Levy噪聲下新型勢函數(shù)的隨機(jī)共振特性分析及軸承故障檢測

賀利芳, 周熙程, 張 剛, 張?zhí)祢U

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065; 2.信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

近年來對于弱信號中的噪聲，傳統(tǒng)的處理方法有奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)和小波變換(Wavelet Transform, WT)，但是這幾種方法在信噪比極低的情況下往往是一種有害而無利的存在。因此，隨著Benzi等[1]研究古氣象冰川問題時(shí)首次提出隨機(jī)共振，隨機(jī)共振作為一種新的信號處理方法進(jìn)入了人們的視野，20世紀(jì)90年代，Collins等[2]將信息論和隨機(jī)共振相結(jié)合，提出一種非周期隨機(jī)共振理論，拓寬了隨機(jī)共振的應(yīng)用范圍。在非線性系統(tǒng)中，在一定的信噪比范圍內(nèi)，通過隨機(jī)共振系統(tǒng)把噪聲的能量轉(zhuǎn)化為微弱信號的能量，使信號能量加強(qiáng)，這種新穎的方法掀起了人們對隨機(jī)共振研究的極大熱情。

在弱信號檢測中，系統(tǒng)模型是隨機(jī)共振研究的一個(gè)重要方面，且噪聲環(huán)境大多數(shù)是高斯噪聲，然而高斯噪聲是一種理想中的噪聲，不能代表自然界非人為活動產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲，如動物噪聲、深海噪聲、氣流噪聲等等[3-4]都是非高斯噪聲，其波形有著顯著的脈沖特性和拖尾特性，為了準(zhǔn)確地模擬各個(gè)領(lǐng)域中的噪聲，近幾年噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)共振開始引起了學(xué)者們的注意，對Levy噪聲下系統(tǒng)參數(shù)誘導(dǎo)的隨機(jī)共振研究有極大的進(jìn)展。Wang等[5]研究了Levy噪聲下的FHN模型的隨機(jī)共振；Liu等[6]研究了在α噪聲下的tri-stable系統(tǒng)隨機(jī)共振特征分析；Zhang等[7]研究了欠阻尼下Pinning型勢阱的隨機(jī)共振系統(tǒng)，并將該系統(tǒng)應(yīng)用于軸承故障檢測中；孫虎兒等[8]研究了級聯(lián)分段線性隨機(jī)共振的微弱信號檢測，檢測效果優(yōu)于經(jīng)典的級聯(lián)雙穩(wěn)系統(tǒng)；王林澤等[9]提出基于隨機(jī)共振原理的分段線性模型，深入地進(jìn)行了理論分析與實(shí)驗(yàn)研究；冷永剛等[10]探討了二階線性系統(tǒng)調(diào)參共振特征信號檢測；Guo等[11]研究了在加性白噪聲和乘性非高斯噪聲下的一種新型非線性模型在隨機(jī)共振中的應(yīng)用，深入的進(jìn)行了數(shù)值分析和仿真。從上述的勢阱模型中，與研究較為成熟的CBSR系統(tǒng)相比，這些勢阱模型都具有突出的優(yōu)勢；并且通過理論分析可知，經(jīng)典的雙穩(wěn)隨機(jī)共振(CBSR)系統(tǒng)有著與生俱來的輸出飽和性[12-14]；這種特性不僅降低了系統(tǒng)對信號的增強(qiáng)能力，還限制了在噪聲環(huán)境中系統(tǒng)對信號的檢測能力，因此，在微弱信號提取和檢測中，怎樣有效的避免雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出飽和性是有必要的。

為了克服這種輸出飽和性，提出了一種新穎的分段非線性雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，并且引入了更加接近工業(yè)環(huán)境中的非高斯Levy噪聲，高斯白噪聲就是Levy噪聲在特征指數(shù)α=2的特殊形式，所以本文研究了在Levy噪聲不同α(0<α≤2)和β(-1≤β≤1)下的分段非線性勢函數(shù)(PNBSR)的隨機(jī)共振特征分析，以及系統(tǒng)參數(shù)l,c,a和b以及噪聲強(qiáng)度D對系統(tǒng)共振輸出的作用規(guī)律；并且在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中，當(dāng)機(jī)械設(shè)備中的滾動軸承發(fā)生故障時(shí)，不可避免地要受到來自其他機(jī)械設(shè)備和工作環(huán)境噪聲的干擾，故障信號往往被強(qiáng)大的噪聲所淹沒無法識別。所以近年來，廣大學(xué)者對旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷進(jìn)行了大量的研究，本文也將所提的PNBSR系統(tǒng)應(yīng)用于在CWRU軸承故障檢測中。

