一類p規(guī)范型非線性系統(tǒng)自適應(yīng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定

胡利耀，李小華

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,遼寧 鞍山 114051)

對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不少文獻(xiàn)研究了系統(tǒng)的李雅普諾夫漸近穩(wěn)定控制，但只關(guān)注系統(tǒng)的最終狀態(tài)是否趨于零，沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的要求.然而，在一些實(shí)時(shí)性要求較高的系統(tǒng)，如倒立擺、導(dǎo)彈跟蹤及機(jī)械臂系統(tǒng)，需要更快的收斂速度及更好的暫態(tài)性能，此時(shí)漸近穩(wěn)定控制將難以滿足實(shí)際要求.有限時(shí)間控制[1]具有抗干擾能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、暫態(tài)性能好的優(yōu)點(diǎn)，能解決上述問題，因而引起了研究人員的關(guān)注[2-4].

自從Bhat[5]給出有限時(shí)間控制的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理后，關(guān)于有限時(shí)間控制的研究成果[6-16]相繼產(chǎn)出.這些文獻(xiàn)把有限時(shí)間穩(wěn)定控制分為兩大類，一類為實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定[6, 10-12]，它保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到某一個(gè)特定的界內(nèi).文獻(xiàn)[6，10]分別采用反步法、加冪積分技術(shù)設(shè)計(jì)了非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)實(shí)際有限時(shí)間控制器，保證了系統(tǒng)的所有狀態(tài)均收斂于一個(gè)特定的界內(nèi).文獻(xiàn)[11-12]分別將實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定理論應(yīng)用于航天器、導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng).然而，由于實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定只能保證系統(tǒng)的信號(hào)收斂于平衡點(diǎn)的一個(gè)鄰域，故仍存在一定的控制誤差.另一類為精確有限時(shí)間穩(wěn)定[7-9,13]，它能夠保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)精確收斂于平衡點(diǎn)而不是平衡點(diǎn)的一個(gè)鄰域.文獻(xiàn)[14-15]針對(duì)Markov 跳變系統(tǒng)均給出了有限短時(shí)間穩(wěn)定的概念，文中所說的有限短時(shí)間穩(wěn)定實(shí)際上就是精確有限時(shí)間穩(wěn)定，此類有限時(shí)間穩(wěn)定控制具有更高的控制精度. 目前，對(duì)于精確有限時(shí)間穩(wěn)定控制的設(shè)計(jì)方法主要有：加冪積分技術(shù)[16-17]、齊次域法[18]、動(dòng)態(tài)增益控制法[19]及其他方法[20-21].

值得注意的是，一些文獻(xiàn)對(duì)p規(guī)范型非線性系統(tǒng)進(jìn)行了有關(guān)精確有限時(shí)間控制的研究[22-26]. 文獻(xiàn)[22]研究了有未知函數(shù)項(xiàng)的p規(guī)范型非線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制問題，但是其未知項(xiàng)須滿足一個(gè)較為嚴(yán)格的假設(shè)條件，有一定局限性.文獻(xiàn)[23]研究了非線性系統(tǒng)自適應(yīng)有限時(shí)間控制問題，僅考慮了系統(tǒng)的冪p為奇整數(shù)形式的情況，不具有普遍性.文獻(xiàn)[24-25]均考慮了p規(guī)范型非線性系統(tǒng)中p為奇整數(shù)之比形式的情況，但沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)中可能存在的不確定參數(shù)，實(shí)用性較差.文獻(xiàn)[26]基于有限時(shí)間穩(wěn)定性定理，研究了一類帶有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制問題，但所討論的系統(tǒng)實(shí)際上是p規(guī)范型非線性系統(tǒng)中p為1的特殊情況，缺乏普遍性.目前，基于有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定性定理的、考慮不確定參數(shù)的、虛擬控制系數(shù)未知的且p為奇整數(shù)之比的p規(guī)范型非線性系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定的相關(guān)研究未見報(bào)道，因此，筆者利用有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定性定理，結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)和加冪積分技術(shù)，針對(duì)涵蓋一類工程對(duì)象的p規(guī)范型系統(tǒng)[1]設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器.

1 問題的描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 問題的描述

考慮如下形式的p規(guī)范型非線性系統(tǒng)

(1)

其中：xi(i=1,2,…,n)，u分別是系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入，且[x1,x2,…,xn]T=x∈Rn，u∈R；冪指數(shù)pi為奇整數(shù)之比且大于等于1；di(·)，fi(·)為連續(xù)可導(dǎo)的未知函數(shù)，且fi(t,0,0,…,0,σ1)=0，σ1≥1為不確定參數(shù).該系統(tǒng)滿足如下假設(shè).

假設(shè)1存在已知正常數(shù)ai,bi，使虛擬控制系數(shù)滿足

ai≤di(·)≤bi.

(2)

假設(shè)2存在已知的1階連續(xù)可導(dǎo)的非負(fù)函數(shù)φi(x1,x2,…,xi)，使未知函數(shù)

|fi(t,x1,x2,…,xi,σ1)|≤(|x1|+|x2|+…+|xi|)φi(·)σ1.

