考慮尺度效應(yīng)的微振動(dòng)能量采集器建模

李創(chuàng)業(yè)， 霍 睿， 王偉科， 趙 辰

(1. 山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061； 2. 山東大學(xué) 高效潔靜機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 濟(jì)南 250061；3. 中國(guó)人民解放軍32145部隊(duì) 機(jī)要科, 河南 新鄉(xiāng) 453000)

“物聯(lián)網(wǎng)”[2-4]囊括了數(shù)以萬計(jì)的傳感器，傳統(tǒng)供電方式因壽命短、儲(chǔ)能有限、更換費(fèi)用昂貴、污染環(huán)境等缺點(diǎn)[5]無法滿足物聯(lián)網(wǎng)持久、可集成、工作環(huán)境多變、環(huán)境友好型的供能需求，新型1供電技術(shù)的研究意義重大。壓電式能量采集器[6]可以將機(jī)械能吸收轉(zhuǎn)化為電能，具備能量轉(zhuǎn)化效率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊、壽命長(zhǎng)、環(huán)境友好、與微納制造技術(shù)兼容等優(yōu)勢(shì)[7]。由于尺度效應(yīng)，微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能與宏觀模型分析結(jié)果不吻合[8-10]。而微壓電懸臂梁是微振動(dòng)能量采集器的一種基本結(jié)構(gòu)形式。

基于此，本文首先驗(yàn)證了考慮尺度效應(yīng)的懸臂梁模型，進(jìn)而建立微振動(dòng)能量采集器的改進(jìn)模型。通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明本文建立的采集器改進(jìn)模型有效的降低了誤差。改進(jìn)模型為微供能設(shè)備的設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。

1 微壓電懸臂梁模型改進(jìn)及驗(yàn)證

1.1 微壓電懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型

不考慮尺度效應(yīng)，微梁動(dòng)力學(xué)模型是

(1)

文獻(xiàn)[11]中引入表征尺寸效應(yīng)的本征長(zhǎng)度l，采用偶應(yīng)力理論改進(jìn)了微梁的動(dòng)力學(xué)模型，得到運(yùn)動(dòng)控制方程如下

(2)

式中：h為微梁厚度，無量綱厚度h/l=3.5。根據(jù)振型疊加法，可以得到諧振頻率

(3)

1.2 微壓電懸臂梁有限元分析

由式(2)可知：在尺度效應(yīng)影響下，μAl2是微懸臂梁剛度增大[12-15]的主要原因，為便于進(jìn)行有限元分析，引入等效楊氏模量E1

(4)

微懸臂梁可簡(jiǎn)化為Si梁和PZT-5H兩層結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)化后Si的尺寸LSi×WSi×TSi：3 150 μm×1 000 μm×13 μm；PZT-5H的尺寸LPZT-5H×WPZT-5H×TPZT-5H：3 150 μm×1 000 μm×1.6 μm。引用文獻(xiàn)[16]中的參數(shù)，結(jié)合式(4)可得等效楊氏模量，如表1所示。

表1 材料的等效楊氏模量

對(duì)懸臂梁進(jìn)行有限元分析，得到懸臂梁宏觀與改進(jìn)模型的一階振型圖，模態(tài)頻率分別為1 536 Hz與1 803 Hz。如圖1和圖2所示。

圖1 懸臂梁宏觀理論模型有限元分析結(jié)果

圖2 懸臂梁改進(jìn)理論模型有限元分析結(jié)果

1.3 微壓電懸臂梁制作與性能測(cè)試

在4 10.16 cm的SOI基片上采用光刻、濺射、溶膠凝膠、干法刻蝕等工藝完成制備與封裝，其SEM圖，如圖3和4所示。

圖3 微壓電懸臂梁俯視圖

圖4 微壓電懸臂梁厚度放大圖

采用信號(hào)發(fā)生器(YE1311)、功率放大器(E5871A)、振動(dòng)臺(tái)(E-JZK-5)、激光測(cè)振儀(OFV505/5000)、數(shù)據(jù)采集卡(INTEST Main Unit INJ9008U-I)、加速度傳感器(CA-YD-1182)等儀器搭建了如圖5所示的懸臂梁振動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