1 PNBSR系統(tǒng)模型和方法

1.1 隨機(jī)共振系統(tǒng)模型

在微弱周期信號和Levy噪聲共同驅(qū)動下，忽略慣性項(xiàng)的過阻尼非線性系統(tǒng)模型可以描述為：

(1)

式中：A是微弱周期信號的幅度；f是待測微弱周期信號的特征頻率；V(x)為PNBSR系統(tǒng)勢函數(shù)；D為噪聲強(qiáng)度系數(shù)；ξ(t)為非高斯Levy噪聲。Levy噪聲的介紹在1.3節(jié)給出。

1.2 PNBSR系統(tǒng)模型

(2)

式(2)中，參數(shù)l>0，c>0，a>0，b>0，參數(shù)k=2(l+a2/4b)，對勢函數(shù)V(x)求導(dǎo)，就會得到系統(tǒng)模型的勢阱力-dV(x)/dx，表達(dá)式如下

(3)

圖1 CBSR和PNBSR系統(tǒng)勢函數(shù)

圖2表示的是調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)對勢函數(shù)曲線變化的影響，由圖可知，改變l或c值時(shí)，對勢阱壁的陡峭程度影響是非常大的，并且l和c的取值越小時(shí)，勢阱壁就會越陡峭，取值越大就會越靠近勢壘；而由圖2中圓圈線和叉線可知，改變a或b值時(shí)，對雙勢阱的深淺產(chǎn)生很大的影響；例如當(dāng)b=0.4時(shí)，a的取值越小時(shí)，雙勢阱的深度就越淺，且當(dāng)a=0.9時(shí)，b的取值越大時(shí)，雙勢阱的深度就越淺，這就造成粒子躍遷所需要的能量小，系統(tǒng)就更容易產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。

圖2 不同PNBSR系統(tǒng)參數(shù)下的勢函數(shù)

為了深入的對PNBSR系統(tǒng)進(jìn)行理解分析，在理論基礎(chǔ)上做了CBSR系統(tǒng)與PNBSR系統(tǒng)的對比；我們可知CBSR系統(tǒng)有兩個(gè)勢阱和一個(gè)勢壘，同樣可知PNBSR系統(tǒng)也有兩個(gè)勢阱和一個(gè)勢壘，并且勢阱壁的陡峭程度僅僅由PNBSR系統(tǒng)參數(shù)l和c決定，也就是勢阱壁的陡峭程度隨著x的增加保持不變，此外勢壘高度也是由PNBSR系統(tǒng)參數(shù)a,b調(diào)節(jié)，以此來進(jìn)一步控制粒子躍遷的速率；通過已有的絕熱近似理論可以計(jì)算出CBSR系統(tǒng)的克萊莫斯躍遷率[15-16](逃逸率)表達(dá)式為：

(4)

(5)

化簡式(5)可得到c值：

(6)

根據(jù)等式(2)，由絕熱近似理論[17]可知，粒子運(yùn)動到x±這個(gè)狀態(tài)才能躍遷，所以平均穿越時(shí)間τ±[18]可通過等式(7)可計(jì)算出:

(7)

要求輸入信號滿足絕熱近似條件：f、A、D<<1,對等式(7)使用泰勒展開求解，并且只考慮常數(shù)項(xiàng)，式(7)就能簡化成：

(8)

由于系統(tǒng)勢函數(shù)是對稱的，躍遷時(shí)間則滿足條件：τ-=τ+，因此，PNBSR系統(tǒng)模型的逃逸率可以被計(jì)算得到：

(9)

再根據(jù)文獻(xiàn)[17,19-20]可知CBSR系統(tǒng)的輸出信噪比表達(dá)式為：

(10)

(11)