(3)

這里，將結(jié)合加冪積分技術(shù)和自適應(yīng)技術(shù)對(duì)p規(guī)范型非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)有限時(shí)間控制器，該控制器能夠使系統(tǒng)(1)的各個(gè)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)，可通過系統(tǒng)參數(shù)來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的停息時(shí)間，且對(duì)不同參數(shù)σ1，不用改變控制器，仍能使系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定.

1.2 預(yù)備知識(shí)

(4)

則該系統(tǒng)有限時(shí)間收斂. 如果平衡點(diǎn)x=0不僅是Lyapunov穩(wěn)定，也是在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域D?U的有限時(shí)間收斂，則稱x=0為局部有限時(shí)間穩(wěn)定.若D=U=Rn，則x=0為全局有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

定理1[17]對(duì)于定義1描述的自治系統(tǒng).若存在一個(gè)定義在原點(diǎn)鄰域U?Rn上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)V(x)，它滿足：(1)V(x)是正定的；(2)存在實(shí)數(shù)δ>0和

則該自治系統(tǒng)的原點(diǎn)為有限時(shí)間穩(wěn)定.停息時(shí)間Tx(x0)依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)=x0，且滿足如下不等式

(5)

若U=Rn且V(x)是徑向無界的，則該系統(tǒng)的原點(diǎn)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定.

引理1[24]對(duì)于任意實(shí)數(shù)xi(i=1,2,…,n)與r，其中0

(|x1|+|x2|+…+|xn|)r≤|x1|r+|x2|r+…+|xn|r.

(6)

(7)

引理2[26]對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y及正實(shí)數(shù)s，t，且γ(x,y)>0是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，有

(8)

(9)

2 自適應(yīng)有限時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)

第1步 選取Lyapunov函數(shù)

(10)

由假設(shè)2可知

(11)

(12)

(13)

綜上所述，有

(14)

令

(15)

考慮假設(shè)1，選取虛擬控制量

(16)

其中：c為非負(fù)參數(shù).令

(17)

(18)

將式(16)～(18)代入式(15)，整理可得

(19)

第2步 設(shè)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

由引理1可知

(27)

由式(19)，(21),(22)可知

(28)

討論式(28)右側(cè)的第1項(xiàng). 由式(20)、假設(shè)1、引理1及引理2，可知

(29)

其中：L1為一個(gè)正常數(shù).

(30)

|f2(t,x1,x2,σ1)|≤(|x1|+|x2|)φ2(·)σ1≤

(31)

(32)

(33)

其中

(34)

(35)

類似式(31)，有

(36)

結(jié)合假設(shè)1，有

(37)

其中：

為1階連續(xù)可導(dǎo)的非負(fù)函數(shù)，

(38)

(39)

根據(jù)式(34)，(39)，可得

(40)

由引理2，可得

(41)

(42)

其中：λ21=λ22，且二者為適當(dāng)常數(shù).

(43)

其中：μ2,1(·)和μ2,2(·)為滿足式(43)的1階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù).

將式(29)， (32)及(43)代入式(28)并整理，得

(44)

令

(45)

(46)

則式(44)化簡(jiǎn)為

(47)

(48)

由式(26),(27)，易得

(49)

(50)

將式(50)代入式(47)，并整理得

(51)

結(jié)合假設(shè)1，設(shè)計(jì)虛擬控制為

(52)

將式(24),(52)代入式(51)，整理可得

(53)

聯(lián)合第1，2步推導(dǎo)，有如下推論.

(54)

(55)

若取如下虛擬控制律

? ?

(56)

(57)

證明當(dāng)i=1，2時(shí)，第1，2步證明過程已給出，現(xiàn)假定第i-1步仍成立，即

(58)

(59)

接下來在第i-1步成立的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)第i步也成立.設(shè)

Vi=Vi-1+Wi，

(60)

(61)

易得

(62)

(63)

(64)

(65)

類似式(27)的證明，有

(66)

由Vi=Vi-1+Wi，易得

(67)

將式(59)，(63)代入式(67)，則式(67)轉(zhuǎn)化為

(68)

(69)

其中：Li-1是一個(gè)正常數(shù).

(70)

其中：l=2,3,…，i.

由假設(shè)2，可得

(71)

(72)

利用引理2及式(72)，易得

(73)

(74)

所以

(75)

(76)

由式(56)，(72)及假設(shè)1，有

(77)

(78)

當(dāng)i=2時(shí)，由式(38)知式(78)成立.假定當(dāng)k=1,2,…,i-2時(shí)均滿足如下不等式

(79)

現(xiàn)利用式(79)證明式(78)成立.由式(56)，(79)，可知

(80)

接下來證明當(dāng)k=i-1時(shí)仍然成立.由式(56)及引理1，可知

(81)

由式(79)～(81)可知，式(78)成立.

(82)

其中：

是1階連續(xù)可導(dǎo)非負(fù)函數(shù).

