半序概率度量空間中混合單調(diào)算子的耦合不動點定理

朱奮秀

(湖北經(jīng)濟學(xué)院法商學(xué)院， 湖北 武漢 430205)

1 引言與預(yù)備知識

近年來，半序方法成為研究非線性算子不動點問題主要的方法，然而在概率度量空間中利用半序方法研究混合單調(diào)算子不動點問題的文獻較少.1976 年，Caristi J 利用泛函在度量空間中引入了一個半序并得到幾個不動點定理；文獻[4]在概率度量空間中引入半序，討論了序壓縮算子的不動點理；文獻[5]討論了在半序概率度量空間中的一類增算子的不動點定理，并得到一類非線性算子方程的可解性理論；文獻[6]討論了概率度量空間中序壓縮算子對的重合點定理；文獻[7]討論了在半序概率度量空間中滿足一定條件的形如Lx ＝N(x，x)，一類非線性算子方程的可解性問題. 下面將在概率度量空間中引入半序關(guān)系研究一類混合單調(diào)算子，在滿足兩點壓縮和拉伸條件下，得到算子的耦合不動點的存在性.

一些關(guān)于半序概率度量空間的基本概念和記號見文獻[2 -15].

設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger 概率度量空間，且t-范數(shù)Δ 滿足Δ(t，t)≥t，φ:E→R 為泛函，定義E 上的″≤″為，對任意的x，y∈E，x ≤y??ε ＞φ(x) -φ(y)，?λ＞0，都有Fx，y(ε) ＞1 -λ，可以驗證″≤″為(E，F(xiàn)，Δ)上的半序關(guān)系，稱此關(guān)系為由φ 導(dǎo)出的半序.

設(shè) x0， y0∈E 且 x0≤y0， 稱[ x0， y0] ＝為序區(qū)間

定義1 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger 概率度量空間，其中的半序由泛函φ 所導(dǎo)出，設(shè)算子A:E ×E→E，若對任意的x1，x2，y1，y2∈E，當(dāng)x1≤x2，y2≤y1時，有A(x1，y1)≤A(x2，y2)，則稱A 為混合單調(diào)算子.

引理1[3]設(shè)″≤″是概率度量空間(E，F(xiàn)，Δ)上由φ 導(dǎo)出的半序，若x ≤y，則φ(x)≥φ(y).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger 概率度量空間，且t-范數(shù)連續(xù)且滿足Δ(t，t)≥t，φ:E→R 為連續(xù)泛函，″≤″是由φ 導(dǎo)出的半序.設(shè)x0，y0∈E，x0≤y0，D ＝[x0，y0].又設(shè)A:D ×D→E 是關(guān)于″≤″的混合單調(diào)算子，且x0≤A(x0，y0)，A(y0，x0)≤y0. 則算子A 存在耦合不動點，使得

證明 設(shè)C ＝{(x，y)∈D ×D:x0≤x ≤A(x，y)，A(y，x)≤y ≤y0}，顯然(x0，y0)∈C，于是C 為非空集合，在C 上定義關(guān)系如下:

易證(C，?)為半序空間，下面證明(C，?)有極大元.令{(xμ，yμ)}μ∈J是(C，?)的任一全序子集，其中J 為定向集，即μ，ν∈J，μ ≤ν 當(dāng)且僅當(dāng)(xμ，yμ)?(xν，yν).

對任意μ，ν∈J，μ ≤ν，有xμ≤xν≤y0，x0≤yν≤yμ，因此可證

φ(xμ)≥φ(xν)≥φ(y0)，φ(yμ)≤φ(yν)≤φ(x0)，{φ(xμ)}μ∈J，{φ(yμ)}μ∈J是R 中的單調(diào)有界網(wǎng)，從而{φ(xμ)}μ∈J，{φ(yμ)}μ∈J收斂.

因{φ(xμ)}μ∈J收斂，故對?ε ＞0，?N，對任意的N ≤μ ≤ν 有φ(xμ) -φ(xν) ＜ε/2，又由xu≤xv，都有?λ ＞0，F(xiàn)xν，xμ(ε/2) ＞1 -λ，即 xμ{ }μ∈J是E 中的τ -Cauchy 列，由Menger 概率度量空間的完備性，設(shè){ xμ}μ∈J收斂于x?，對任意固定的μ∈J.因此有對ε ＞0，當(dāng)ν≥μ 時有

又由φ 連續(xù)性limv(φ(xμ) -φ(xν)) ＝φ(xμ) -φ(x?) ＜ε/2 ＜ε，對λ ＞0 都有

從而有xμ≤x?，?μ∈J.同理可證 yμ{ }μ∈J收斂于y?，且有y?≤yμ，?μ∈J.