同樣為了更直觀清楚的描述PNBSR系統(tǒng)和CBSR系統(tǒng)輸出信噪比隨著噪聲強(qiáng)度D變化的規(guī)律，在同樣參數(shù)A=0.2的條件下，得到輸出信噪比隨著噪聲強(qiáng)度D變化曲線如圖3所示，由圖可知曲線的趨勢都是先增大后減小的趨勢，表明有隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生；此外，圖形上同種標(biāo)記的曲線參數(shù)a=ac和b=bc，另外令l=1，則c可通過式(6)計(jì)算得到對應(yīng)的數(shù)值；并且可以發(fā)現(xiàn)PNBSR系統(tǒng)的輸出信噪比大于CBSR系統(tǒng)的輸出信噪比，總的來說，PNBSR系統(tǒng)在軸承故障檢測中的性能好于CBSR系統(tǒng)。

圖3 不同CBSR與PNBSR系統(tǒng)參數(shù)下輸出信噪比曲線

1.3 Levy噪聲的特征函數(shù)與產(chǎn)生方法

為了完整起見，我們給出了Levy噪聲的簡單介紹，Levy噪聲又稱α噪聲，它的產(chǎn)生保持了自然噪聲的特性和傳播機(jī)制，其非高斯分布的特性與工程應(yīng)用中觀測到的數(shù)據(jù)有很好的吻合,所以本文所使用的噪聲為Levy噪聲。

Levy噪聲服從分布Lα,β(ξ,δ,μ)，其特征函數(shù)表達(dá)式為

(12)

由式(12)可知，Levy噪聲的分布由α,β,σ,μ唯一確定，其中α∈(0,2]為特征指數(shù)，它決定該分布的拖尾特性和脈沖特性。α值越小，拖尾特性越弱，脈沖特性越強(qiáng)。反之，α值越大，拖尾特性越強(qiáng)，脈沖特性越弱。當(dāng)α=2時(shí)，服從高斯分布；當(dāng)α=1且β=0時(shí)服從柯西分布。參數(shù)β∈[-1,1]是對稱參數(shù)，它與分布的對稱性關(guān)系密切。β>0時(shí)分布偏左，β<0時(shí)分布偏右；參數(shù)σ∈[0,+∞)為尺度系數(shù)，與高斯分布中的方差類似；μ∈(-∞,+∞)為位置參數(shù)，表示分布的中心位置。

Levy噪聲的隨機(jī)變量X通過Chambers-Mallows-Stuck(CMS)方法[21]產(chǎn)生，當(dāng)α≠1時(shí)，

(13)

式(13)中隨機(jī)變量V～U(-π/2,π/2)，隨機(jī)變量W～e(1)，V和W相互獨(dú)立，其中

(14)

(15)

當(dāng)α=1時(shí)，

(16)

除了上述的幾個(gè)特殊的情況外，α穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)沒有封閉的形式，只能通過數(shù)值計(jì)算來獲取近似值。

1.4 數(shù)值仿真算法

由PNBSR系統(tǒng)的隨機(jī)變量(x,t)的Fokker-Planck方程(FPE)可知其概率密度函數(shù)[22]：

(17)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于s(t)多為非線性信號,因此-?[s(t)ρ(x,t)]/?x為非線性項(xiàng)，故而該方程無精確的解析表達(dá)式，需要從已有的系統(tǒng)選取適合的數(shù)值解析方法；由于PNBSR系統(tǒng)加入了Levy噪聲，所以本文將算法與四階龍格-庫塔(Runge-Kutta)算法對(17)式的方程進(jìn)行數(shù)值仿真求解，推導(dǎo)出以下算法：

(18)

式中：un表示輸出信號第n次采樣值；h為時(shí)間步長，一般選取h=1/fs[23]；fs為數(shù)值仿真的采樣頻率；ξn表示Levy噪聲第n次采樣值；由于Levy噪聲的特征指數(shù)越小，脈沖幅值就越大，振蕩粒子跳躍的距離很可能趨向無窮大，針對這個(gè)問題，本章在數(shù)值仿真時(shí)對系統(tǒng)輸出x(n)進(jìn)行截?cái)郲24]，即當(dāng)|x(n)|>5時(shí)，令x(n)=sgn(x(n))×5。

2 性能指標(biāo)和參數(shù)尋優(yōu)

2.1 系統(tǒng)性能指標(biāo)