(83)

(84)

將式(69)，(75)，(84)代入式(68)，整理可得

(85)

令

(86)

(87)

將二者代入式(85)，整理得

(88)

(89)

(90)

(91)

將式(91)代入式(88)，得

(92)

令

(93)

將式(93)代入式(92)，由假設(shè)1，可得

(94)

至此，推論1證明完畢.

由推論1，當(dāng)i=n時(shí)，取

(95)

有下式成立

(96)

故取

(97)

時(shí)，則有

(98)

至此，控制器設(shè)計(jì)完畢.

定理2對(duì)于系統(tǒng)(1)，若滿足假設(shè)1～2， 則在控制律(16)，(52)，(93)，(95)及自適應(yīng)律(97)作用下，閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn).

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

由式(98)，可得

Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))≥Vn(ξ1(0),ξ2(0),…,ξn(0))-Vn(ξ1(T1),ξ2(T1),…,ξn(T1))=

(104)

由式(103)及引理1，可得

(105)

由式(104),(105)，可得

(106)

(107)

(108)

因此，系統(tǒng)狀態(tài)可在有限時(shí)間TB內(nèi)收斂于原點(diǎn). 有關(guān)TB的不等式如下

(109)

至此，定理2證明完畢. 由TA與TB可知，系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間與參數(shù)c有關(guān)，則可通過調(diào)整參數(shù)c來調(diào)整系統(tǒng)的停息時(shí)間.

3 數(shù)值仿真

基于文獻(xiàn)[24]中的p規(guī)范型非線性系統(tǒng)，筆者在其中增加一個(gè)不確定參數(shù)σ1，系統(tǒng)模型為

(110)

選取初始狀態(tài)為：

根據(jù)定理2，由式(52)，(97)可得到有限時(shí)間控制律及自適應(yīng)律.選擇參數(shù)c分別為0.1，2.6，5.1，取不確定參數(shù)σ1=1.1.圖1～3分別給出了σ1=1.1時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)x1，x2與自適應(yīng)估計(jì)值的仿真曲線.

圖1 σ1=1.1時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)x1 圖2 σ1=1.1時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)x2 圖3 σ1=1.1時(shí)的系統(tǒng)自適應(yīng)估計(jì)值

為了驗(yàn)證控制器對(duì)不確定參數(shù)的適應(yīng)性，在不改變自適應(yīng)有限時(shí)間控制律及自適應(yīng)律條件下，選取σ1=1.3，仿真結(jié)果如圖4～6所示.

圖4 σ1=1.3時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)x1 圖5 σ1=1.3時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)x2 圖6 σ1=1.3時(shí)的系統(tǒng)自適應(yīng)估計(jì)值

從圖4～6可以看出，不確定參數(shù)σ1取其他不同值時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)也穩(wěn)定，表明該文控制器對(duì)不確定參數(shù)具有適應(yīng)性.改變參數(shù)c，收斂速度明顯改變. 參數(shù)c增大，系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間縮短，表明該方法的停息時(shí)間具有可調(diào)性.

圖7 初始狀態(tài)改變后的狀態(tài)x1 圖8 初始狀態(tài)改變后的狀態(tài)x2 圖9 初始狀態(tài)改變后的自適應(yīng)估計(jì)值

從圖7～9可以看出, 該文設(shè)計(jì)的控制器初始狀態(tài)改變后也有較好的控制性能，故控制器對(duì)不同初始狀態(tài)有很好的適應(yīng)性.

從文獻(xiàn)[24]的系統(tǒng)仿真圖中，容易看出在系統(tǒng)不存在未知參數(shù)的情況下，其系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2分別在1，2 s趨于穩(wěn)定.然而，從圖1，2可知，當(dāng)c=5.1時(shí)，該文設(shè)計(jì)的控制器在系統(tǒng)存在未知參數(shù)的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2分別在0.7，1 s趨于穩(wěn)定. 因此，該文方案可以得到更快收斂速度，且對(duì)系統(tǒng)中的不確定參數(shù)有適應(yīng)性.特別地，該方案的停息時(shí)間是可調(diào)的，而文獻(xiàn)[24]的不可調(diào).綜上所述， 相比文獻(xiàn)[24]，該文方案更具應(yīng)用價(jià)值.

4 結(jié)束語

筆者研究了一類冪p為奇整數(shù)之比、帶有不確定參數(shù)且系統(tǒng)虛擬控制系數(shù)未知的p規(guī)范型非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制問題. 采用加冪積分技術(shù)和自適應(yīng)技術(shù)，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)有限時(shí)間控制器，使該系統(tǒng)在參數(shù)未知的情況下能保證各個(gè)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)，實(shí)用性更強(qiáng). 但是，設(shè)計(jì)過程較繁瑣，對(duì)系統(tǒng)函數(shù)所做的假設(shè)條件使控制器的保守性較強(qiáng)，對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)誤差只做到了有界，這些對(duì)系統(tǒng)的控制會(huì)產(chǎn)生不利的影響.因此，簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過程、降低估計(jì)參數(shù)的誤差以及降低設(shè)計(jì)的保守性是此類控制問題下一步的研究方向.