例談數(shù)列中函數(shù)思想的應(yīng)用

朱水英

數(shù)列一直以來都是高考的重點內(nèi)容.數(shù)列這一塊內(nèi)容的教學(xué)對于教師來說是比較有體系的，一道例題適當(dāng)改動就可以派生很多小題，什么題型對應(yīng)什么方法都是很有規(guī)律可循的，雖然教師講得起勁，但是學(xué)生掌握得并不怎么好，因為學(xué)生在接受新知識新內(nèi)容時會存在一定的困難，題型方法越多越容易混淆.所以作為教師在教學(xué)過程中不僅要交給學(xué)生解題的通法，而且最好能在學(xué)生已有的認知領(lǐng)域內(nèi)挖掘數(shù)列這一塊內(nèi)容與其它章節(jié)的關(guān)系，往往能有意想不到的效果.

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，其包含的函數(shù)思想是中學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，很多數(shù)列問題都蘊含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.因此我們在解決數(shù)列問題時，應(yīng)充分利用所學(xué)的函數(shù)知識，以它的圖象和性質(zhì)為紐帶，有效解答數(shù)列問題，本文就從數(shù)列的單調(diào)性、最值、周期性等入手揭示函數(shù)與數(shù)列間的內(nèi)在聯(lián)系，有效化解數(shù)列問題.遵循高中學(xué)生的認知規(guī)律，并依此為教學(xué)出發(fā)點，有助于激發(fā)學(xué)生的認知興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

先看一個問題“已知數(shù)列{an}的通項an=n2-5n+4，（l）求a6;（2）數(shù)列中有多少負數(shù)項;（3）當(dāng)n為何值時，an有最小值.”這是數(shù)列中的一個基礎(chǔ)題，對于很多學(xué)生來說都會做，但是仔細推敲就會發(fā)現(xiàn)此題包含了很多的函數(shù)知識.其實數(shù)列的通項就是一個函數(shù)解析式，第一小題求an就是求自變量為6時的函數(shù)值;第二小題有多少負數(shù)項就是己知函數(shù)值為負數(shù)求自變量值;第三小題就是函數(shù)的最值問題，只不過數(shù)列這種函數(shù)的特殊之處在于其是以N+或其有限子集作為定義域的一類特殊函數(shù).既然數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那它就會具有函數(shù)的一些固有特征，利用函數(shù)的單調(diào)性、周期性、數(shù)形結(jié)合等函數(shù)思想在解數(shù)列問題中就起到了舉足輕重的作用.而函數(shù)這塊內(nèi)容在高一上學(xué)期學(xué)習(xí)，數(shù)列在高一下學(xué)期學(xué)習(xí)，從認知體系上更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教授.

1 數(shù)列的單調(diào)性

案例1 已知數(shù)列{an}的通項an=n2+kn，且對任意正整數(shù)n，an+1>a恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

分析 方法1對任意正整數(shù)，z，an+1>an恒成立，即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.若構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=X2

+kx，則函數(shù)f（x）在定義域{x|x>l，z∈N+}上為遞增

方法2 對任意正整數(shù)，z，an+1>an恒成立，即an+1-an>0對于一切，z∈N+恒成立，即（n+1）2+k（n+1）一n2-kn=2n+l+k>0對一切，z∈N+恒成立，設(shè)f（n）=2n+l+k，則只需f（n）的最小值大于o即可，顯然f（n）有最小值f（1）=3+k，所以3+k>0的取值范圍是k>一3.

小結(jié) 案例1的第一種解法就是從學(xué)生已有的認知領(lǐng)域內(nèi)入手，將問題轉(zhuǎn)化為“若函數(shù)f（x）=X2+kx為遞增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍”，將數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的單調(diào)性，但學(xué)生在解答時容易出錯的地方就是認為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[1，+co），函數(shù)f（x）為定義域{xlx>l，x∈N+}，其圖象是一個個孤立點，這也是數(shù)列作為函數(shù)的特殊之處.第二種方法是研究數(shù)列單調(diào)性的一種非常基本的方法，通過作差an+1-a轉(zhuǎn)化為恒成立問題，最后用數(shù)列實際上還是用函數(shù)的最值問題來解決.