在眾多衡量SR系統(tǒng)性能指標(biāo)中，主要有線性響應(yīng)敏感度噪比、信噪比增益、平均能量分布等等，系統(tǒng)輸出信噪比增益的應(yīng)用最為廣泛，但是由于信噪比不固定，隨著輸入信號變化而變化，所以本文采用更能反應(yīng)SR系統(tǒng)，對輸入信噪比(SNRin)有改善作用的平均信噪比增益作為衡量指標(biāo)，平均信噪比增益定義為：

(19)

式中:MSNRI為平均信噪比增益，SNRIi第i次仿真的信噪比增益，只有當(dāng)平均信噪比增益的值大于1時(shí)，才能說明隨機(jī)共振系統(tǒng)對信號具有明顯的增強(qiáng)和改善作用。第i次仿真的信噪比增益定義為：

(20)

式中:Sin(f0)和Sout(f0)分別表示PNBSR系統(tǒng)輸入信號和輸出信號的功率；Nin(f0)和Nout(f0)分別表示PNBSR系統(tǒng)輸入和輸出噪聲功率。

2.2 自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)算法

常用的自適應(yīng)算法有多種，量子粒子群算法，人工魚群算法，遺傳算法等智能算法和遍歷法等。為探索PNBSR系統(tǒng)參數(shù)l,c,a和b對隨機(jī)共振系統(tǒng)性能的內(nèi)在規(guī)律，本節(jié)首先采用量子粒子群算法對系統(tǒng)參數(shù)l,c,a和b進(jìn)行尋優(yōu)，它能夠幫助快速找到各個(gè)參數(shù)最佳值的范圍，然后利用遍歷法傾向于深入觀察各個(gè)參數(shù)對下性能指標(biāo)的變化規(guī)律的特點(diǎn)，以平均信噪比增益MSNRI為衡量指標(biāo)進(jìn)行尋優(yōu)；以參數(shù)l和c為例(a,b同)，具體步驟如下：

(1)初始化輸入信號及Levy噪聲各項(xiàng)參數(shù)，令PNBSR系統(tǒng)參數(shù)初始值l=0.1和c=0.1，l和c的尋優(yōu)范圍都為[0.1, 2]，步長都取值為0.1；

(2)將含有噪聲的輸入信號送入到PNBSR系統(tǒng)，初始化最佳信噪比增益OMSNRI=0，l=l+0.1，c=c+0.1;

(3)根據(jù)式(20)，式(21)計(jì)算MSNRI，若MSNRI≥OMSNRI，則更新OMSNRI=MSNRI，并記錄此時(shí)的l和c；若l和c未達(dá)到邊界值2，則跳回步驟(2)；

(4)將OMSNRI對應(yīng)的一組或多組PNBSR系統(tǒng)參數(shù)l和c代入系統(tǒng)求解。

(a) MSNRI隨l和c變化的三維圖

(b) MSNRI隨a和b變化的三維圖

實(shí)驗(yàn)中取幅值A(chǔ)=0.5，頻率f=0.01 Hz；Levy噪聲各項(xiàng)參數(shù)分別為α=1，β=0，σ=1，μ=0，D=0.3；采樣頻率fs=5 Hz，取樣點(diǎn)數(shù)N=4 096；采用上述的量子粒子群算法尋優(yōu)，得到仿真結(jié)果如圖4所示。圖4(a)是MSNRI隨l和c變化的三維曲面圖，可以發(fā)現(xiàn)存在多組系統(tǒng)最佳參數(shù)對l=0.4,c=0.6；l=0.5,c=0.4；l=0.7,c=0.3等，最優(yōu)參數(shù)l和c呈負(fù)相關(guān)。當(dāng)c(或l)的取值越大時(shí)，產(chǎn)生較好隨機(jī)共振效果的l(或c)選擇范圍越??；圖4(b)是MSNRI隨a和b變化的三維曲面圖，存在多組系統(tǒng)最佳參數(shù)對a=0.4,b=0.8;a=0.6,b=0.9;a=0.8,b=1.2等，可見最優(yōu)參數(shù)a和b呈正相關(guān)。當(dāng)a(或b)的取值越大時(shí)，產(chǎn)生較好隨機(jī)共振效果的b(或a)選擇范圍越大，因此改善了傳統(tǒng)隨機(jī)系統(tǒng)由于參數(shù)選擇不當(dāng)造成隨機(jī)共振效果不佳的問題。