圖5 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

當(dāng)加速度激勵(lì)為6 g(1 g=9.8 m/s2)時(shí)，在1 600～2 000 Hz范圍內(nèi)依次改變振動(dòng)加速度的頻率，并記錄尖端位移的數(shù)據(jù)。采用功率譜對(duì)尖端位移進(jìn)行處理，可得到功率譜值與振動(dòng)頻率的曲線，如圖6所示。在1 818 Hz時(shí)，功率譜值達(dá)到最大，即為諧振頻率。

圖6 尖端位移曲線的功率譜-頻率曲線

由表2可知，宏觀理論模型與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的諧振頻率相差282 Hz，誤差是15.5%；而考慮尺度效應(yīng)后，改進(jìn)理論模型與實(shí)測(cè)結(jié)果相差15 Hz，誤差是0.8%；

表2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試頻率和理論分析頻率對(duì)比

2 微壓電振動(dòng)能量采集器建模及驗(yàn)證

由上一小節(jié)知，微梁的諧振頻率在1 000 Hz以上，然而傳感器周圍環(huán)境中的低頻振動(dòng)較多。大量學(xué)者[17-19]通過在懸臂梁自由端附加Si或Ni質(zhì)量塊來減小諧振頻率，使其能在低頻振動(dòng)環(huán)境中發(fā)揮作用。本文把Si質(zhì)量塊刻蝕到T型懸臂梁上，得到了“T型”采集器，采集器可簡(jiǎn)化為由PZT-5H、Si梁和質(zhì)量塊三層結(jié)構(gòu)組成[20]。結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 T型采集器結(jié)構(gòu)示意圖

2.1 微振動(dòng)能量采集器動(dòng)力學(xué)模型

考慮尺度效應(yīng)，并結(jié)合微梁的改進(jìn)理論模型，采集器自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(5)

當(dāng)除去式(5)中的μAl2時(shí)，模型自動(dòng)退化為宏觀理論模型。在給定的邊界條件下，設(shè)諧振頻率為ωr，振型函數(shù)為Wr(x)，第r階模態(tài)質(zhì)量Mr。引進(jìn)正則坐標(biāo)qr(t)，根據(jù)振型疊加原理，對(duì)微分方程解耦，可得

(6)

采集器形變產(chǎn)生的電荷Q集聚在PZT-5H的上下表面，形成電容器，容易得出

(7)

式中：Ss為極板正對(duì)的面積；εr為相對(duì)介電常數(shù)；Cs為等效電容。Vs是PZT-5H上、下表面之間的電勢(shì)差，也是微振動(dòng)能量采集器的開路輸出電壓。

2.2 微振動(dòng)能量采集器有限元分析

有限元分析結(jié)果以云圖的形式可以體現(xiàn)出采集器的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。沿用表1中的等效彈性模量及文獻(xiàn)[16]中相關(guān)參數(shù)，建立采集器有限元模型。設(shè)置固定端的自由度為零，加載幅值為1 g加速度激勵(lì)后，輸出電壓和尖端位移在諧振頻率300 Hz處均到達(dá)最大，輸出電壓為0.17 V，尖端位移為10.7 μm。

2.3 微振動(dòng)能量采集器性能測(cè)試

設(shè)定加速度激勵(lì)幅值為1 g，采用確定頻率激勵(lì)方式在50～500 Hz范圍內(nèi)對(duì)振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行激振，并在PC端觀測(cè)記錄加速度、自由端的尖端位移與輸出電壓。

圖8、圖9給出了采集器分別由宏觀模型、改進(jìn)模型以及實(shí)驗(yàn)測(cè)試所得的尖端位移-頻率曲線、輸出電壓-頻率曲線。各諧振點(diǎn)上的主要信息以及與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比誤差詳見表3。

