對(duì)一類?？嫉娜热切螁?wèn)題的探究

徐言飛

隨著期中、期末、中考等大型考試命題的不斷創(chuàng)新，試題對(duì)常見(jiàn)模型的考查愈加深入，越來(lái)越重視學(xué)生的知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新能力.其中有一類關(guān)于全等三角形的問(wèn)題頗受出題人青睞，變成了當(dāng)前考試的熱點(diǎn).本文以一道常考的全等三角形問(wèn)題為例，并進(jìn)行了若干變式，期待將此類問(wèn)題研究透徹.

1 試題呈現(xiàn)

例1 如圖1，四邊形ACEG和四邊形BCDF是兩個(gè)正方形，證明：（l）AD=BE;（2） AD⊥BE.

分析 本題意在考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).

解 （1）∵四邊形ACEG，BCDF均為正方形，

∴AC=EC，BC=DC，

∠ACD= ∠BCE= 90°.

在AACD和AECB中，

AC=EC，

己證{∠ACD= ∠ECB，

CD= CB，

∴△ACD≌△ECB（SAS）.

∴AD=BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

如圖2，延長(zhǎng)BE交AD于H，

∵△ACD≌△ECB，

∠l=∠2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.

又△ECB是直角三角形，∠BCE=90°，

∴∠2+∠4=90°，

又∠3=∠4（對(duì)頂角相等），

∴∠1+∠3=∠2+∠4（等量代換）=90°，

∴∠DHE=90°.

∴AD⊥BE（垂直的定義）.

點(diǎn)評(píng)對(duì)本題第二問(wèn)，還可以換一種思路，△BCE和△DHE構(gòu)成“8”型，利用“8”型性質(zhì)，∠1+∠DHE=∠2+∠BCE，又∠l=∠2，∴∠DHE=∠BCE=90°，則AD⊥BE.

在考試中，本題常常出現(xiàn)一些變式，如將正方形改為等邊三角形、等腰直角三角形、頂角相等的等腰三角形，或?qū)⒄叫位蛉切涡D(zhuǎn)一定角度.

2 試題變式

變式1 （2015年湖北恩施中考.18）如圖3，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接AG，CE.證明：（l）AG=CE：（2） AG⊥CE.

分析本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的證法;熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.方法類似上題，第二問(wèn)重點(diǎn)在于找“8”型.

變式2 如圖4，已知點(diǎn)C為線段AE上一點(diǎn)，AABC，ACDE都是等邊三角形，證明：（l） AD=BE;（2）∠AOB=60°.

分析 本題在例題的基礎(chǔ)上變?yōu)榱说冗吶切?，方法完全類似，意在考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力.

變式3 若將變式2的ACDE繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖5時(shí)，變式2中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 本題相對(duì)于變式2的區(qū)別在于其中的一個(gè)等邊三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，沿用例題中的方法易知變式2中的結(jié)論仍然成立.

更進(jìn)一步可知，這里的“沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)”換為“沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)”結(jié)論也是成立的.

變式4 如圖6，AACB和AECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，AD分別交BC，BE于點(diǎn)P，O，BE交CD于點(diǎn)Q.試猜測(cè)線段AD和BE的位置和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

分析 本題相對(duì)于變式3，區(qū)別在由等邊三角形變成了等腰直角三角形，方法類似，發(fā)現(xiàn)AD=BE，AD⊥BE.

變式5 若上題中的條件“△ACB和△ECD都是等腰直角三角形”換為“△ACB和△ECD都是等腰三角形，∠ACB，∠ECD，分別為△ACB和△ECD的頂角（為銳角）且相等”，其它條件不變，試猜測(cè)線段AD和BE的位置和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

分析本題相對(duì)于變式3的區(qū)別在于由等邊三角形變成了頂角相等的等腰三角形且頂角頂點(diǎn)相同，方法類似，發(fā)現(xiàn)AD=BE，線段AD和BE的夾角與等腰三角形△ACB的頂角∠ACB相等.注意：若△ACB和△ECD的頂角為鈍角時(shí)，則線段AD和BE的夾角與等腰三角形△ACB的頂角∠ACB互補(bǔ).

點(diǎn)評(píng)實(shí)際上不管是正方形還是三角形，圖形整體運(yùn)動(dòng)時(shí)圖形內(nèi)處處保持一致.以變式2來(lái)說(shuō)明△ACD≌△ECB，△ECB由△ACD旋轉(zhuǎn)而來(lái)，其中CA旋轉(zhuǎn)至CE，旋轉(zhuǎn)了60°，CD旋轉(zhuǎn)至CE，也旋轉(zhuǎn)了60°.AD和CA，CD都是△ACD的組成部分，運(yùn)動(dòng)保持一致（角速度相同），故AD和BE的夾角為60°.

3 能力升華

在考試中，越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.選擇填空的最后一題、大題也常以例題為原型，靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，考查學(xué)生的邏輯推理能力和知識(shí)遷移能力.我們以接下來(lái)的3道題目為例，升華一下對(duì)此類全等三角形問(wèn)題的探究.