3 Levy噪聲環(huán)境下PNBSR系統(tǒng)弱信號檢測與參數(shù)誘導(dǎo)隨機(jī)共振現(xiàn)象

將混有Levy噪聲的輸入信號輸入到PNBSR系統(tǒng)中，這里選取PNBSR系統(tǒng)幅值A(chǔ)=0.5，系統(tǒng)參數(shù)l=0.5,c=0.5,a=0.9,b=0.4，與CBSR系統(tǒng)做了具體的仿真對比；圖5(a)表示的是含噪輸入信號的時(shí)域圖和功率譜圖，圖5(b)所示的是信號通過CBSR系統(tǒng)后的輸出信號時(shí)域圖和功率譜圖，可以發(fā)現(xiàn)通過CBSR系統(tǒng)后信號能被有效的檢測出來，圖5(c)所示的是通過PNBSR系統(tǒng)后的時(shí)域輸出信號圖與功率譜圖，與圖5(b)所示的CBSR系統(tǒng)的輸出頻譜有明顯的增大，頻譜在f=0.01 Hz處有明顯尖峰，說明此時(shí)待測弱信號的頻率已被檢測出來，實(shí)現(xiàn)了Levy噪聲環(huán)境下的弱信號檢測；并且由圖5(b)和(c)的頻譜計(jì)算出，相對于CBSR系統(tǒng)的信噪比增益(27.31 dB)，通過PNBSR系統(tǒng)后的信噪比增益(31.32 dB)有明顯的增大；這是由于CBSR系統(tǒng)輸出飽和性限制了它的增強(qiáng)能力，而PNBSR系統(tǒng)消除了這種特性，會使輸出信號的幅值成倍增強(qiáng)，使它比CBSR系統(tǒng)具有在更強(qiáng)的強(qiáng)背景噪聲下檢測信號的能力，更適合應(yīng)用在故障檢測中。

圖5 輸入信號與輸出信號時(shí)域和頻域圖

下面將深入研究Levy噪聲環(huán)境下，特征指數(shù)α，對稱參數(shù)β取值不同時(shí)，PNBSR系統(tǒng)參數(shù)l,c,a和b及噪聲強(qiáng)度系數(shù)對PNBSR系統(tǒng)輸出的作用規(guī)律。

3.1 不同特征指數(shù)下的隨機(jī)共振

3.1.1 MSNRI在不同特征指數(shù)α下隨PNBSR系統(tǒng)參數(shù)l的變化

待測微弱信號的頻率和采樣頻率不變，分別取Levy噪聲特征指數(shù)α=0.7，α=1，α=1.3，其中β=0，σ=1，μ=0，根據(jù)前文自適應(yīng)算法尋優(yōu)結(jié)果選擇參數(shù)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)；系統(tǒng)參數(shù)c=0.5，a=0.9，b=0.4，噪聲強(qiáng)度保持D=0.5不變，得到不同α下平均信噪比增益MSNRI隨l的演變曲線如圖6(a)所示；為了更詳細(xì)的分析不同α下系統(tǒng)參數(shù)l對隨機(jī)共振輸出的影響，分別研究了α>1和α<1時(shí)，MSNRI隨著參數(shù)l的變化曲線如圖6(b),(c)所示。

圖6 不同α下MSNRI隨l變換曲線

由圖6(a)可知，Levy噪聲環(huán)境下的PNBSR系統(tǒng)的MSNRI隨參數(shù)l的增長，總體上呈現(xiàn)出先增后減的變化趨勢，取值不同時(shí)產(chǎn)生隨機(jī)共振的共振峰區(qū)間大致都是一樣，且在l=0.5時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)非線性系統(tǒng)、噪聲及輸入信號三者達(dá)到了最佳匹配關(guān)系，即產(chǎn)生最佳隨機(jī)共振；并且隨著l的逐漸增大，會造成系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間過長，使得非線性系統(tǒng)、噪聲及輸入信號三者間的最佳匹配關(guān)系逐漸消失，從而導(dǎo)致MSNRI逐漸下降，不足以信號在頻譜中清晰地顯示出來；當(dāng)α>1時(shí)，通過分析圖6(b)可知，α越大，MSNRI越??；當(dāng)α<1時(shí)，由圖6(c)可知，α越小，MSNRI越小；與圖6(b)相比可知，α<1時(shí)的MSNRI整體上大于α>1時(shí)的MSNRI，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了Levy噪聲的特征指數(shù)α越小，脈沖特性越強(qiáng)這一特性；在結(jié)合圖6又可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)較好的區(qū)間不隨α的變化而變化，且都在α=1時(shí)，系統(tǒng)的MSNRI最大。

