一類矩陣不等式的進(jìn)一步加強(qiáng)

繆佩佳，倪若蘭，蔡 璐

(阿壩師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 四川 汶川 623000)

用Mn表示所有n×n 復(fù)矩陣的集合， 對于Hermite 矩陣A，B∈Mn， 偏序A≥B 表示矩陣A-B 半正定. 設(shè)v為實(shí)數(shù)， 且0 ≤v ≤1，矩陣A 和B 的v-加權(quán)幾何均值的定義如下:

設(shè)A，B∈Mn正定， Kittaneh 和Manasrah 在文獻(xiàn)[12]中證明了: 若0 ≤v ≤1，則

其中r0＝min v，1 -v{ }，s0＝max v，1 -v{ }.

隨后， 鄒黎敏在文獻(xiàn)[16]中將不等式(1)改進(jìn)為: 若0 ≤v ≤1，則

在本文中，將利用文獻(xiàn)[12] 和文獻(xiàn)[16]中的方法， 進(jìn)一步改進(jìn)不等式(2).

1 關(guān)于幾個(gè)標(biāo)量不等式的改進(jìn)

在文獻(xiàn)[10]中， Bhatia 證明了， 若0 ≤v ≤1， α v( )＝4(v-v2)， 則

首先改進(jìn)不等式(3)、(4).

定理1 設(shè)a，b≥0，0 ≤v ≤1， 則

證明 不等式(5)等價(jià)于

即證.

因此， 不等式(5)是不等式(3)的進(jìn)一步加強(qiáng).

下面， 將不等式(4)進(jìn)一步改進(jìn)為:

定理2 設(shè)a，b ＞0，d ＝max a，b( )，0 ≤v ≤1， 則

證明 由于a，b ＞0， 因此可令a ＝ex，b ＝ey(x，y∈R). 設(shè)

下面首先證明:

由雙曲函數(shù)cosh x 的泰勒級數(shù)展開式可知

因此(8)式等價(jià)于

即

于是， (9)式成立， 因而(8)式成立.

在(8)式中， 令a ＝ex，b ＝ey(x，y∈R)， 則可得

則

由(10)式和(11)式即可得， 不等式(7)成立.證畢.

并且由于1 -2v( )2≥0，4v-4 v2≥0， 因此， (7)式是(4)式的進(jìn)一步加強(qiáng).

2 主要定理及其證明

在這節(jié)中，將改進(jìn)不等式(2).

定理3 設(shè)A，B∈Mn是正定矩陣， 若0≤v≤1， 則

證明 對任意的正定矩陣T，由譜分解定理可知， 存在酉矩陣U∈Mn，使得T ＝UD U?，

其中，

對任意的正數(shù)a，由不等式(5)有

因此

其中I 為單位矩陣. 將(13)式的左右兩邊分別乘以U，U?，可得

在不等式(14)中，令

因?yàn)锳、B 是正定的， 即可得不等式(12).

定理4 設(shè)A，B∈Mn是正定矩陣， 假設(shè)B-A 正定， 若0 ≤v ≤1， 則

其中D ＝diag ( λ1…λn)，λj＞0，1 ≤j ≤n.

令式(7)中令a ＝1，對任意的正數(shù)b≥0， 則有

其中d ＝max(1， b). 因此

其中

在上式的左右兩邊分別乘以U，U?，可得

在(16)式中，不妨設(shè)F ＝D， 則T-I 正定， 由于

其中α v( )＝4(v-v2).

證明 對任意的正定矩陣T， 由譜分解定理可知， 存在酉矩陣U∈Mn， 使得T ＝UD U?，

3 結(jié)論

該文首先對不等式(3)以及不等式(4)這兩個(gè)標(biāo)量不等式進(jìn)行了進(jìn)一步改進(jìn)， 再利用譜分解定理， 對關(guān)于矩陣A 和B 的v-加權(quán)幾何均值的上下界進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)， 得到了不等式(12)和(15)， 從而進(jìn)一步加強(qiáng)了Kittaneh 和Manasrah、鄒黎敏等學(xué)者的文獻(xiàn)中的結(jié)果.

致謝 作者衷心感謝阿壩師范學(xué)院楊仕椿教授的悉心指導(dǎo)和熱情幫助!