成的行向量。

獲得各項(xiàng)系數(shù)后，多元補(bǔ)償模型已基本確定。除常數(shù)項(xiàng)外，該模型共包含17個(gè)變量，計(jì)算量較大，因而通過多元線性逐步回歸法分析模型各變量與陀螺漂移間的顯著程度，進(jìn)行模型優(yōu)化。若變量與輸出無(wú)相關(guān)性，則剔除該變量。故優(yōu)化后的模型可表示為：

3 基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型

支持向量機(jī)在解決小樣本、非線性和高維模式識(shí)別問題中有許多優(yōu)勢(shì)，在特征提取、分類識(shí)別、回歸計(jì)算等領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用[10]。如前所述，陀螺在實(shí)際應(yīng)用中，環(huán)境變化具有隨機(jī)性，本文采用支持向量機(jī)對(duì)陀螺輸出進(jìn)行特征提取，降低隨機(jī)誤差。

支持向量機(jī)的原理就是在已知的兩類線性可分的數(shù)據(jù)樣本中找到一個(gè)最優(yōu)分類面，兩類數(shù)據(jù)樣本可通過該面得到最大化分割。如圖7所示，假設(shè)圖中的圓和正方形分別為兩種數(shù)據(jù)樣本，H為分類線，將H平行移動(dòng)從而得到邊界位置H1及H2，最優(yōu)分類面不僅可以將兩類數(shù)據(jù)樣本正確分隔開，使訓(xùn)練錯(cuò)誤率為零，而且還應(yīng)確保兩類數(shù)據(jù)樣本間的分類間隔達(dá)到最大。

圖7 最優(yōu)分類面示意圖Fig.7 Optimal classification surface diagram

設(shè) { (xi,yi) ,i= 1,,n} ,xi∈R,yi∈{1,-1}為 兩 類線性可分的數(shù)據(jù)樣本，其中，xi為輸入特征向量，yi為輸入特征向量的類別標(biāo)記。f（x）=ω·x+b為線性判別函數(shù)的一般形式，因此可得到對(duì)應(yīng)的分類面的表達(dá)式：

通過直接計(jì)算能夠得知，此時(shí)H1與H2之間的距離為即此刻分類間隔為若使間隔最大，即為使最小。故可將求解兩類數(shù)據(jù)樣本的最優(yōu)分類面問題轉(zhuǎn)化為如式(8)所示的求解變量ω與b的最優(yōu)化問題：

根據(jù)金屬諧振陀螺的輸出曲線，提取陀螺輸出趨勢(shì)項(xiàng)，顯然屬于求解非線性數(shù)據(jù)最優(yōu)化的問題。對(duì)于線性不可分的數(shù)據(jù)樣本，需要通過核函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的線性問題，然后通過求解線性問題得到原問題的解，核函數(shù)作為映射函數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中起到至關(guān)重要的作用。上述最優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

其中，C稱為懲罰因子，ξi稱為松弛因子。C的值越大，表明回歸效果越好。

隨著SVM的不斷進(jìn)步，核函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)特征提取的影響越來(lái)越大，因此在對(duì)陀螺輸出進(jìn)行特征提取時(shí)，核函數(shù)的選取十分關(guān)鍵。為得到陀螺輸出曲線微小變化的特征，本文采用具有較強(qiáng)的局部描述能力的徑向基核函數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，徑向基核函數(shù)表達(dá)式為：

式中，σ為核函數(shù)寬度，其值越小就具有越強(qiáng)的局部描述能力。結(jié)果如圖8所示。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)特征提取后，最終得到一組綜合各組數(shù)據(jù)微小差異的陀螺輸出。表1列舉出了支持向量機(jī)特征提取后的陀螺輸出與各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的方差。

圖8 支持向量回歸Fig.8 Support vector regression

表1 SVM后輸出與各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的方差Tab.1 Variance of the SVM output and the experimental data of each group

基于特征提取后的數(shù)據(jù)與式(6)，再解算出各項(xiàng)系數(shù)，便可得到基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型。