3.1.2 MSNRI在不同特征指數(shù)α下隨PNBSR系統(tǒng)參數(shù)c的變化

待測微弱信號的頻率和采樣頻率不變，系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，a=0.9，b=0.4，D=0.5不變，同樣為了直觀全面地展現(xiàn)α>1或α<1時(shí)，是否存在與上述MSNRI同樣的變化規(guī)律，也分析了α>1,α<1時(shí)MSNRI的演變曲線，得到不同α下MSNRI隨參數(shù)c的演變曲線如圖7所示；由圖7(a)可見，MSNRI都是呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，意味著存在最佳的系統(tǒng)參數(shù)c使更多的噪聲能量轉(zhuǎn)化為有用信號的能量，從而產(chǎn)生最佳的隨機(jī)共振；再由圖7(b)和(c)可知，當(dāng)α>1時(shí)，α越大，MSNRI越小；當(dāng)α<1時(shí)，α越小，MSNRI越大，而且α值越小，在c取值為0時(shí)突變產(chǎn)生的增益就越大；從整體上看，α<1時(shí)的MSNRI整體上大于α>1時(shí)的MSNRI，隨著的c增大，系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)較好的區(qū)間也不隨α變化，且都在α=1時(shí)，系統(tǒng)的MSNRI最大。

圖7 不同α下MSNRI隨c變換曲線

3.1.3 MSNRI在不同特征指數(shù)下隨PNBSR系統(tǒng)參數(shù)a和b變化

待測微弱信號的頻率和采樣頻率不變，分別取Levy噪聲特征指數(shù)α=0.7，α=1，α=1,3，其中β=0，σ=1，μ=0；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，b=0.4，噪聲強(qiáng)度保持D=0.5不變，得到不同α下平均信噪比增益MSNRI隨a的演變曲線如圖8(a)所示；從整體上看，曲線的趨勢呈現(xiàn)先急劇減小再緩慢上升到急劇下降的特點(diǎn)，但是產(chǎn)生好的隨機(jī)共振的區(qū)間不隨α變化，且會出現(xiàn)三個(gè)峰值，第一個(gè)峰值點(diǎn)范圍內(nèi)會產(chǎn)生好的隨機(jī)共振效果，后兩個(gè)峰值點(diǎn)由于a的取值太大，會造成系統(tǒng)的雙勢阱很深，粒子躍遷所需要的能量大，產(chǎn)生的隨機(jī)共振效果不佳，進(jìn)而隨著a的再增大，MSNRI會下降到零，這是由于系統(tǒng)勢阱越來越深，噪聲的能量不足夠讓有用信號發(fā)生躍遷，不會產(chǎn)生隨機(jī)共振。同樣取Levy噪聲特征指數(shù)α=0.4，α=1，α=1.5，其中β=0，σ=1，μ=0；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，a=0.9，噪聲強(qiáng)度D=0.5保持不變，得到不同下平均信噪比增益MSNRI隨b的演變曲線如圖8(b)所示；隨著系統(tǒng)參數(shù)b的增加，MSNRI均呈現(xiàn)先增加再急劇減小到平穩(wěn)下降的特點(diǎn)，且α的值對產(chǎn)生好的隨機(jī)共振區(qū)間沒有影響，整體上看，α=1時(shí)產(chǎn)生的MSNRI最大。

(a) 不同α下隨a的變化曲線

(b) 不同α下隨b的變化曲線

3.1.4 在不同特征指數(shù)下隨噪聲強(qiáng)度D的變化

待測微弱信號的頻率和采樣頻率不變，分別取Levy噪聲特征指數(shù)α=0.5，α=1，α=1.5,其中β=0，σ=1,μ=0；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，a=0.9，b=0.4;圖9為不同下MSNRI隨D的演變曲線；由圖可知，三條曲線走勢大致相同，MSNRI均呈現(xiàn)隨D先急劇增大后緩慢減小的趨勢，可以看到α越大，產(chǎn)生最佳隨機(jī)共振的峰值點(diǎn)會向右移且MSNRI會減??；再隨著D增大到最佳值然后繼續(xù)增大時(shí)，噪聲、信號和非線性系統(tǒng)三者之間的協(xié)同效應(yīng)逐漸被打破，使得MSNRI降低。

