利用數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)“可逆思維”的研究

孫朝仁

摘要：從培養(yǎng)思維的角度看，數(shù)學(xué)實驗包括嵌入式、融入式和附加式三種普遍范式。利用這三種數(shù)學(xué)實驗范式可以有效培養(yǎng)學(xué)生的“可逆思維”，包括在因材施教中培養(yǎng)可逆思維，在學(xué)會思考中培養(yǎng)可逆思維，在問題解決中培養(yǎng)可逆思維。通過對“可逆思維”的培養(yǎng)研究有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維暢通。

關(guān)鍵詞：可逆思維;數(shù)學(xué)實驗;數(shù)學(xué)思考

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）06A-0064-04

初中數(shù)學(xué)實驗是初中階段國家數(shù)學(xué)課程的一種補充，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識、感悟數(shù)學(xué)思想和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，其內(nèi)容的選取要有利于引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，特別要有利于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。從認(rèn)知心理學(xué)看，思維包括分析、綜合、比較、抽象、概括判斷和推理等基本過程。這里既有正向思維，也有逆向思維，反映出“思維的可逆性”特征，思維的可逆性也是思維靈活性的一種表現(xiàn)。

在皮亞杰看來，思維可逆性是“指具體運算和形式運算階段兒童思維的一種基本特征”[1]。他把思維階段劃分為“前運算思維、具體運算思維和形式運算思維”三個階段。后兩個思維階段就是具體形象思維和抽象邏輯思維階段，而達(dá)到形式運算思維階段的年齡約為15歲，他得出結(jié)論：思維的可逆性“只有到具體運算思維階段才形成并發(fā)展起來”。由此可見，初中階段是培養(yǎng)學(xué)生思維可逆性的最佳時期。而數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)就是“操作—思考”，正是幫助學(xué)生在直觀操作后可以“在心理上設(shè)想一個動作的倒轉(zhuǎn)順序，而無須具體執(zhí)行這些動作”的一種有效方式。實踐研究表明，通過嵌入式、融入式和附加式數(shù)學(xué)實驗，有針對性地因材施教、數(shù)學(xué)思考和問題解決是培養(yǎng)思維可逆性的有效路徑，有助于實現(xiàn)認(rèn)知需要、獨立思考和反思意識的課程教育目標(biāo)。筆者認(rèn)為，學(xué)生的思維具有可逆性就初步形成了可逆思維。本文以“特殊四邊形”的概念教學(xué)為例，談可逆思維的培養(yǎng)。

一、利用“嵌入式”數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)可逆思維，因材施教，實現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知目標(biāo)

因材施教是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則，為中國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。因材施教意味著讓學(xué)生基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”和“思維事實”，實現(xiàn)知識的獲得和技能的形成。比如，數(shù)學(xué)實驗室、數(shù)學(xué)活動、課題學(xué)習(xí)以及研究性學(xué)習(xí)就是中觀的因材施教。當(dāng)然，讓學(xué)生在各自的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和思維事實層面，通過數(shù)學(xué)實驗得出結(jié)論，這就是一種正向思維的培養(yǎng)，而數(shù)學(xué)實驗之后判斷結(jié)論的正確性，本身就需要一種逆向思維的參與?；谶@一認(rèn)識，具有個性化特征的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)過程對于思維的培養(yǎng)是“雙向的”，也是“可逆的”。換言之，因材施教的過程也是一種思維可逆性的培養(yǎng)過程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式數(shù)學(xué)和因材施教。這里的“因材施教”包括兩個層面的含義：一方面，是學(xué)生在因材施教中獲得“應(yīng)知應(yīng)會”的可能發(fā)展，讓學(xué)生通過“動手——做數(shù)學(xué)”獲得不同層面的數(shù)學(xué)感悟或數(shù)學(xué)認(rèn)知，就是一種可能的發(fā)展;另一方面，是讓學(xué)生在因材施教中獲得“最近發(fā)展區(qū)”中的進(jìn)一步的發(fā)展可能。