2 數(shù)列的最值

{an}的最大項和最小項.

分析 求數(shù)列的最值常用的方法是研究數(shù)列{an}的單調(diào)性.

方法1

所以最小項在a4和a5中找，

最大項在a1和a10中找.

小結(jié) 數(shù)列的最值問題是數(shù)列中的常見題型，在學(xué)生已有的認知角度來看它就是求函數(shù)的最值，而函數(shù)的最值一般是從函數(shù)單調(diào)性入手，所以自然而然就想到通過構(gòu)造函數(shù)的方法來考慮單調(diào)性，即方法1的思路，充分體現(xiàn)了特殊函數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用，但是學(xué)生構(gòu)造了對勾函數(shù)后最想用基本不等式求最值，究其原因就是忽略了函數(shù)的定義域，沒有考慮等號是否取得到.而方法2是研究數(shù)列單調(diào)性的常見思路，類比于作差比較（an+1-an與0），還有作商求此數(shù)列的最大項和最小項.

分析 此題型與案例2類似，上述的三種方法在此題中都能用，但方法2與方法3運算量較大，運的圖象，很快就知道此數(shù)列的最大項為a10和最小項為a9.筆者用了此法講解完本題后學(xué)生都很激動，都覺得這個方法好多了，深刻體會到數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，其函數(shù)思想的有效應(yīng)用大大簡化了計算量，降低了題目的難度.

以函數(shù)圖象為工具，直觀簡化數(shù)列問題，觀察圖象得出最值，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題的捷徑，體會數(shù)列的特殊性，提供更大的創(chuàng)新空間.函數(shù)圖像是函數(shù)特征的直觀體現(xiàn)，利用圖象解決數(shù)學(xué)問題（以形助數(shù)）是我們在解決問題中經(jīng)常采用的手段.在數(shù)列中，我們可以利用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式

及等比數(shù)列的通項公式中展示的圖象關(guān)系來解決問題，常常會起到意想不到的效果.

3 函數(shù)圖象在數(shù)列中的應(yīng)用

案例3 等差數(shù)列{an}中，a1>o，前n項和為sn，且S9>0，S10<0，則n為何值時，sn最大？

分析 方法1本題的一般解法是利用等差數(shù)列為正，第6項開始為負，故當(dāng)n=5時，sn最大.

方法2此構(gòu)造函數(shù)的圖象是過原點的拋物線.由題意可知該數(shù)列公差小于0，所以開口向下，由S9>0，S10<0得拋物線與x軸的另一交點橫坐標(biāo)在（9，10）內(nèi)，以當(dāng)n=5時，sn最大.

小結(jié) 由此可見利用函數(shù)圖象，解法直觀，一目了然.為學(xué)生配套一個練習(xí)：等差數(shù)列{an}中，a1=25，前n項和為sn，若S9=S17，n為何值時sn最大？相信學(xué)生很快就會學(xué)以致用，充分體會到數(shù)列中函數(shù)思想的重要性.因為結(jié)合己學(xué)的基本初等函數(shù)的知識，發(fā)現(xiàn)等差、等比數(shù)列的通項公式及求前n項和公式的形式與一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)存在一定的聯(lián)系，所以學(xué)生運用這些函數(shù)的圖象就能直觀有效地解決某些數(shù)列問題.以學(xué)生現(xiàn)有的認知水平為依據(jù)，不斷補充和完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，才能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

4 數(shù)列的周期性

案例4 已知數(shù)列{an}中，a1=l，a2=5，an+2=an+l-an（n∈N+），則a2008=____.