圖9 不同α下MSNRI隨D變化曲線

3.2 不同對稱參數(shù)β下的隨機(jī)共振

分別取Levy噪聲對稱參數(shù)β=-1，β=0，β=1，其中α=1，σ=1，μ=0，待測弱信號參數(shù)A=0.5，參數(shù)D=0.5不變；系統(tǒng)參數(shù)c=0.5，a=0.9，b=0.4，得到不同β下MSNRI隨l的演變曲線如圖10(a)所示；當(dāng)β取值不同時(shí)，隨著l的增大，MSNRI均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，說明存在最優(yōu)的l使系統(tǒng)產(chǎn)生較好的隨機(jī)共振；縱向?qū)Ρ瓤芍?，?dāng)β=-1和β=1時(shí)，誘導(dǎo)隨機(jī)共振的參數(shù)區(qū)間大致一樣，但共振區(qū)間向右發(fā)生偏移，且當(dāng)β=0時(shí)的MSNRI明顯大于β≠0時(shí)的MSNRI；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，a=0.9，b=0.4，不同下MSNRI隨c的演變曲線如圖 10(b)所示；由圖可知，當(dāng)β=-1和β=1時(shí)，兩條曲線幾乎重疊，但β=0時(shí)的MSNRI明顯大于β≠0時(shí)的MSNRI；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，b=0.4，不同β下MSNRI隨a的演變曲線如圖10(c)所示；由圖可知當(dāng)β=0時(shí)隨機(jī)共振區(qū)間與前文在α下的性質(zhì)是一樣的，但β≠0時(shí)參數(shù)a的選取對隨機(jī)共振的影響不大；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，a=0.9，不同β下MSNRI隨b的演變曲線如圖10(d)所示，β=0時(shí)隨機(jī)共振區(qū)間與前文α下的性質(zhì)是一樣的，并且β≠0時(shí)與β=0時(shí)的共振效果是一樣的；系統(tǒng)參數(shù)l=0.5，c=0.5，a=0.9，b=0.4，不同β下MSNRI隨噪聲強(qiáng)度D變化曲線如圖11所示；由圖可發(fā)現(xiàn)MSNRI的變化規(guī)律與不同α下的MSNRI隨D的變化規(guī)律相同，整體上曲線的變化是先增加后緩慢減小的趨勢，且β=0時(shí)的MSNRI明顯大于β≠0時(shí)的MSNRI;再次說明了噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)共振也能產(chǎn)生較好的效果。結(jié)合圖10和圖11可發(fā)現(xiàn)，β=0時(shí)系統(tǒng)的MSNRI大于β≠0時(shí)的MSNRI，這表明Levy噪聲分布對稱(即柯西分布)時(shí)，系統(tǒng)隨機(jī)共振性能好于非對稱情況。

圖10 不同β取值時(shí)MSNRI隨系統(tǒng)參數(shù)的演變曲線

圖11 不同β下MSNRI隨噪聲強(qiáng)度D變化曲線

4 CWRU實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提的PNBSR系統(tǒng)在軸承檢測故障中的可行性，并且選用CBSR系統(tǒng)對軸承故障信號的檢測效果進(jìn)行了對比。本文分別對內(nèi)圈和外圈的深溝球軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析實(shí)驗(yàn)，軸承故障數(shù)據(jù)來自Case Western Reserve University(CWRU)[25]的電氣工程實(shí)驗(yàn)室，深溝球軸承型號為6205-2RS JEM SKF，其主要參數(shù)如表1所示。采樣頻率fs=12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，軸承轉(zhuǎn)速r=1 797 r/min。滾動軸承故障檢測中可能出現(xiàn)的故障特征頻率大都在幾十到幾百赫茲不滿足絕熱近似理論，因此采用二次采樣技術(shù)進(jìn)行預(yù)處理是非常必要的，其采樣壓縮比R=2 400。軸承的故障特征頻率如表2所示，其中fs=29.93 Hz,文章僅選用滾動軸承的內(nèi)圈和外圈故障信號進(jìn)行分析。

(21)

表1 滾動軸承主要計(jì)算參數(shù)

