S-Nekrasov矩陣和B-S-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題誤差界的進(jìn)一步研究

李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 云南 文山 663099)

線性互補(bǔ)問題(Lcp(M，q))廣泛應(yīng)用于雙矩陣博弈的納什均衡點(diǎn)、自由邊界問題、二次規(guī)劃、雙矩陣對(duì)策、期權(quán)定價(jià)問題等交通、經(jīng)濟(jì)和控制等領(lǐng)域[1-5]，它的模型是指求x∈Rn，滿足

x≥0，Mx+q≥0，(Mx+q)Tx=0

其中：M是實(shí)矩陣；q是實(shí)向量。

當(dāng)Lcp(M，q)中的M矩陣是主子式都為正的實(shí)矩陣(P矩陣)時(shí)，該問題不僅有唯一解，且能較容易地得到誤差界[6]。 例如，文獻(xiàn)[7]中給出了P矩陣線性互補(bǔ)的誤差界

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

(2)

2 S-Nekrasov矩陣的誤差界估計(jì)

(3)

又由引理2知

(4)

因?yàn)?/p>

(5)

(6)

(7)

則式(4)+式(7)得

應(yīng)用引理2和3，對(duì)?1≠i∈S有

(9)

即定理得證。

定理2 設(shè)M=(mij)∈Cn，n是S-Nekrasov矩陣，?≠S?N，mii>0，?i∈N，

(10)

結(jié)合以上結(jié)果有

即(10)式得證。

數(shù)值算例

3 B-S-Nekrasov矩陣的誤差界估計(jì)

本部分，研究B-S-Nekrasov矩陣的誤差界估計(jì)，在定理1和定理2的基礎(chǔ)上，得到了B-S-Nekrasov矩陣誤差界的估計(jì)式。

令M=(mij)∈Rn，n，M=B++C，

(11)

式中：B+是Z矩陣，C是非負(fù)矩陣。

引理6[16]實(shí)矩陣M=(mij)∈Rn，n稱作B-Nekrasov矩陣，若它能寫成式(11)的形式，且B+是對(duì)角元素為正的Nekrasov矩陣。

引理7[16]實(shí)矩陣M=(mij)∈Rn，n稱作B-S-Nekrasov矩陣，指的是它能寫成式(11)的形式，且B+是對(duì)角元素為正的S-Nekrasov矩陣。

引理8[16]若M是B-S-Nekrasov矩陣，則M是P矩陣。

數(shù)值算例