局部對偶平坦的Matsumoto度量

葉 聞，耿 杰

（安徽信息工程學院 通識教育與外國語學院，安徽 蕪湖241000）

Hibert第四問題［1］研究了Rn中的開集U上的Finsler度量,使得直線具有最短路徑.定義在Rn中的開集U上的具有上述性質(zhì)的Finsler度量稱為射影平坦度量.關(guān)于射影平坦的Finsler度量目前研究的比較多,例如文［2］射影平坦的 Finsler度量，文［3］射影平坦的 Matsumoto 度量.對于對偶平坦的 Matsumoto 度量［4］,目前的結(jié)果還不是很多,具體的例子也很少.其實這類Finsler度量是幾何學在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信息幾何、超弦理論等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用的一類研究對象，所以對偶平坦的度量也引起了人們越來越多的重視.例如文［5］中給出了局部對偶平坦的Randers度量的充要條件等.本文根據(jù)局部對偶平坦Finsler度量的定義給出了這一度量為局部對偶平坦的充要條件.

1 預備知識

設(shè)F=（x,y）是開集U?Rn上的Finsler度量,如果F滿足:

則稱F是局部對偶平坦的［7-8］.

設(shè)（M,F）是n維的Finsler流形，Gi和Gαi分別是定義在F和α上的測地系數(shù).表示為：

所以有：

2 主要結(jié)論

本文主要研究了局部對偶平坦的Matsumoto度量,并得出以下結(jié)果.

3 定理的證明

首先，定理的充分性是顯然的，只需證明其必要性.先計算Matsumoto度量是局部對偶平坦時滿足的方程.將（4），（5），（6），（7）式代入，通過計算得：

將（12），（13）式用 bk縮并［9］，然后將（14），（15）式代入得：

將（16），（17）式整理后得：

將（18）×β+（19）×α 整理后得：

因為（b2α2-β2）不能整除（α2-β2）和 α2，所以存在 τ=τ（t），使得：

將（20）式整理得：

因為α2不能被β2整除，得：

由（22）式得：

所以 θ=θkyk是 α 的射影因子.由（4），（24）式得：

將（26）式代入（23）式得：

將（22），（27）代入（21）式得：

整理得：

因為 2θβ-τβ2=0 不能整除 α2，所以：

解得：