表2 滾動軸承故障特征頻率

式中:fr為軸承的轉(zhuǎn)動頻率;α為滾動體接觸角;一般取值α=0。此外n、D和D與表1中的軸承參數(shù)相對應(yīng)，由式(21)可以計(jì)算得到軸承外圈的故障頻率fBPFO=107.3 Hz，內(nèi)圈的故障頻率為fBPFI=162.2 Hz。

4.1 外圈故障實(shí)例

圖12(a)為軸承外圈故障信號的時(shí)域波形與頻譜，故障信息不能被識別，且2 500～4 000 Hz的高頻段存在大量的尖峰干擾，將大頻率外圈包絡(luò)信號通過二次采樣后(二次采樣頻率fsr=5 Hz)，然后再經(jīng)過上述a=1，b=1的CBSR系統(tǒng)后，輸出信號及頻譜如圖12(b)所示。由圖可知，頻譜在f=108 Hz(在允許的誤差范圍內(nèi))處出現(xiàn)了尖峰，將故障信號送入PNBSR系統(tǒng)后，輸出信號及頻譜如圖12(c)所示，可見相比CBSR系統(tǒng)，故障頻率周圍的干擾頻率消除了很多，且高頻段的毛刺也幾乎消失，證明是外圈存在故障，驗(yàn)證了所提系統(tǒng)在弱信號檢測中的有效性，且優(yōu)于CBSR系統(tǒng)。

4.2 內(nèi)圈故障實(shí)例

圖13(a)為軸承內(nèi)圈故障信號的時(shí)域波形與頻譜，從其時(shí)域和頻譜看，幾乎不能識別出故障fBPFI頻率=162.2 Hz，同樣將大頻率內(nèi)圈包絡(luò)信號經(jīng)過二次采樣后輸入a=1，b=1的CBSR系統(tǒng)，輸出信號及頻譜如圖13(b)所示，由圖可知，頻譜在f=162 Hz(在允許的誤差范圍內(nèi))處出現(xiàn)了尖峰；將內(nèi)圈故障信號送入PNBSR系統(tǒng)后的輸出信號及頻譜如圖13(c)所示，可見故障頻率處的峰值遠(yuǎn)大于CBSR系統(tǒng)所檢測出來的值，很容易確定是內(nèi)圈存在故障，再一次證明了PNBSR系統(tǒng)在故障檢測領(lǐng)域的有效性與可靠性。

圖12 外圈故障檢測實(shí)例

圖13 內(nèi)圈故障檢測實(shí)例

5 結(jié) 論

本文提出了一種PNBSR系統(tǒng)，對系統(tǒng)在Levy噪聲環(huán)境下的參數(shù)誘導(dǎo)和噪聲誘導(dǎo)的隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究；研究結(jié)果表明：①相對于CBSR系統(tǒng)的輸出信噪比，PNBSR系統(tǒng)的輸出信噪比有4 dB的提高；②在Levy噪聲分布參數(shù)α，β取不同值的條件下，改變系統(tǒng)參數(shù)l，c，a，、b和噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D均可誘導(dǎo)隨機(jī)共振；③在不同特征指數(shù)α下，對于一個(gè)確定的系統(tǒng)參數(shù)l(或c或a或b)，MSNRI整體上表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，說明存在最優(yōu)的系統(tǒng)參數(shù)使PNBSR系統(tǒng)、Levy噪聲和輸入信號產(chǎn)生隨機(jī)共振，當(dāng)α=1時(shí)，隨機(jī)共振輸出效果最好，且α>1時(shí)的MSNRI要小于當(dāng)α<1時(shí)的MSNRI；④在不同特征指數(shù)α下，對于逐漸增大噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D，α越大，產(chǎn)生最佳隨機(jī)共振的峰值點(diǎn)會向右移且MSNRI會減?。虎菰诓煌瑢ΨQ參數(shù)β下，對于系統(tǒng)參數(shù)l,c,a,b和噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D中的任意一個(gè)參數(shù)的變化，β=0時(shí)的隨機(jī)共振輸出效果要比當(dāng)β≠0時(shí)的共振效果好；以上結(jié)論為Levy噪聲環(huán)境下參數(shù)誘導(dǎo)的隨機(jī)共振現(xiàn)象系統(tǒng)參數(shù)的合理選取提供了依據(jù)，有助于隨機(jī)共振應(yīng)用在工程實(shí)踐中。