在模型化思想下用角度關系處理立體幾何問題

余亮

高中立體幾何的基礎是點、線、面位置關系和空間幾何體結構.立體幾何中外接球、異面直線夾角等問題常常通過將幾何體補全成長方體、平行六面體、“三節(jié)棍”等模型來解決.反之，我們也能從長方體、平行六面體等模型中一部分來得到角的數(shù)量等價關系，再通過模型化思想和角的等價關系式來解決立體幾何中角的問題.首先給出兩個引例.

引例1如圖l，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，則有：

（1）cos∠C1AB=cos∠C1AC·cos∠CAB①;

（2） sin∠CAC1=sin∠CiAB·sin∠CBC1②.

證明在Rt△ABC1，Rt△ABC，Rt△BCC1，Rt△ACC1中，

所以cos∠C1AB=cos∠C1AC·cos∠CAB，

sin∠C1AC=sin∠C1AB·sin∠CBC1.

不難發(fā)現(xiàn)引例中∠C1AC為C1A與平面ABCD所成線面角，∠CBC1為二面角C-AB-C1的平面角.

引例2 如圖2，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設二面角B-AA1-D的平面角為θ，則有cosθ

證明 分別過點B，D向棱AA1作垂線，垂足分別

引例l和引例2的三個結論為相關問題的解決提供了模型化的結論，以下例說之.

例1 （2017年高考全國III卷理.16）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，6都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：

①當直線AB與a成60°角時，AB與6成30。角;

②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角;

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最小值為60°.

其中正確的是_________.（填寫所有正確結論的編號）

解析 平移直線a，b為相交直線，并交于點B，則構造成長方體（一部分）（如圖所示），設AB與a所成角為θl，AB與b所成角為θ2·

由結論①得cosθi=cos∠ABC·cos∠CBM，

cosθ2=cos∠ABC·cos∠CBN，

評注 （l）空間直線位置關系問題通過補形，將無形化為有形，借助長方體或平行六面體處理直線位置關系極為直觀、方便;

（2）結論①描述的本質是三余弦定理：平面口的一條斜線/與a所成角為θl，a內(nèi)的直線m與/在a上的射影/'夾角為θ2，/與m所成角為θ，則cosθ=cOsθl·COSθ2;

（3）由線面角的定義（最小角定理），易得直

例2 （2017年高考全國I卷理.18）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（I）略;

（Ⅱ）若PA=PD=AB DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

（Ⅱ）解以BA，BP，BC為邊構造平行六面體（如圖所示），不難得到△PAB為等腰直角三形，△PBC為等邊三角形;底面四邊形ABCD為矩形，

則∠PBA=45°，∠PBC=60°，∠ABC=90°;

設二面角由A-BP-C平面角為θ，

由結論③有cosθ

評注 （l）長方體與平行六面體構造方式一樣，都是以三邊來構造四棱柱;

（2）結論③描述的本質是三面角三余弦定理：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所對面角的余弦減去另兩個面角的余弦之積，再除以這兩個面角的正弦之積.

例4 （2017年高考全國II卷理.19）如圖7，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直90°，E是PD的中點.

（I）略;（Ⅱ）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值.

解 以BM為長方體體對角線，BC為長方體一條棱，CM為長方體一條面對角線，AB為長方體一條棱所在直線構造長方體.過程如下：取AD邊上中點O，連接PO，CO;再過點M作PO的平行線MD1交CO于點Dl;再過點D1作BC的平行線交AB于點A1（如圖8），以D1C，D1M，D1A1構造長方體A1BCD1-M1N1NM（如圖9）由結論②不難得到，∠MA1D1為二面角M-AB-D的平面角.

因為BM與底面ABCD所成角為45°，

則sin45°=sin∠MA1D1·sin∠MBA1.

評注 （l）對于模型化思想，引例不僅僅提供了角與角關系，更提供了得到線面角、二面角的方法.

（2）結論②描述的本質是三正弦定理：二面角M-AB-N的度數(shù)為a，在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為β，和平面Ⅳ所成的角為y，則siny=sina·sinβ.

參考文獻

[1]王強芳.立體幾何問題的模型化處理[J].中學數(shù)學教學參考，2006 （07）：17-19