“嵌入式”數(shù)學(xué)實驗是在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的同時開展思維教學(xué)，以學(xué)科知識和學(xué)科知識體系為思維技能訓(xùn)練載體，旨在以知識技能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知需要和深度理解。片段式實驗是“嵌入式”實驗的常見范式?！读x務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》（蘇科版）八年級下冊“實驗5：平分圖形的面積”，就是片斷式實驗的樣例，有助于學(xué)生領(lǐng)悟“中心對稱圖形”的本質(zhì)。嵌入式實驗表現(xiàn)在三個方面：一是在產(chǎn)生概念過程中嵌入實驗，有助于實施因材施教。比如，讓學(xué)生觀察圖片抽象出平行四邊形的形象，這就是遵循學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律的因材施教。二是在使用概念過程中嵌入實驗，落實認(rèn)知需要目標(biāo)。比如，讓學(xué)生使用一張矩形紙片折出菱形的實驗，就是通過使用概念來促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知需要。三是在解釋概念過程中嵌入實驗，落實可逆思維的培養(yǎng)。比如，通過“折紙活動”，探索“中點四邊形的形狀”的實驗，就是通過概念解釋促進(jìn)可逆思維發(fā)展的表現(xiàn)形式。

比如，在研究“特殊四邊形”概念起始課時，就是基于因材施教的原則，通過嵌入數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)學(xué)生的可逆思維。具體來說，首先是讓學(xué)生任意畫一個不規(guī)則三角形，選擇一個頂點作為旋轉(zhuǎn)中心，畫出旋轉(zhuǎn)180°后的圖形，由此判斷得到的四邊形的形狀，并要求學(xué)生說出理由;其次是讓學(xué)生任意畫一個等腰三角形和直角三角形，以等腰三角形的底邊所對的頂點或直角三角形的直角頂點作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，判斷得到的四邊形的形狀，并說明理由;再次是讓學(xué)生任意畫一個等腰直角三角形，以直角頂點為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)180°，判斷旋轉(zhuǎn)后得到的四邊形的形狀，并說明理由;最后是讓學(xué)生在經(jīng)歷上述數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)上，通過畫圖、觀察、猜想、驗證等思維活動，讓學(xué)生概括表征特殊四邊形的原始概念，進(jìn)一步理解“事實概念”。從認(rèn)知心理學(xué)說，“畫圖實驗”與“說明理由”所隱含的思維就是可逆思維，從一般到特殊的不同層次實驗有助于實施因材施教。從思維學(xué)習(xí)論看，“任意畫→旋轉(zhuǎn)變換→形狀判斷→說明理由”是嵌入實驗的有效路徑。從思想方法論看，“不規(guī)則三角形→等腰三角形+直角三角形→等腰直角三角形”的特殊到一般的思維，形成事實概念，也是一種綜合正向思維和逆向思維于一體的培養(yǎng)過程，有助于學(xué)生將認(rèn)知需要轉(zhuǎn)化為實踐行為，這就是嵌入式數(shù)學(xué)實驗實施的本體價值。

二、“融入式”數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)可逆思維，激活思維，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思考目標(biāo)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“數(shù)學(xué)思考”維度明確指出，“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法;學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和基本思維方式?！逼渲校皩嶒灐孪搿C明”是獨立思考的常見活動載體，有助于培養(yǎng)可逆思維。具體來說，猜想的過程就是一種逆向思維訓(xùn)練的過程，證明的過程是一種正向思維運行的過程，而數(shù)學(xué)實驗是由“猜想”到“證明”的路徑，所以說，數(shù)學(xué)實驗既是獨立思考的思維載體，又是學(xué)會思考的有效路徑。從學(xué)習(xí)論視角來說，數(shù)學(xué)實驗本身就是一種“學(xué)為中心”的教學(xué)實踐模式，有助于學(xué)生在獨立思考中形成可逆思維。因此，在“生本主體”行為理念下，在數(shù)學(xué)思考的參與下，“學(xué)為中心”的核心是以學(xué)生的自主參與學(xué)習(xí)為中心，鼓勵學(xué)生自己學(xué)是起點，教會學(xué)生如何學(xué)是關(guān)鍵，最終實現(xiàn)今后不教也能學(xué)的目標(biāo)[2]。就這一認(rèn)識來說，通過數(shù)學(xué)實驗領(lǐng)悟概念的發(fā)生過程，有助于學(xué)生在獨立思考中獲得一些啟示。比如，在研究“特殊四邊形”概念的過程中，基于“畫圖→概括”，讓學(xué)生在畫圖中獨立思考，在學(xué)會思考中有序畫圖，在概括中領(lǐng)悟與發(fā)現(xiàn)，這種知覺認(rèn)知行為就是一種典型的“融入式”數(shù)學(xué)實驗，有助于學(xué)生形成可逆思維。

