待定系數(shù)法在空間直角坐標系中的應用

張神駒

在解決某些問題時，先設出一些字母來表示待定的系數(shù)，然后根據(jù)問題的條件逐步確定這些待定字母的值，進而解決問題，這樣的解題方法我們稱之為待定系數(shù)法.它是數(shù)學中的一種重要解題方法，

應用廣泛，本文以質(zhì)檢與高考試題為例，談談待定系數(shù)法在空間直角坐標系中的應用.

1 利用待定系數(shù)法確定點的坐標

建立空間直角坐標系是解決立體幾何的一種重要手段，然而關于空間直角坐標系數(shù)的建立，教材與雜志的一些文章中，強調(diào)具有垂直關系，特別是有長方體或有線面垂直時才使用.其實不然，按照空間直角坐標系的定義，可選取空間中任一點為原點，以原點出發(fā)的三條兩兩垂直的射線分別為x，y，z軸，且滿足右手系即可建立直角坐標系.這說明了空間直角坐標系的建立具有普遍意義，當然在實際應用中我們應該選擇便于計算的空間直角坐標系.

例1 （2018年寧德市高三第一次質(zhì)檢）如圖l，矩形ABCD中，AB=6，AD=2√3，點F是AC上的動點.現(xiàn)將矩形ABCD沿著對角線AC折成二面角

分析 立體幾何綜合問題中，將平面圖形翻折成空間幾何體是質(zhì)檢與高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型.對于翻折立體幾何問題一定要理清翻折前后的不變關系和不變量，通常在折痕同側(cè)的位置關系、角度的大小保持不變;而在折痕異側(cè)的兩點線段長度、角度及位置關系都有變化，這點是解決此類問題的關鍵所在.同時也往往是學生的薄弱點，不僅需要較好的運算能力，也需要較強的空間想象能力.本題正好考查學生的弱點，實測中得分率較低.那么能否直接建系解決呢？答案是肯定的，由于矩形沿對角線的折疊過程中，始終保持D′A=DA=2√3，D′C=DC=6，隨著D′B=√30，則D′的位置就確定了，因而用坐標法較幾何法容易.我們以B為原點，BC，BA所在直線為x，y軸，過B點垂直于平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用待定系數(shù)法求出D′點坐標，實現(xiàn)問題解決.

解（I）以B為原點，Bc，BA所在直線為x，y軸，過B點垂直于平面ABC的垂線為z軸，建立如圖2所示空間直角坐標系.

設平面AD'F的一個法向量為m=（x，y，z），

設平面BD′F的法向量為m=（x，y，z），

例2 （2006年高考江西卷·理20）如圖3，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三1，另一個側(cè)面是正三角形.

（I）求證：AD⊥BC;

（n）求二面角B-AC-D的大小;

（III）在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置;若不存在，說明理由.

分析 題設中雖沒有更多的垂直關系，但仍可建立空間直角坐標系，應用待定系數(shù)法確定點的坐容易證∠BDC=90°，所以以D點為原點，BD，CD所在直線分別為x，y軸，過D垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用待定系數(shù)法，確定A點坐標，實現(xiàn)問題解決.

解（I）

又BD=CD=1，

則BC2=BD2+CD2，

所以∠BDC=90°.

以D點為原點，BD，CD所在直線分別為x，y軸，過D垂直平面BCD的直線為z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標系.由BD=CD=1，

有D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

設A（x，y，z）（z>0），

∴DA=（1，1，1），BC=（-l，1，0），DA.BC=0，

故AD⊥BC.

同樣地，我們還可以以B點為原點，BD，BA所在直線分別為y，z軸，過B垂直平面ABD的直線為x軸，建立空間直角坐標，確定C點坐標.或以D點為原點，DC，DA所在直線分別為y，z軸，過D垂直平面ACD的直線為x軸，建立空間直角坐標，確定B點坐標，等等.

通過以上例題分析，待定系數(shù)法，使得空間直角坐標系的建立更具有多樣性、靈活性、簡易性.

2 利用待定系數(shù)法確定平面的法向量

平面法向量是向量法解決立體幾何問題的關鍵所在，立體幾何中的平行、垂直的證明;角和距離的計算等問題都有涉及.利用待定系數(shù)法確定平面的法向量解決立體幾何問題，方法簡便，易于操作，可避開傳統(tǒng)幾何法中引輔助線、作圖、證明的麻煩，又可彌補空間想象能力的不足，發(fā)揮代數(shù)運算的長處.平面法向量將在解題中起到越來越大的作用.

2.1 利用法向量求點到平面的距離

例3 （2006年高考福建卷·理18）如圖5，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA=CB

（I）求證：AO⊥平面BCD;

（n）求異面直線AB與CD所成角的大小;

（In）求點E到平面ACD的距離.

