廣義泰勒中值定理中間點的一個漸近估計式

張樹義， 張芯語

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

關(guān)于中值定理“中間點”漸近性的研究開始于Azpeitja[1]和Jacobson[2]在1982 年的文章. 在這之后， 一些作者研究各種中值定理“中間點”的漸近性質(zhì)， 例如可見文獻(xiàn)[3 -20]. 文獻(xiàn)[3 -7]研究了幾種中值定理“中間點”當(dāng)區(qū)間長度趨近于無窮(x→＋∞)時的漸近性態(tài). 文獻(xiàn)[8 -14]中研究了幾種中值定理“中間點”當(dāng)區(qū)間長度趨近零時的漸近性質(zhì). 最近文獻(xiàn)[15 -20]研究了包括廣義泰勒中值定理在內(nèi)的幾種中值定理“中間點函數(shù)”的一階可微性. 文獻(xiàn)[21]利用Taylor 中值定理“中間點”漸近性研究了方程求根的一個四階迭代算法. 該文的目的是研究廣義泰勒中值定理“中間點”當(dāng)x→＋∞時漸近性態(tài)，在一定條件下，建立廣義泰勒中值定理“中間點”當(dāng)x→＋∞時的一個新的漸近估計式， 并舉例說明給出結(jié)果的有效性和廣泛性， 從而推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[3-7]中的相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識

廣義泰勒中值定理 設(shè)f(x)與g(x)在[a，＋∞)具有直至n -1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 在(a，＋∞)內(nèi)存在n 階導(dǎo)數(shù)且gn()x( )≠0，則?x∈(a，＋∞)，存在ξ∈(a，x)，使

下面引理在后面將被用到，可見文獻(xiàn)[6].

引理2 設(shè)f ( x)在[0， ＋∞)有n ＋1 階導(dǎo)數(shù)且則(i) 當(dāng)A ＞0 時，(ii) 當(dāng)A ＜0 時其中A 為非零常數(shù)， i ＝0， 1， 2，…，n.

文獻(xiàn)[5]證明了如下結(jié)果.

定理1[5]設(shè)f(n＋p)( x)與g(n＋p)( x)在[a，＋∞)連續(xù)且又設(shè)?x∈(a，＋∞)， f(n)(x)≠0， g(n)(x)≠0， 則廣義泰勒中值定理中的“中間點”ξ∈(a，x)，有漸近估計式

其中A，B 為非零常數(shù)， p，q 為正整數(shù)且p≠q.

定理1 基本上可滿足應(yīng)用中的一般需要，但對某些函數(shù)， 定理1 還不能應(yīng)用.

例1 在[1， ＋∞)上取f(x) ＝xn＋1ln x ＋xnln x，g(x) ＝xn＋1ln x，則

由此可見p ＝q ＝2，f(x)與g(x)不滿足定理1 的條件， 故定理1 不能使用.據(jù)此如果p ＝q， 則定理1 不再成立.

對于廣義泰勒中值定理中的“中間點”， 該文給出一個新的漸近估計式如下.

2 主要結(jié)果

其中D 是非零常數(shù).

證明 首先指出定理2 的條件保證了m≠p. 事實上， 若m ＝p， 則

這與D 非零相矛盾. 故m ≠p. 其次證明當(dāng)x →＋∞時，有ξ →＋∞， 為此不妨設(shè)由引理2 有

情形Ⅰ 若m ＞p ， 則由引理1 及洛必達(dá)法則有

情形Ⅱ 若m ＜p， 則有

由(Ⅰ)式， 有

由(3)式與(4)式立得(2)式.

下面舉例說明定理2 的應(yīng)用

例2 在[1， ＋∞)上取例1 中的函數(shù)f(x) ＝xn＋1ln x ＋xnln x，g(x) ＝xn＋1ln x，則

注1 例2 表明當(dāng)x 趨近于正無窮大(x→＋∞)時， 廣義泰勒中值定理中的“中間點”ξ 趨近于區(qū)間(1， x)中的點.

3 結(jié)論

眾所周知數(shù)學(xué)分析中的中值定理只給出了“中間點”ξ∈(a，x)的存在性，并沒有指出“中間點”ξ 在區(qū)間(a，x)內(nèi)的數(shù)目，位置及求法. 通過對中值定理“中間點”漸近性的研究可以確定“中間點”ξ 在區(qū)間(a，x)內(nèi)的漸近位置， 從而為近似計算提供一種有效和比較精確的計算方法. 該文研究了廣義泰勒中值定理“中間點”當(dāng)x→＋∞時漸近性態(tài)，在x等條件下，建立廣義泰勒中值定理“中間點”當(dāng)x→＋∞時一個新的漸近性定理， 此漸近性定理與文獻(xiàn)[4 -6]一起解決了廣義泰勒中值定理“中間點”當(dāng)x→＋∞時漸近性問題. 文中還舉例說明了給出結(jié)果的有效性和廣泛性. 結(jié)果豐富了數(shù)學(xué)分析中的中值定理理論，具有實際意義.