淺論數(shù)學(xué)分析中極限問(wèn)題的存在性和若干求解方法

耿昕

摘要：文章首先介紹六大實(shí)數(shù)集完備性定理以作為求取極限的基礎(chǔ)，然后介紹一元函數(shù)求極限的方法，包括極限定義法、極限的四則運(yùn)算、函數(shù)迫斂性、兩個(gè)重要極限、單調(diào)有界原理、洛必達(dá)法則、泰勒公式，重點(diǎn)在于對(duì)它們互相進(jìn)行對(duì)比，找出它們各自的優(yōu)點(diǎn)，指出它們各自所適用的情況，力求在遇到極限問(wèn)題時(shí)能靈活運(yùn)用各種方法，找到最簡(jiǎn)易的解法。

關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)集完備性定理;極限;一元函數(shù)

一、引言

微積分的思想在公元前7世紀(jì)就已經(jīng)產(chǎn)生，但并不是十分明顯。在公元前3世紀(jì)，偉大的阿基米德就利用窮竭法求出了拋物線、螺線、圓的面積以及橢球體、拋物面體等各種復(fù)雜幾何體的表面積、體積公式。

在中國(guó)，三國(guó)時(shí)期的劉徽發(fā)明了世界聞名的割圓術(shù)。南朝時(shí)的祖氏父子更是將圓周率計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后七位。此外祖暅之提出的祖暅原理也比西方早了一個(gè)多世紀(jì)。而這些成就大多也包含了微積分的思想在其中。

直到15世紀(jì)初，人們的科學(xué)技術(shù)開始要求更加強(qiáng)勁的數(shù)學(xué)工具。具體來(lái)說(shuō)有不同領(lǐng)域的四個(gè)問(wèn)題促使了微積分最終的發(fā)明。這四個(gè)問(wèn)題是：運(yùn)動(dòng)中速度、加速度、距離之間的虎丘問(wèn)題，尤其是非勻速運(yùn)動(dòng)，使瞬時(shí)變化率的研究成為必要;曲線求切線問(wèn)題，例如要確定透鏡曲面上任意一點(diǎn)的法線等;從求炮彈的最大射程，到求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等問(wèn)題提出的求函數(shù)的極大值或極小值問(wèn)題;當(dāng)然還有千百年來(lái)人們一直在研究如何計(jì)算長(zhǎng)度、面積、體積與重心等問(wèn)題。

其中，第一、第二、第三促進(jìn)微分的發(fā)展，第四問(wèn)題促進(jìn)積分的發(fā)展。

微分與積分起初是互相獨(dú)立發(fā)展的，開普勒、伽利略、費(fèi)馬、笛卡爾、卡瓦列里、巴羅等人做出了不可忽略的貢獻(xiàn)，直到牛頓和萊布尼茲對(duì)微分和積分進(jìn)行了統(tǒng)一。

牛頓從1664年開始研究微積分。1665年5月，牛頓發(fā)明了“流數(shù)術(shù)（微分法）”，1666年5月，發(fā)明“反流數(shù)術(shù)（積分法）”，并于1666年10月將其整理成文，命名為《流數(shù)簡(jiǎn)論》（未發(fā)表）。這是歷史上第一本系統(tǒng)描述微積分的學(xué)術(shù)書籍。

在1673年，萊布尼茲提出特征三角形（ds，dx，dy），并認(rèn)識(shí)到特征三角形在微分中的重要意義，又因?yàn)榕ｎD使用的運(yùn)算符號(hào)過(guò)于復(fù)雜，所以當(dāng)代的數(shù)學(xué)分析采用的是萊布尼茲的符號(hào)體系。

數(shù)學(xué)是十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，追求精確的證明。但是整個(gè)微積分體系都是建立在無(wú)窮的層面的，是十分模糊的概念。于是還有一批數(shù)學(xué)家便投身與微積分的嚴(yán)格化的論述。這項(xiàng)工作最終是由柯西完成的，1821年，柯西發(fā)表《工科大學(xué)分析教程》;1823年，柯西發(fā)表《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》;1929年，柯西發(fā)表《微積分學(xué)講義》，這三本著作建立了一個(gè)沿用至今的微積分模型，并嚴(yán)格定義了如極限、實(shí)數(shù)、無(wú)窮小等概念?？梢哉f(shuō)柯西為微積分學(xué)嚴(yán)格化做出了巨大貢獻(xiàn)。

至此，微分、積分已經(jīng)被牛頓統(tǒng)一在一起，運(yùn)算符號(hào)體系已經(jīng)被萊布尼茲所建立，嚴(yán)格化的證明也被柯西完成，微積分幾乎是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)分支了。

二、實(shí)數(shù)系完備性定理

在求取極限之前，先要確定極限的存在。閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)原理、柯西收斂準(zhǔn)則、單調(diào)收斂原理、確界原理這六個(gè)定理之間的組合可以證明極限的存在。

