基于數(shù)學(xué)史視角的圓面積教學(xué)設(shè)計(jì)思考

邱鍾慧 馬德宜 柳福祥

摘? ? 要?對(duì)圓面積公式推導(dǎo)教學(xué)中出現(xiàn)的三個(gè)難點(diǎn)——怎樣剪圓、怎樣把圓轉(zhuǎn)化為基本圖形及劉徽的割圓術(shù)求面積法的理解進(jìn)行突破，可以為教師設(shè)計(jì)圓面積教學(xué)方案提供新的思路。

關(guān)鍵詞 圓面積 數(shù)學(xué)史 轉(zhuǎn)化 割圓術(shù)

一、問(wèn)題的提出

圓的面積不同于矩形面積，這一內(nèi)容的難點(diǎn)是怎樣使學(xué)生明白它的公式推導(dǎo)過(guò)程。學(xué)生知道了圓的周長(zhǎng)公式，那圓的面積怎樣計(jì)算呢？圓不是規(guī)則圖形，學(xué)生只接觸過(guò)規(guī)則的平面圖形，求曲線圖形的面積，他們會(huì)無(wú)從下手，教師讓學(xué)生仔細(xì)想想：能把圓分割后拼成別的圖形嗎？由此引起學(xué)生的思考。轉(zhuǎn)化是解決幾何圖形面積問(wèn)題的利器之一，極限思想在其過(guò)程中是必不可少的，這兩種思想是本節(jié)課的難點(diǎn)。課前，教師先讓學(xué)生猜一猜：圓的面積是與直徑有關(guān)，還是與半徑有關(guān)？周長(zhǎng)呢？然后引導(dǎo)學(xué)生用格子數(shù)，再考驗(yàn)學(xué)生的眼力，圓內(nèi)接正方形，它和圓的面積會(huì)有聯(lián)系嗎？圓外切正方形，它和圓的面積會(huì)有聯(lián)系嗎？最后教師引導(dǎo)學(xué)生剪一剪、拼一拼，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？沿什么剪？怎樣拼？怎樣理解劉徽的割圓術(shù)？教師可以從以上一系列問(wèn)題，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)。

二、圓的面積的教學(xué)難點(diǎn)及對(duì)策

把數(shù)學(xué)史融入課堂，能向?qū)W生清楚地闡述數(shù)學(xué)的歷史，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。但是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史并未得到教師的重視，他們忽略了數(shù)學(xué)史的人文價(jià)值。

本文找到了關(guān)于圓面積的史學(xué)知識(shí)，并結(jié)合學(xué)生在圓面積教學(xué)中的難點(diǎn)，為教師提供關(guān)于數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)參考，使數(shù)學(xué)史的魅力真正展現(xiàn)出來(lái)。

難點(diǎn)1：怎樣剪圓

在教學(xué)開始時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)格子的方法來(lái)猜一猜圓面積，但是數(shù)格子并不能準(zhǔn)確地算出圓的面積，所以教師應(yīng)該用更好的教學(xué)方法來(lái)推導(dǎo)圓的面積計(jì)算方法。

德國(guó)數(shù)學(xué)家開普勒為圓面積的計(jì)算提供了很好的分割方法。他認(rèn)為可以模仿切西瓜，將圓分為n個(gè)相等的小扇形[1]。古人認(rèn)為將圓剪成相似的六邊形是一個(gè)好辦法，但是開普勒覺(jué)得剪成六邊形不能準(zhǔn)確地求出圓面積，所以他將圓分成無(wú)數(shù)個(gè)扇形，最后圓變成了直線圖形。

在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)里，添加學(xué)生手工制作環(huán)節(jié)的時(shí)候，考慮到學(xué)生可能對(duì)裁剪圓這個(gè)環(huán)節(jié)無(wú)從下手，教師可以給他們講講開普勒切西瓜的故事，這對(duì)他們?cè)鯓蛹魣A會(huì)有所啟發(fā)。學(xué)生會(huì)把圓分成6個(gè)扇形、8個(gè)扇形、16個(gè)扇形、32個(gè)扇形……在剪的過(guò)程，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷古代數(shù)學(xué)家遇到的問(wèn)題，也就是說(shuō)學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程將會(huì)重現(xiàn)數(shù)學(xué)史發(fā)展的過(guò)程。

難點(diǎn)2：怎樣把圓轉(zhuǎn)化為基本圖形

先剪再拼就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。學(xué)生看到平行四邊形就會(huì)聯(lián)想到割補(bǔ)平移法，把它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，由此得出平行四邊形面積計(jì)算公式。教師鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手剪開圓，接著就會(huì)思考如何把小扇形拼成其他圖形。

第一種拼法（圖1）：剪成16個(gè)近似的三角形，拼成平行四邊形，分析平行四邊形與圓的關(guān)系，這樣就能得出圓面積公式。

第二種拼法（圖2）：剪成16個(gè)近似的三角形，拼成長(zhǎng)方形，這樣也能推出圓的面積公式。

以上兩種拼法都用了轉(zhuǎn)化這種數(shù)學(xué)思想，將圓先剪再拼。教師在講解轉(zhuǎn)化思想的時(shí)候，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：把一個(gè)圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形。雖然圓的外表變了，但面積沒(méi)變。不管學(xué)生怎樣拼合小扇形，圓的面積一直不變，這就是出入相補(bǔ)原理。出入相補(bǔ)原理，可以理解為：如果把平面圖形剪成n份，那么把n份圖形的面積加起來(lái)，結(jié)果和該圖形的面積相等。所以不管圖形移到什么位置，經(jīng)過(guò)怎樣的裁剪，拼合得到的圖形面積都會(huì)和原圖的面積相等[2]。