分析有了第一小題的結(jié)論，建立空間直角坐標系就顯得容易.然而，評卷中發(fā)現(xiàn)有部分考生，以O為原點，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系來證明第一小題，默認AO⊥平面BCD，這顯然犯了循環(huán)論證的錯誤.那么，能否直接建系證明第一小題呢？答案是肯定的，我們以O為原點，過O點垂直于平面BCD的垂線為z軸，利

用待定系數(shù)法求出A點坐標，發(fā)現(xiàn)其在z軸上，得到AO⊥平面BCD，這樣既能證明第一小題又可以避免邏輯性錯誤.

解（I）以O為原點，OB，OC所在直線分別為x，y軸，平面BCD的垂線為z軸，建立如圖6所示的空間直角坐標系.設A（x，y，z）（z>o），

2.2 利用法向量求直線與平面所成角

例4 （2013年高考新課標I卷·理18）如圖7，三棱柱ABC-A1BlC1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（I）證明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

解（I）取AB中點E，連結(jié)CE，A1B，A1E，

如圖8，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△BAA1，是正三角形，

∴A1E⊥AB，

∵CA=CB，

∴CE⊥AB，AB⊥A1C.

（Ⅱ）由（I）知CE⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面AA1B1B，

面ABC∩面AA1B1B=AB，

∴EC⊥面AA1B1B，

EC⊥EA1，

∴EA，EA1，EC兩兩垂直.

以E為坐標原點，EA為x_軸正方向，|EA|為單位長度，建立空間直角坐標系O-xyz（圖9），

2.3 利用法向量求二面角

例題參見例2 （n）.

解 由例2第（I）題所建的空間直角坐標系，

可得CA=（1，o，o），CD=（o，一1，o），

設平面ACD的法向量為m=（x，y，z），

3 利用待定系數(shù)法解決探索性、存在性問題

探索性問題常以“是否存在”、“當…時，求證：…”等形式設問，這類問題涉及點的運動性和不確定性，用傳統(tǒng)幾何法解決難度較大，而利用空間向量的待定系數(shù)法相對較簡單.立體幾何中平行、垂直、角與距離等都可作為探索性問題的背景和題材，知識面廣，方法靈活，對考生的基礎知識與解題能力有較高要求，也是高考考查學生創(chuàng)新能力的重要題型.

3.1 利用共線關系解決問題

例題參見例2（III）.

解 設線段AC上存在點E，使ED與平面BCD

3.2 利用共面關系解決問題

例5 （2009年高考浙江卷·理20）如圖10，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16.PA=PC=10.

（I）設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE;

（n）證明：在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM上平面BOE，并求點M到OB，OA的距離.

證明（I）如圖II，連結(jié)OP，∵平面PAC⊥平面ABC，O為AC的中點，∴PO上平面ABC，以O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則0（0，o，o），A（O，一8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F(xiàn)（4，0，3），由題意得G（O，4，0），因OB=（8，0，0），OE=（o，-4，3），因此平面BOE的法向量n=（o，3，4），F(xiàn)G：（-4，4，-3），∴n.FG=O.又直線FG∈平面BOE，故FG//平面BOE.

（Ⅱ）設點M坐標為（xo，Yo，0），則FM=（xo-4，Yo-3），因為FM⊥平面BOE，所以FM//n，因此平面直角坐標系xOy中，AABO的內(nèi)部區(qū)域滿足不等組，故在AABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，

4 利用待定系數(shù)法解決體積問題

體積問題，利用幾何法求高，常需要確定射影位置，這往往增加解題難度，采用空間向量待定系數(shù)法確定點的坐標，可以輕松解決問題.

例6 在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BAC=90°，BC1角，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

解 以A為原點建立如圖12所示的空間直角坐標系，由已知得A（O，0，0），B（O，2，0），C（2，0，0），

設A（x，y，z），AA1= CC1，

∴Cl（x+2，y，z），

BC1= （x+2，y-2，z），

由BC1⊥AC，

∴BC1.AC=O，則x=一2①，

點評 本題利用待定系數(shù)法，避免分類討論.比傳統(tǒng)幾何法簡單，對于本題的傳統(tǒng)幾何法有興趣的讀者，可以閱讀參考文獻[1].

在立體幾何中，充分利用向量解決立體幾何問題，是當今國際幾何教學的主要渠道，向量是代數(shù)與幾何溝通的橋梁，用不著挖空心思去尋找各種位置關系，也避免各種輔助線的添加，充分展示向量幾何的魅力.還有現(xiàn)成的夾角公式、距離公式、法向量計算公式、共線關系式等等，使幾何問題代數(shù)化有了保證.巧妙地應用待定系數(shù)法，能更好地發(fā)揮空間向量在立體幾何中的作用.當然，邏輯推理方法（傳統(tǒng)幾何法）與向量方法不偏不倚，“雙管齊下，擇優(yōu)而用”才是解決問題的最佳途徑.

參考文獻

[1]李雪明，陳斌，空間點的射影定位的探討[J].數(shù)學教學，2005 （9）：