分析 此類題型一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，一般采取的方法是先求出數(shù)列的通項公式，再求出要求的項.但是此題求通項公式對于很多學(xué)生都有難度，轉(zhuǎn)而利用數(shù)列周期性，并采用例舉一歸納一猜想的方法.由a1=1，a2=5，依次得出a3=4，a4=一1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，所以數(shù)列{an}是以6為最小正周期的循環(huán)數(shù)列，a2008=a334×6+4=a4=-1.周期為6的完整推導(dǎo)過程：由an+2=an+1-a1得an+3=an+2-an+1=（an+1-an）-an+1=-an，利用函數(shù)周期性公式f（x+T）=一f（x），則函數(shù)f（x）的周期為2T，從而數(shù)列{an}的周期6.

小結(jié) 對于學(xué)生來說做對這個填空題不是問題，因為憑借學(xué)生已有的認知能力要做這題首先應(yīng)該知道周期.當(dāng)然周期6的由來可能基本是根據(jù)例舉一歸納—猜想的方法得到，而講清其推導(dǎo)過程筆者覺得還是很有必要的，使學(xué)生能深刻體會到每個結(jié)果的由來都是有根據(jù)的，有助于培養(yǎng)學(xué)生解題的嚴(yán)密性.

5 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用

從2015年浙江高考數(shù)學(xué)參考試卷看，無論文科還是理科都是在求數(shù)列通項及數(shù)列求和的常規(guī)問題基礎(chǔ)上，考察了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，主要包括解不等式、證明不等式、不等式恒成立問題.解決數(shù)列不等式的恒成立問題時函數(shù)思想應(yīng)用是非常突出的，

案例5 已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n，若bn=an.log2an，且sn是{bn}的前n項和，對任意正整數(shù)n，（n+m）.an+1

解 由an=2n得bn=n.2n，

可由錯位相減法（過程略）得：

sn=（n-l）·2n+1+2，

不等式（n+m）·an+1

（n+m）·2n+1<（n-1）-2n+l+2，

即m.2n+1<2—2n+l，

當(dāng)n→+∞時f（n）→一1，

所以f（n）>一1，所以m≤一1.

小結(jié) 在學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)中，解決恒成立問題最常見的思路就是分離變量法，所以數(shù)列恒成立問題一般解題思路與步驟如下：

（l）分離變量，往往將問題轉(zhuǎn)化為a≥f（n）恒

（2）研究f（n）的單調(diào)性.

（3）根據(jù)f（n）的單調(diào)性求出最值，得到參數(shù)范圍.

其中研究數(shù)列單調(diào)性的常見思路前文已有介紹，但是能利用對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性來考慮數(shù)列的單調(diào)性的方法更為簡潔，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在解數(shù)列問題中起到了舉足輕重的作用.作為一名高中數(shù)學(xué)教師不僅要教會學(xué)生如何解題，更要教會學(xué)生解題的思想方法，這樣才能讓學(xué)生舉一反三，提高學(xué)習(xí)的效率.

當(dāng)然數(shù)列作為一種特殊函數(shù)是有其特殊之處的，一是其是以N+或其有限子集作為定義域的一類特殊函數(shù)，學(xué)生經(jīng)常容易忽略，從而出現(xiàn)會做但答案不正確的現(xiàn)象;二是如案例5中出現(xiàn)的極限的知識，當(dāng)n→+oo時，f（n）-→1，學(xué)生聽了有似懂非懂的感覺，對于這個一1到底能否取到不確定，從而答案不夠完整.在函數(shù)、數(shù)列的教學(xué)過程中，極限的思想或多或少都有出現(xiàn)，對于極限這塊內(nèi)容怎么處理，老師們也有不同的看法，有些老師認為既然高中數(shù)學(xué)已經(jīng)刪掉這塊內(nèi)容就不要提出這個概念了.但筆者認為高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)從學(xué)生終身發(fā)展需要（尤其是大學(xué)教育的需要）的角度出發(fā)，以高觀點的視角去審視初等數(shù)學(xué)，才能全方位把握高中數(shù)學(xué)內(nèi)容.就如本文用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，就是讓學(xué)生體會函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)內(nèi)容是相互串聯(lián)的，它們是自成一體的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是一個不斷發(fā)展和完善數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程.

參考文獻

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