4 補(bǔ)償結(jié)果對(duì)比及分析

為驗(yàn)證所建立兩模型補(bǔ)償效果，建立了傳統(tǒng)溫度-輸出模型，并對(duì)比了基于溫度模型補(bǔ)償、優(yōu)化后多元模型補(bǔ)償與基于支持向量回歸的多元模型補(bǔ)償?shù)难a(bǔ)償效果。

4.1 補(bǔ)償結(jié)果

4.1.1 基于溫度模型補(bǔ)償

基于溫度的多項(xiàng)式補(bǔ)償模型可表示為：

其中，C0為溫度非相關(guān)項(xiàng)，階數(shù)取n=3。

補(bǔ)償結(jié)果如圖9(a)所示。經(jīng)溫度模型補(bǔ)償后，陀螺全溫區(qū)性能得到改善。補(bǔ)償前后，陀螺的最大零偏漂移由 0.36 (°)/s 減小到 0.105(°)/s，零偏穩(wěn)定性由398.3 (°)/h 提高到 90.7 (°)/h。

圖9 a 基于溫度補(bǔ)償模型的補(bǔ)償效果Fig.9 a Compensation effect based on temperature compensation model

4.1.2 優(yōu)化后的多元模型補(bǔ)償

由于諧振子與外界發(fā)生熱交換需要一定時(shí)間，導(dǎo)致諧振子溫度與外界溫度存在溫度梯度，使得陀螺出現(xiàn)遲滯效應(yīng)。外界溫度變化越劇烈，遲滯效應(yīng)越嚴(yán)重，影響陀螺輸出。采用多元補(bǔ)償模型可減小遲滯效應(yīng)的影響。

補(bǔ)償結(jié)果如圖9(b)所示。陀螺的最大零偏漂移由0.36 (°)/s 減小到 0.0317 (°)/s，零偏穩(wěn)定性由 398.3 (°)/h提高到 22.6 (°)/h。

圖9 (b) 多元補(bǔ)償模型補(bǔ)償效果Fig.9 (b) Multi-compensation model compensation effect

4.1.3 基于支持向量回歸的多元模型補(bǔ)償

基于支持向量回歸的多元模型補(bǔ)償結(jié)果如圖9(c)所示。陀螺的最大零偏漂移由0.36 (°)/s 減小到0.022 (°)/s，零偏穩(wěn)定性由398.3 (°)/h提高到17.7 (°)/h。

圖9 (c) 基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型補(bǔ)償效果Fig.9 (c) Compensation effect of multivariate compensation model based on support vector regression

4.2 驗(yàn)證及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型補(bǔ)償效果，再次用三種模型對(duì)另一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償，效果對(duì)比如圖10所示。陀螺零偏穩(wěn)定性由補(bǔ)償前的 420.2 (°)/h 分別提高到 84.4 (°)/h、27.2 (°)/h及 23.7 (°)/h。

圖10 補(bǔ)償結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison on compensation results

驗(yàn)證結(jié)果表明：基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型補(bǔ)償效果最佳?；跍囟鹊难a(bǔ)償模型只能補(bǔ)償陀螺隨溫度緩慢變化的主體趨勢(shì)，在溫度轉(zhuǎn)折點(diǎn)處補(bǔ)償效果較差；引入溫度梯度與溫度變化率作為模型變量后，較好地補(bǔ)償了溫度改變時(shí)的輸出，并補(bǔ)償了大部分的滯后效應(yīng)。通過支持向量回歸對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，并基于此建立多元補(bǔ)償模型，使補(bǔ)償后的精度得到進(jìn)一步提升。

5 結(jié) 論

對(duì)于陀螺儀而言，全溫精度是衡量其性能的重要指標(biāo)。本文基于實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用多項(xiàng)式模型，建立了一種基于支持向量回歸的多元補(bǔ)償模型。通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比了模型補(bǔ)償效果，結(jié)果表明，該模型補(bǔ)償效果明顯優(yōu)于常規(guī)模型，較大程度上改善了陀螺性能，與補(bǔ)償前相比，零偏穩(wěn)定性提高一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。