淺談相似三角形中的類比思想

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，三角形相似是中學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容，除了知識(shí)的重要性以外，其蘊(yùn)含著的類別數(shù)學(xué)思想也同樣重要。類比的思想在所有學(xué)科的學(xué)習(xí)，甚至在生活中，應(yīng)用都十分廣泛，體現(xiàn)著學(xué)生活學(xué)活用、知識(shí)遷移的能力。所以本文以《相似三角形》的課程設(shè)計(jì)為例，體現(xiàn)在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)，如何體現(xiàn)出類比思想。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 相似三角形 類比思想 課程設(shè)計(jì)

一、知識(shí)儲(chǔ)備

1.三角形相似：形狀完全相同的兩個(gè)三角形為相似三角形；如果兩個(gè)三角形相似，則互為放大或縮小的版本。

2.預(yù)備定理（平行線定理）：平行線于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似，形式上有A型、X型。

3.類比思想：指的是根據(jù)兩類對(duì)象在所要研究的某一方面具有相似性，可以得出相似的結(jié)論。

二、三角形相似類比思想的體現(xiàn)

1.三角形相似概念的類比

三角形相似的概念可以類比于三角形全等的概念。教師在進(jìn)行新課的引入時(shí)，可以先復(fù)習(xí)與三角形全等的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生找出三角形相似與全等概念上的相似與區(qū)別，這樣，不僅幫助學(xué)生回憶了與相似三角形聯(lián)系緊密的舊概念，還可以通過(guò)分析分析它們的結(jié)構(gòu)特征，建立起與新知識(shí)的聯(lián)系。運(yùn)用類比引入新概念，可使學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。[1]

2.判定定理的類比

著名的數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為：“類比就是大膽創(chuàng)造，不過(guò)，你應(yīng)該首先找到雙方的相似屬性?！比切蜗嗨七@一模塊的內(nèi)容與全等有許多相似的地方，三角形相似的判定定理可以根據(jù)全等三角形的判定定理得到，即：形狀、大小相同的兩個(gè)三角形全等類比為形狀相同的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)而得到兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似（AA）；三角形三邊對(duì)應(yīng)相等則全等類比為三角形對(duì)應(yīng)的三邊成比例，則兩個(gè)三角形相似；根據(jù)三角形全等的判定定理SAS類比于三角形對(duì)應(yīng)的兩邊成比例，且?jiàn)A角相等的額兩個(gè)三角形相似；此外還有直角三角形相似的判定定理也可以根據(jù)直角三角形全等HL判定定理類比

得到。[2]

這樣利用三角形相似與全等的結(jié)構(gòu)幾何特征，得到定理的類比，這樣也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力的過(guò)程。[3]

3.證明方法的類比

三角形相似判定定理的證明具有相似性，即通過(guò)一個(gè)定理的證明思路與過(guò)程可以類比出其他判定定理的證明過(guò)程，而且是要求學(xué)生自己獨(dú)立完成?？梢赃M(jìn)行如下的課程設(shè)計(jì)來(lái)體現(xiàn)類比思想。

求證：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，證明兩個(gè)三角形相似。（教師引導(dǎo)）

圖 1

證明：采用疊合法。

如圖1所示，在△A'B'C'邊A'B'上截取，過(guò)點(diǎn)D作直線DE//B'C'，得到∠A'DE=∠B'，△A'B'C'∽△A'DE，所以在△ABC與△A'DE中，∠A=∠A'，∠B=∠A'DE，所以△ABC△ADE，進(jìn)而△ABC∽△ABC。

接下來(lái)，可以讓學(xué)生采用疊合法，證明如下兩個(gè)定理：

定理1：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，，求證兩個(gè)三角形相似。

定理2：在△ABC于△A'B'C'中，，求證兩個(gè)三角形相似。

這樣的課程設(shè)計(jì)提高了課堂的教學(xué)效率，原先三個(gè)定理的內(nèi)容需要兩個(gè)課時(shí)才能完成，打斷了知識(shí)的連續(xù)性，而現(xiàn)在只需要一個(gè)課時(shí)就可以將三種定理的證明講解完，使課堂的內(nèi)容具有連貫性，便于學(xué)生從整體上來(lái)理解各個(gè)判定定理的證明。

4.相似三角形性質(zhì)的類比

性質(zhì)1：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的高成比例，且為相似比。

圖 2

證明：由于△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，有因?yàn)锳D、AD'是高，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'，那么根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到：

上述過(guò)程由教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，接下來(lái)，教師可以采用分組教學(xué)的方式，將相似三角形中線以及角平分線對(duì)應(yīng)成比例的證明安排學(xué)生獨(dú)立完成。思路則是利用兩個(gè)內(nèi)部的小三角形相似得到相應(yīng)的結(jié)論，都是先證明兩個(gè)三角形相似，然后用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”證到結(jié)論。

性質(zhì)2：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的中線成比例，且為相似比。

性質(zhì)3：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的角平分線成比例，且為相似比。

比如，可以將學(xué)生分為8個(gè)組，其中4各組證明形似三角形的中線性質(zhì)，剩下的同學(xué)證明相似三角形角平分線的性質(zhì)。這樣的設(shè)計(jì)可以在學(xué)生感剛剛掌握相似三角形高的性質(zhì)之后，利用相類似的證明思路，通過(guò)小組討論這樣靈活的教學(xué)形式，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)之間的緊密聯(lián)系，新舊知識(shí)融會(huì)貫通。

