求解Rosenau-KdV-RLW方程的線性化差分算法

李佳佳，王 希，張 虹，胡勁松

(西華大學(xué)理學(xué)院， 四川 成都 610039)

本文考慮如下一類Rosenau-KdV-RLW方程[1-3]的初邊值問題：

ut-uxxt+uxxxxt+ux+uxxx+uux=0，x∈(xL，xR)，t∈(0，T]

(1)

u(x，0)=u0(x)，x∈[xL，xR]

(2)

u(xL，t)=u(xR，t)=0，uxx(xL，t)=uxx(xR，t)=0，t∈[0，T]

(3)

其中:u0(x)是一個已知的光滑函數(shù)。Rosenau-KdV方程[4-5]和Rosenau-RLW方程[6-7]經(jīng)常用于描述緊離散系統(tǒng)。方程(1)在許多工程物理領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，因此引起了眾多學(xué)者關(guān)注。但這類方程很少有解析解，因此其數(shù)值研究具有重要的理論價值和實際意義。

由于線性化差分格式在計算過程中不需要迭代，從而比較節(jié)約計算時間。文獻[8]對方程(1)提出了一個非線性守恒差分格式，但其數(shù)值計算需要迭代，耗費時間；文獻[3]對方程(1)的廣義形式進行了數(shù)值研究，本文對問題(1)—(3)提出一個新的具有二階理論精度的三層線性化差分格式，運用離散泛函分析方法，證明了該格式的收斂性和穩(wěn)定性。

1 差分格式及其可解性

對問題(1)—(3)考慮如下有限差分格式：

(4)

(5)

(6)

定理1.1若時間步長τ充分小，則差分格式(4)—(6)是唯一可解的。

證明用數(shù)學(xué)歸納法。顯然U0是由初值條件式(5)唯一確定的，再用兩層差分格式[10]計算出U1(即U0和U1是被唯一確定的)，假設(shè)Un(n≤N-1)是唯一可解的則

‖Un-1‖∞≤C，‖Un‖∞≤C

(7)

考慮方程(4)中的Un+1，有

(8)

將式(8)與Un+1作內(nèi)積，由(6)、(7)式和分部求和公式[11]及引理1.1，有

(9)

又

(10)

將式(10)代入式(9)，整理有

2 差分格式收斂性和穩(wěn)定性

差分格式(4)—(6)的截斷誤差定義如下：

(11)

由Taylor展開，可知，當(dāng)h，τ→0時，

(12)

引理2.1[10]設(shè)u0∈H2，則初邊值問題(1)—(3)的解滿足：

‖u‖L2≤C， ‖ux‖L2≤C， ‖uxx‖L2≤C， ‖u‖L∞≤C， ‖ux‖L∞≤C。

定理2.1 設(shè)u0∈H2，若時間步長τ和空間步長h充分小，則差分格式(4)—(6)的解Un以‖·‖∞收斂到初邊值問題(1)—(3)的解，且收斂階為O(τ2+h2)。

(13)

由引理2.1以及式(12)知，存在與τ和h無關(guān)的常數(shù)Cu和Cr，使得

‖un‖∞≤Cu；‖rn‖∞≤Cr(τ2+h2)，n=1，2，…，N

(14)

由初值條件(5)可得到以下估計式：

‖e0‖=0，‖U0‖∞≤Cu

(15)

再用具有二階精度的兩層差分格式[10]先計算U1，即可得到以下估計式：

(16)

這里C1為與τ和h無關(guān)的常數(shù)。

現(xiàn)在假設(shè)

(17)

其中Cl為與τ和h無關(guān)的常數(shù)。則由離散Sobolev不等式[11]和Cauchy-Schwarz不等式，有

(18)

(19)

整理得

(20)

由引理2.1以及微分中值定理，有

即

(21)

再取τ和h充分小，使

(22)

于是，由式(19)、(21)、(22)和引理1.1及Cauchy-Schwarz不等式有

(23)

(24)

(25)

將式(23)—(25)代入式(20)，整理得

(26)

將式(26)從1到n遞推求和，并整理有

(27)

又

(28)

將式(16)、(28)代入式(27)，利用離散Gronwall不等式[11]，取時間步長τ充分小以滿足：

于是有

(Cn+1)2(τ2+h2)2(n=1，2，…，N-1)

其中

顯然Cn+1為與n無關(guān)的常數(shù)。從而由歸納假設(shè)有

最后由離散Sobolev不等式[11]，有

‖en‖∞≤O(τ2+h2)，(n=1，2，…，N)

定理2.2 在定理2.1的條件下，差分格式(4)—(6)的解Un以‖·‖∞關(guān)于初值無條件穩(wěn)定。