顯然x0≤xμ≤x?≤y0，x0≤y?≤yμ≤y0，由算子A 的混合單調(diào)性有

由xμ≤A(x?，y?)??ε ＞＞φ(xμ) -

又由φ 連續(xù)性，limμ(φ(xμ) -φ(A(x?，y?))) ＝φ(x?) -φ(A(x?，y?)) ＜ε/2 ＜ε.

由Menger 的廣義三角不等式得

從而有x?≤A(x?，y?)，同理可證A(y?，x?)≤y?，所以(x?，y?)∈C，且(xμ，yμ)?(x?，y?)，?μ∈J，因此(x?，y?)是{(xμ，yμ)}μ∈J是一個上界，應(yīng)用zorn 引理，(C，?)有極大元∈C，下面證明(A

注1:定理1 與其他相關(guān)文獻相比，在概率度量空間中引入混合單調(diào)算子，并在兩點壓縮條件下證明了其耦合不動點定理.

下面將證明在半序概率度量空間中，混合單調(diào)算子在兩點拉伸條件A(x0，y0)≤x0，y0≤A(y0，x0)下的耦合不動點定理.證明方法仿定理1.

定理2 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger 概率度量空間，且t-范數(shù)連續(xù)且滿足Δ(t，t)≥t，φ:E→R 為連續(xù)有界泛函，″≤″是由φ 導(dǎo)出的半序.設(shè)x0，y0∈E，x0＜y0，D ＝[x0，y0].又設(shè)A:D ×D→E 是關(guān)于″≤″的混合單調(diào)算子，且A(x0，y0)≤x0，y0≤A(y0，x0). 則算子A 存在耦合不動點，使得

證明 仿定理1 證明設(shè)C ＝{(x，y)∈D × D:A(x，y)≤x ≤x0，y0≤y ≤A(y，x)}，顯然(x0，y0)∈C，于是C 非空，在C 上定義關(guān)系如下:

易證(C，?)成半序空間，下面證明(C，?)有極大元.令{(xμ，yμ)}μ∈J是(C，?)的任一全序子集，其中J 為定向集，即μ，ν∈J，μ ≤ν 當(dāng)且僅當(dāng)(xμ，yμ)?(xν，yν).

對任意μ，ν∈J，μ ≤ν，有xν≤xμ≤x0，y0≤yμ≤yν，因此有

φ(xν)≥φ(xμ)≥φ(x0)，φ(y0)≥φ(yμ)≥φ(yν).

又φ 有界，故{φ(xμ)}μ∈J，{φ(yμ)}μ∈J是R 中的單調(diào)有界網(wǎng)，從而{φ(xμ)}μ∈J，{φ(yμ)}μ∈J收斂，仿定理1 可證 xμ{ }收斂于x?， yμ{ }收斂于y?，且x?≤xμ≤x0，y0≤yμ≤y?，

由算子A 的混合單調(diào)性有

又由φ 連續(xù)性，limμ(φ(A(x?，y?)) -φ(xμ)) ＝φ(A(x?，y?)) -φ(x?) ＜ε/2 ＜ε.

由Menger 的廣義三角不等式得

從而有A(x?，y?)≤x?，同理可證y?≤A(y?，x?)，所以(x?，y?)∈C，且(xμ，yμ)?(x?，y?)，?μ∈J，因此(x?，y?)是{(xμ，yμ)}μ∈J是一個上界，應(yīng)用zorn 引理，(C，?)有極大元∈C，下面證明(A

由算子的混合單調(diào)性，

注2:文中定理1，定理2 在概率度量空間中通過泛函引入半序，且在兩點壓縮條件和兩點拉伸條件下，得到混合單調(diào)算子的耦合不動點定理，且與其他文獻[4 -5，7]相關(guān)結(jié)論相比弱化了算子A 的連續(xù)性，使用與構(gòu)造迭代序列完全不同的方法，證明其耦合不動點定理.