1. 確界原理：非空有上（下）界實(shí)數(shù)集必有上（下）確界。

說(shuō)明，我們假設(shè)實(shí)數(shù)集存在一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)（設(shè)為a）。那么集合（-∞，a）不存在上確界，但是根據(jù)確界原理，該集合必有上確界，矛盾，所以實(shí)數(shù)集連續(xù)。將這個(gè)定理稱為“實(shí)數(shù)系連續(xù)性定理”。

2. 單調(diào)收斂原理：?jiǎn)握{(diào)有界序列必收斂。

3. 閉區(qū)間套定理：設(shè){[an，bn]}是一列閉區(qū)間，并滿足：

（4）有限覆蓋定理：設(shè)A是R中的一個(gè)子集，{Eλ}λ∈Λ是R中的一族子集組成的集合，其中Λ是一個(gè)指標(biāo)集。若A？哿∪λ∈ΛEλ，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個(gè)覆蓋;若{Eλ}λ∈Λ是A的一個(gè)覆蓋，而且對(duì)每一個(gè)λ∈Λ，Eλ均是一個(gè)開區(qū)間，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個(gè)開覆蓋;若{Eλ}λ∈Λ是A的一個(gè)覆蓋，而且Λ的元素只有有限多個(gè)，則稱{Eλ}λ∈Λ是A的一個(gè)有限覆蓋。

（5）聚點(diǎn)原理：設(shè)E是R中的一個(gè)子集。若x0∈R（x0不一定屬于E）滿足：對(duì)？坌δ>0，有U0（x0，δ）∩E≠？覫，則稱x0是E的一個(gè)聚點(diǎn)。R中的任意一個(gè)有界無(wú)窮子集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。

（6）柯西收斂準(zhǔn)則：設(shè){xn}是一個(gè)序列，若？坌ε>0，？堝N，當(dāng)n，m>N時(shí)，有|xn-xm|<ε，則稱{xn}是一個(gè)柯西序列。{xn}收斂的充分必要條件是它是一個(gè)柯西序列。

說(shuō)明，這一原理表明一個(gè)柯西數(shù)列必存在實(shí)數(shù)極限，也就是實(shí)數(shù)集的完備性。

所以這六個(gè)定理是相互等價(jià)的，它們都說(shuō)明了實(shí)數(shù)集的連續(xù)性和完備性?？梢杂眠@六個(gè)定理的一個(gè)或多個(gè)來(lái)判斷極限的存在，這為求取極限奠定了基礎(chǔ)。

三、一元函數(shù)求極限

（一）極限定義求解

補(bǔ)充三， 泰勒公式的應(yīng)用是非常廣泛的，例如牛頓近似求根法（即牛頓迭代法）。牛頓迭代法就是使用f（x）的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來(lái)尋找方程f（x）=0的根，其最大的優(yōu)點(diǎn)是在方程f（x）=0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來(lái)求方程的復(fù)根、重根，這種方法廣泛用于計(jì)算機(jī)編程當(dāng)中。

四、總結(jié)

本文首先介紹了六個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)系完備性的定理。這六個(gè)定理保證了實(shí)數(shù)系的完備性，我們常常使用其中一個(gè)或多個(gè)證明極限的存在。

然后介紹了七種求極限的方法，每一種方法都有一些適用的地方以及需要注意的地方，下面一一總結(jié)。

對(duì)于第一種定義法，其實(shí)并不常用，只有那些相對(duì)簡(jiǎn)單的極限適合用這種方法。在采用定義法之前，必須先判斷該極限的值，再對(duì)這個(gè)值極限證明。

對(duì)于第二種方法四則運(yùn)算求解，適合于一些通過(guò)四則運(yùn)算將簡(jiǎn)單函數(shù)連接起來(lái)形成的函數(shù)。在使用除法法則前一定要判斷被除極限是否為零（如果為零可以嘗試采用洛必達(dá)法則），而有限個(gè)加減乘的運(yùn)算就可以放心使用了。

對(duì)于第三種方法迫斂性求解，尋找兩個(gè)滿足條件（極限相同、大小始終夾原來(lái)的函數(shù)）的函數(shù)是比較困難，比較麻煩的，所以這種方法也不常用。

對(duì)于第四種方法兩個(gè)重要極限，這個(gè)方法非常重要，幾乎五成的題目都可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)重要極限的形式，當(dāng)然這個(gè)方法也需要一定的數(shù)學(xué)能力將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

對(duì)于第五種方法單調(diào)有界定理，這里要先證明該函數(shù)滿足單調(diào)增（或減），以及函數(shù)有界，然后進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于第六種方法洛必達(dá)法則，這是非常靈活的方法，常常在四則運(yùn)算嘗試后發(fā)現(xiàn)了一些比較特殊的形式，就會(huì)采用洛必達(dá)法則。

對(duì)于第七種方法泰勒公式，要采用這種方法的極限往往是導(dǎo)函數(shù)是自己或者導(dǎo)函數(shù)比原函數(shù)更復(fù)雜的函數(shù)，也就是在洛必達(dá)法則完全無(wú)能為力時(shí)，我們會(huì)使用泰勒公式簡(jiǎn)化它，但是要注意該函數(shù)每一部分所取的導(dǎo)數(shù)階數(shù)都是相同的，然后化簡(jiǎn)后再求解。

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