融入式數(shù)學(xué)實驗表現(xiàn)在三個維度：一是在數(shù)學(xué)抽象中融入實驗，讓學(xué)生在“做”中建立概念表象，落實學(xué)會學(xué)習(xí)目標(biāo);二是在數(shù)學(xué)思考的過程中融入實驗，緩解學(xué)生思考的壓力，讓學(xué)生不斷地深度思考，培養(yǎng)“知其所以然”的逆向思考力;三是在概念使用模塊中融入實驗，讓數(shù)學(xué)實驗成為深度理解概念的加速器。以色列的哈帕斯認(rèn)為，思維學(xué)起步于“授之以竿”的思維技能教學(xué)，發(fā)展于“授之以餌”的思維傾向教學(xué)，回歸于“授之以漁”的知識理解教學(xué)[3]。這里，我們把“授之以竿”理解成數(shù)學(xué)實驗本身，把“授之以餌”理解成獨立思考，而“授之以漁”則可以理解成可逆思維的培養(yǎng)及其背后的學(xué)會思考目標(biāo)。因此，“授之以竿→授之以餌→授之以漁”是融入式數(shù)學(xué)實驗的基本步驟，有助于學(xué)生在“做實驗”中進(jìn)行獨立思考和學(xué)會思考。同時，思考力的發(fā)展又具有反哺融入實驗的能力。很顯然，在上述過程中，體現(xiàn)的正是思維的雙向性和可逆性。

例如，在研究“特殊四邊形”的基本性質(zhì)時，我們基于可逆思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生在融入式數(shù)學(xué)實驗活動中，獲得獨立思考和學(xué)會思考的能力。具體實驗步驟如下：首先，讓學(xué)生將“牙膏盒的頂口”剪平（去掉頭部），并進(jìn)行條件性擠壓變形，使其呈現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的不同狀態(tài)，然后將抽象出來的“特殊四邊形”分別畫出來;其次，讓學(xué)生聯(lián)結(jié)每一個特殊四邊形的對角線，在客觀驗證（度量、疊合、折疊、旋轉(zhuǎn)等）的思維環(huán)境下，給出邊、角、對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并讓學(xué)生在實驗過程中分別概括出平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì);最后，讓學(xué)生在探究特殊四邊形關(guān)系的過程中，發(fā)展可逆思維，即平行四邊形、矩形、菱形、正方形的結(jié)構(gòu)關(guān)系（平行四邊形包含矩形和菱形，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形），以及添加怎樣的條件，能使得平行四邊形成為矩形、菱形和正方形等半開放問題，實現(xiàn)學(xué)會思考等可逆思維的培養(yǎng)目標(biāo)。

融入式實驗是一種新的實驗朝向，有助于學(xué)生“看得見”思維、“看得見”思考和“看得見”能力。融入實驗不止于“看得到”，更重要的是依托于現(xiàn)在“看得到”和以前“看得到”，進(jìn)行雙向思考，促進(jìn)可逆思維能力的培養(yǎng)，這才是數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)。如果說從“牙膏盒的變形”到“特殊四邊形概念的抽象”是在數(shù)學(xué)抽象中融入實驗，那么“發(fā)現(xiàn)→概括→驗證”是在數(shù)學(xué)思考中融入實驗，而“結(jié)構(gòu)關(guān)系建立→半開放條件添加”則是在使用概念的過程中助推學(xué)生逆向思維的發(fā)展。

三、利用“附加式”數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)可逆思維，學(xué)會反思，實現(xiàn)問題解決目標(biāo)

人本主義心理學(xué)家馬斯洛認(rèn)為，“學(xué)習(xí)具有發(fā)自內(nèi)心的生長潛力，教師的任務(wù)不只是教學(xué)生知識，更重要的是為學(xué)生設(shè)置良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自行學(xué)習(xí)”[4]。這里的“良好的學(xué)習(xí)環(huán)境”包括客觀的課堂物理環(huán)境和問題驅(qū)動思維環(huán)境。只有創(chuàng)設(shè)問題“思維塊”，讓學(xué)生在問題解決中形成良好的“思維憤悱”狀態(tài)，才能發(fā)揮附加式數(shù)學(xué)實驗的教育功能，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的可逆思維。比如，探討矩形中點四邊形問題時，通過“畫圖→猜想→驗證”等活動，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生獲得實驗結(jié)論?；谶@一認(rèn)識與經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在“逆向思考”中，探討滿足什么條件的四邊形的中點四邊形是菱形。毋庸置疑，問題解決不止于解決問題，更在于給了學(xué)生創(chuàng)設(shè)提出問題的情境，讓學(xué)生有創(chuàng)造性思考的機會，這里的思考就需要具有逆向思維的能力。從這個意義上講，提出問題比解決問題更重要，提出問題是人發(fā)揮創(chuàng)造性的開始，同時提出問題又是附加式實驗的結(jié)果形態(tài)。