難點(diǎn)3：劉徽的割圓術(shù)求面積法

前面已經(jīng)學(xué)過(guò)圓的周長(zhǎng)公式，學(xué)生對(duì)劉徽的割圓術(shù)已經(jīng)有一定的了解，下一節(jié)課“圓的面積”也會(huì)用到割圓術(shù)，學(xué)生對(duì)割圓術(shù)不再陌生。大數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)：圓內(nèi)接正多邊形，它的邊數(shù)不停地增加，正多邊形的面積與圓的面積的誤差會(huì)逐漸減少。

劉徽的割圓術(shù)求面積法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是很難的，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)有必要介紹劉徽的割圓術(shù)求面積法的具體內(nèi)容。首先介紹劉徽怎樣定義“余徑”、余徑與正多邊形有什么聯(lián)系。在《九章算術(shù)》里，劉徽[3]指出：“觚面之外，猶有余徑。以面乘余徑，則冪出觚表?！彼^“余徑”，是指分隔線的邊外部分。在圖3中，余徑EF是圓半徑在圓與內(nèi)接正多邊形之間的一段。余徑EF和內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)AB相乘，就能求出四邊形ACBD的面積，算出它的面積與圓內(nèi)接正六邊形的和，圓的面積就比它的面積小。

最后，教師要介紹劉徽是怎樣把正多邊形與圓聯(lián)系在一起的，怎樣找出圓的面積范圍。圖4是圓內(nèi)接正六邊形，假設(shè)多邊形有n條邊，則S6是正六邊形的面積，S12是正十二邊形的面積，計(jì)算過(guò)程為：

則：正十二邊形面積為6·SAFBO，而四邊形AFBO的面積是三角形ABO的面積加上三角形ABF的面積得來(lái)的。

SAFBO=SABO+SABF

S12=6SAFBO

∴正十二邊形面積<圓面積

在圖4中，小長(zhǎng)方形的圓外邊界構(gòu)成一條包圍圓周的曲線，稱作“破缺”的外切正多邊形[3]。

“破缺”的外切正多邊形的面積為四邊形ACBD的面積加上三角形ABO的和的6倍，即：

SACDB=EF·AB

破缺外切正多邊形面積=6（SACDB+SABO）

∴正十二邊形面積<圓面積<破缺外切正多邊形面積

六年級(jí)學(xué)生可以依靠學(xué)過(guò)的三角形、矩形面積公式來(lái)求出圓的面積范圍。正12邊形的面積與圓的面積相比仍然存在誤差，因此，還要繼續(xù)增加多邊形的邊數(shù)，這是一個(gè)無(wú)窮的過(guò)程。

這個(gè)過(guò)程計(jì)算量很大，教師要嘗試輔導(dǎo)學(xué)生計(jì)算正12邊形和破缺外切多邊形的面積，重要的是讓他們領(lǐng)悟“無(wú)限逼近”這個(gè)思想的含義。

劉徽用割圓術(shù)的目的就是推出圓的面積范圍，這種方法是把不知道的圓的面積夾在兩個(gè)已知的圖形面積之間，不停地增加正多邊形的邊數(shù)，使兩個(gè)已知的圖形面積與圓面積的誤差逐漸減少，即左右?jiàn)A逼?？偟膩?lái)說(shuō)，劉徽把“未知”變?yōu)椤耙阎保选盁o(wú)限”變?yōu)椤坝邢蕖?，很好地運(yùn)用了極限思想來(lái)解決問(wèn)題。

三、教學(xué)上進(jìn)一步反思

如果教師能完美地把數(shù)學(xué)史融入課堂，那么學(xué)生的認(rèn)知障礙將被打破，數(shù)學(xué)史料也將在實(shí)踐層面得到較好的發(fā)展。當(dāng)教師介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的偉大成就時(shí)，學(xué)生可能很享受這堂課的學(xué)習(xí)過(guò)程，可能會(huì)因?yàn)樽约旱那笾^(guò)程與大數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷很相似而感到驚喜和自豪。教師帶學(xué)生進(jìn)入劉徽割圓術(shù)的世界之后，引起學(xué)生更深入的思考：圓的剪拼還有其他方案嗎？

其實(shí)，圓的面積公式推導(dǎo)的方法不止前面的兩種。國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)教科書中有六個(gè)版本，浙教版的數(shù)學(xué)教材提到，可以把圓內(nèi)的小扇形拼成梯形、三角形。

拼法一（圖5）：剪開圓后，拼成近似的梯形，推出圓的面積公式。

拼法二（圖6）：剪開圓后，拼成三角形，推出圓的面積公式。

拼法三（圖7）：將圓平均分成16份后，不剪開，先求出1個(gè)扇形的大小，1個(gè)扇形面積近似1個(gè)三角形面積，再乘16，算出圓的面積。

考慮到學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，大部分教材選擇拼成平行四邊形和長(zhǎng)方形是因?yàn)榉椒ê?jiǎn)潔、容易理解。而后面介紹的三種拼法所推導(dǎo)的公式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較難證。圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方式有很多，但不需要每種方法都掌握。讓學(xué)生在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中感悟“無(wú)限逼近”的含義，以及轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學(xué)思想即可。

在逐一分析以上的推導(dǎo)過(guò)程后，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圓面積的轉(zhuǎn)化和極限思想有了更深刻的理解。本文分析了學(xué)生在圓面積教學(xué)中可能會(huì)遇到的難點(diǎn)，希望能為廣大教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供一種新的思路。

參考文獻(xiàn)

[1] 顧東春.開普勒與葡萄酒[J].課外生活：小學(xué)版，2007（03）.

[2] 彭剛.出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（04）.

[3] 王能超.千古絕技“割圓術(shù)”——?jiǎng)⒒盏拇笾腔郏旱?版[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]