類比思想在相似三角形中的應(yīng)用，將新舊知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合，在鞏固舊知識(shí)的同時(shí)，還學(xué)習(xí)了新的知識(shí)，降低了許多同學(xué)的學(xué)習(xí)難度，學(xué)習(xí)變得有章可循。

5.三角形相似的應(yīng)用

一種數(shù)學(xué)思想之所以重要，是由于其擁有較高的現(xiàn)實(shí)意義，即應(yīng)用性較強(qiáng)。類比思想的重要性就體現(xiàn)在其應(yīng)用可以簡(jiǎn)化習(xí)題。無(wú)論是在初中階段還是高中階段的基礎(chǔ)教育中，類比的思想是一種重要的解題方法，以此來(lái)指導(dǎo)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)教師和學(xué)生輕松而高效的教和學(xué)。三角形相似的相關(guān)習(xí)題種類多樣化，這樣導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)常常感覺(jué)困難，造成的原因之一是不定的利用類比的思想來(lái)求解習(xí)題，也就是不懂得如何舉一反三。比如，可以將利用相似來(lái)證明比例式、證明三角形相似、求某一線段的長(zhǎng)等等。

例1：如圖3在△ABC中，DE//BC，BF平分∠ABC，BF的延長(zhǎng)線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AD=1，BD=2，BC=4，那么EF=______.

圖 3

例2：如圖4，CD是∠ACB的角平分線，BE//CD.求證：（1）BC=CE；（2）

圖 4

例1與例2的證明方式相似，涉及到角平分線、平分線內(nèi)容，可以將例1的解題方法類比用在例2 的證明上，實(shí)質(zhì)上許多題目是某一題目的變式，具有相似性，只要善于利用類比法，就可以提高學(xué)習(xí)的效率。類比思想還有助于發(fā)散學(xué)生思考問(wèn)題的思維，增強(qiáng)創(chuàng)造能力，這也是素質(zhì)教育的要求。在中考的題目中，有許多都是由三角形相似圖形變形構(gòu)成的新圖形，利用類比的思想來(lái)尋找角或是邊的關(guān)系，從而找到解題的方法。

三、提升類比思想滲透在教學(xué)中的策略

相似三角形是初中階段的知識(shí)點(diǎn)，盡管在這之前已經(jīng)接觸到了類比思想，但是并不熟練，沒(méi)有掌握類比思想的核心，基于此，提升類比思想的滲透的首要策略是加強(qiáng)教師的引導(dǎo)。教師要深入研究教材，發(fā)現(xiàn)可以應(yīng)用類比思想的內(nèi)容，并會(huì)恰當(dāng)?shù)膶?duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)；其次，要緊扣每節(jié)課的教學(xué)主線。每節(jié)課的教學(xué)主線貫穿了整節(jié)課知識(shí)的核心知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想方法。比如在進(jìn)行三角形相似性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，三角形相似對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線對(duì)應(yīng)的比是主線，教師在課堂上的每一點(diǎn)引導(dǎo)都是分布在這條主線的周圍，新知的探究與生成，完全建立在舊知的回顧與應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”和“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”成就了“相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”，同時(shí)還為下一步的類比探究積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)；最后，要注重課堂教學(xué)形式的多樣性，比如加入小組討論，這樣的教學(xué)方法十分適合探究類的問(wèn)題，他們將自己的想法互相交流，通過(guò)師生、生生之間互動(dòng)辨析，逐步將這些個(gè)性化的經(jīng)驗(yàn)變?yōu)榇蠹艺J(rèn)同的經(jīng)驗(yàn)，將知識(shí)、方法互相共享。

結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在初學(xué)三角形相似的判定定理證明時(shí)，常常無(wú)從下手，可是將類比的思想加入在教學(xué)中，學(xué)生有全等的知識(shí)與方法作為鋪墊，類比后相似三角形的內(nèi)容變得熟悉，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。實(shí)際上類比思想在中學(xué)中的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在三角形相似的教學(xué)中，教師要善于深度挖掘教材，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力?？傊瑧?yīng)該更加注重類比思想的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，提高每位學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正的實(shí)現(xiàn)“素質(zhì)教育”。

參考文獻(xiàn)

[1]王月祥.突出類比思想，促進(jìn)課堂生成[J]，教學(xué)導(dǎo)航，2016，（9）：65.

[2]丁科利.相似三角形中的類比思想—《相似三角形》的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017，（8）：67.

[3]吳凱紅.重組教材關(guān)聯(lián)處，“同而不同”在類比—“相似三角形的判定方法”教學(xué)設(shè)計(jì)及解讀[J].教學(xué)導(dǎo)航，2017，（3）：23.

作者簡(jiǎn)介

賈安國(guó)（1970，10—），男，漢，四川成都人，中學(xué)一級(jí)教師，彭州市麗春鎮(zhèn)北君平初級(jí)中學(xué)，研究方向：初等教育。