例2 如圖8，點(diǎn)C為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和CDE.連接AD和BE交于點(diǎn)O，AD交BC于P，BE交CD于Q，連接PQ.以下六個(gè)結(jié)論：①AD=BE;②PQ、/AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，⑥△CPQ是等邊三角形.一定成立的結(jié)論是_____________（把正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

分析2008年山東菏澤市、濱州市中考第17題，2008年山東東營(yíng)市中考第16題，即最后一個(gè)填空題，均考到了前5個(gè)結(jié)論.結(jié)論①⑤在變式2中己證明，現(xiàn)只需判斷其余4個(gè)結(jié)論的正確性.

對(duì)③，由△ACD≌△ECB，

知AD=BE，∠CAD=∠CBE.

又∠ACB=∠BCQ=60°

∵在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP=BQ，故③成立.

對(duì)④，∵AD=BE，AP=BQ，

∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE.

若DE=DP，則DE=QE.

又∠CDE=60°，∴△QDE為等邊三角形，與△CDE為等邊三角形矛盾，故④不成立.

對(duì)②和⑥，由④知DP=QE，

由△ACD≌△ECB，

知∠PDC=∠QEC.

又∠PCD=∠QCE=60°，

∵在△PCD和△QCE中，

∴△PCD≌△QCE（AAS），

∴PC=QC.

又∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC=60°，

又∠BCA=60°∴PQ//AE，

故②和⑥成立.

例3在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC，CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD，BE和CF交于點(diǎn)P.

（l）下列結(jié)論中正確的是____（只填序號(hào)即可）.①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°.

（2）求證：PB+PC+PD=BE.

分析 本題實(shí)質(zhì)是變式3的推廣，變?yōu)榱巳齻€(gè)等邊三角形，采用相同方法可證得結(jié)論①②③成立.關(guān)鍵在于如何證明第二問(wèn)，我們下面來(lái)進(jìn)行證明.

證明在PE上截取PM=PC，連接CM，

易知△BCE≌△ACD（SAS），

∴∠1=∠2.

設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G，

在ACGE和APGD中，

∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，

∴∠DPG=∠ECG=60°.

（△CGE與△PGD構(gòu)成“8”型）

又（l）中已證∠CPE=60°，

∴△CPM是等邊三角形，

∴CP= CM，∠PMC=60°.

∴∠CPD=∠CME=∠120°.

又∠1=∠2，

∴△CPD≌△CME（AAS），

∴PD=ME.

∴BE= PB+PM+ME=PB+PC+PD.

即PB+PC+PD=BE.

例4 （2016年蘇州市立達(dá)中學(xué)期末卷）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中線;④∠EAM=∠ABC.其中正確的結(jié)論有（ ）個(gè).

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

分析 本題實(shí)質(zhì)是變式l的推廣，結(jié)論①②顯然成立.但本題圖形比變式2復(fù)雜，線段增加了一些.難點(diǎn)在于判斷③和④的正確性.我們下面來(lái)進(jìn)行分析.

過(guò)點(diǎn)E作AM的高交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)G作AM的高交AM于點(diǎn)Q，△EAP與△ABH構(gòu)成“K”型，AB=AE，易知△EAP≌△ABH（AAS），..，ZEAM=∠ABC，EP=AH，故結(jié)論④成立.

同理△CAH與△AQG構(gòu)成“K”型，AC=AG，易知△CAH≌△AQG（AAS），∴AH=QG，∴EP=QG（等量代換），∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=MG，故AM是△AEG的中線，結(jié)論③成立.所以本題中正確的結(jié)論有4個(gè).

其實(shí)本題中還有很多等量關(guān)系，如S△EAG=S△BAC，不妨思考下：延長(zhǎng)EA至B'，使得AB'=EA，連結(jié)GB'，∠BAC和∠GAB'都是∠CAB'的余角，∴∠BAC=∠GAB'.∵AB=EA，AB'=EA，∴AB= AB'.又AC=AG，∴△BAC≌△AB'AG（SAS）.∴S△BAC=S△B'AG，又AB'=EA，∴AG為△GEB'的中線，∴S△EAG= S△B'AG，故S△EAG=S△BAC.

4 結(jié)語(yǔ)

著名發(fā)展心理學(xué)皮亞杰在他的認(rèn)知發(fā)展理論中指出，II歲、12歲及以后的兒童處于形式運(yùn)算階段，兒童思維發(fā)展到抽象邏輯推理水平.因此，教師尤其是數(shù)學(xué)老師在日常教學(xué)中要注重舉一反三，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，理清知識(shí)的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)與知識(shí)間的邏輯關(guān)系.

本文對(duì)全等三角形中?？嫉囊活悊?wèn)題的探究，變式中的5道題目和能力升華中的3道題目都是以例題為原型產(chǎn)生的，不同的結(jié)論針對(duì)不同層次的學(xué)生，核心在于通過(guò)“8”型、“K”型找全等三角形，探究?jī)蓷l線段位置關(guān)系時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化.并要學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，舉一反三，鍛煉自己的數(shù)學(xué)邏輯思維，掌握數(shù)學(xué)思想方法，升華自己的學(xué)習(xí)能力.