附加式數(shù)學(xué)實驗就是在各級各類“小結(jié)”和“反問監(jiān)控”中，讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)實驗的過程中，獲得系統(tǒng)知識的能力，實現(xiàn)“知其然、知其所以然和知其所不然”的系統(tǒng)目標(biāo)，進(jìn)而使得學(xué)生從“逆向思維”走向“元認(rèn)知”的發(fā)展?；谶@一認(rèn)識，可以說附加式實驗至少包括兩個維度的思維形態(tài)。一方面是在“反問監(jiān)控”時附加實驗，讓學(xué)生知道知識的來龍去脈;另一方面是在“結(jié)課模塊”，讓學(xué)生在反思中進(jìn)行思維實驗，形成系統(tǒng)思維?？梢哉f，所有的思維形態(tài)，都是問題解決的思維產(chǎn)物。正如《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的那樣，“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，提高實踐能力和創(chuàng)新精神;獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識;初步形成合作、評價與反思意識。”為此，進(jìn)行附加式實驗，需要做好三個層面的工作：一是讓學(xué)生在問題解決中附加實驗，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;二是在激發(fā)思維憤悱狀態(tài)中附加實驗，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力;三是在反思評價中附加實驗，實現(xiàn)知識的遷移和元認(rèn)知的進(jìn)一步發(fā)展。

例如，在研究“特殊四邊形”的形成條件時，就是基于“問題解決”，在思維的參與下，實施層級性附加實驗，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力。具體實驗步驟為：某校八（3）班幾位同學(xué)嘗試用矩形紙片ABCD（見圖1）折出常見的中心對稱圖形。基礎(chǔ)實驗：小明將矩形紙片先對折，使AB和DC重合，展開后得折痕EF，再折出四邊形ABFE和CDEF的對角線，它們的對角線分別相交于點G、H（見圖2），最后將紙片展平，判斷四邊形EGFH的形狀（菱形，判斷依據(jù)是四邊相等的四邊形是菱形等）。附加實驗1：點E、F分別為矩形紙條ABCD的邊AD、BC上的點，小華將矩形紙片沿EF翻折，使點C、D分別落在矩形外部，記為點C′、D′，F(xiàn)C′與AD交于點G，延長D′E交BC于點H（見圖3），求證：四邊形EGFH是菱形（判斷依據(jù)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）。附加實驗2：小麗將矩形紙片兩端向中間翻折，使得點A、C落在矩形內(nèi)部，分別記為點A′、C′，點B、D落在矩形外部，分別記為點B′、D′，折痕分別為EF、GH，且點H、C′、A′、F在同一條直線上（如圖4），試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！鄙鲜龅摹罢奂垖嶒灐本褪菙?shù)學(xué)與生活關(guān)聯(lián)的典型，是一種有效的附加實驗，穿插在“中心對稱圖——平行四邊形”的小結(jié)與思考模塊中，為后續(xù)提出問題做好鋪墊。如果說，基礎(chǔ)實驗是注重問題解決的話，那么附加實驗1是激活思維的有效載體，而附加實驗2則是反思評價的表現(xiàn)形式，有助于學(xué)生在做中反思，在反思中評價，在評價中培養(yǎng)思維，進(jìn)而實現(xiàn)實踐創(chuàng)新和問題解決的目標(biāo)。正如有學(xué)者所言，“有趣的思考勝過千言萬語的贊美，學(xué)習(xí)成就高的學(xué)生，并不是預(yù)期會得到贊賞，而是將學(xué)習(xí)當(dāng)成一趟有趣的發(fā)現(xiàn)之旅，不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂趣”[5]。這就是附加式數(shù)學(xué)實驗的實踐意義，能讓學(xué)生站在系統(tǒng)思維層面，發(fā)展可逆思維和創(chuàng)造性思維。

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責(zé)任編輯：趙赟