圖8 微振動(dòng)能量采集器的位移-頻率曲線

圖9 微振動(dòng)能量采集器的電壓-頻率曲線

宏觀理論模型改進(jìn)理論模型實(shí)驗(yàn)測(cè)試諧振值/Hz250300310頻率誤差/%19.43.20尖端值/μm14.2610.7210.13位移誤差/%40.85.80輸出值/V0.2150.1780.168電壓誤差/%28.06.00

宏觀理論模型分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試獲得的諧振頻率之間誤差為19.4%，尖端位移誤差為40.8%，輸出電壓誤差為28%，宏觀模型無法準(zhǔn)確描述微振動(dòng)能量采集器的動(dòng)力學(xué)性能；改進(jìn)理論模型分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試兩種方式獲得的諧振頻率之間誤差為3.2%，尖端位移誤差為5.8%，輸出電壓的誤差為6.0%，改進(jìn)模型分析的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但仍有一定誤差。

3 誤差影響因素分析

理論計(jì)算與實(shí)際測(cè)試結(jié)果之間的偏差，可由兩方面的因素導(dǎo)致：一是在理論模型中存在一些近似假設(shè)，例如Euler梁[21]假設(shè)，一是計(jì)算參數(shù)不夠精確。

在理論建模方面，如前所述，尺度效應(yīng)是理論模型誤差的一個(gè)重要來源，此外應(yīng)考慮其他理論假設(shè)因素的影響。由于本文理論計(jì)算是基于有限元模型，在建模方法上是將壓電層和Si基梁分別劃分相同數(shù)量的單元，在兩種材料的結(jié)合面上令其對(duì)應(yīng)單元節(jié)點(diǎn)合二為一，其中即考慮了材料剪切作用的影響，因此可以認(rèn)為理論模型本身有較高的計(jì)算精度。

由于微器件的加工制作公差，使計(jì)算參數(shù)不夠精確，不可避免地造成理論計(jì)算與實(shí)際測(cè)試結(jié)果之間的偏差。以下僅以式(1)的Euler梁模型對(duì)加工公差造成的計(jì)算誤差進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。在此采用Euler梁模型一方面是為簡(jiǎn)化理論計(jì)算，一方面注意到對(duì)于本文算例，壓電層的厚度遠(yuǎn)小于Si基梁，PZT-5H的楊氏模量也遠(yuǎn)小于Si，按設(shè)計(jì)尺寸，可估算壓電層與Si基梁的抗彎剛度之比約為5.2×105。

在式(3)中令r=1，并注意到β1L=1.875以及對(duì)矩形截面I=Ah2/12，同時(shí)引用式(4)的等效楊氏模量，有

(8)

顯然，根據(jù)式(8)，微梁寬度誤差不對(duì)其基頻產(chǎn)生影響。假設(shè)微梁的長(zhǎng)度存在加工誤差ΔL，則由其導(dǎo)致基頻計(jì)算誤差

(9)

取式(9)與式(8)的比值

(10)

亦即每1%的長(zhǎng)度加工誤差將導(dǎo)致約2%的固有頻率計(jì)算誤差。類似地可知，每1%的厚度加工誤差將產(chǎn)生相同比率的固有頻率計(jì)算誤差。此外，設(shè)若材料密度取值與實(shí)際值存在1%的偏差，則導(dǎo)致固有頻率計(jì)算產(chǎn)生約0.5%的誤差。最后，基于Euler梁理論也可對(duì)尺度效應(yīng)造成的固有頻率計(jì)算誤差進(jìn)行大致估計(jì)

(11)

對(duì)本文算例，式(11)計(jì)算結(jié)果約為18.8%，對(duì)比表2的宏觀理論模型誤差大致相當(dāng)；上式計(jì)算結(jié)果偏大的主要原因，可解釋為ΔE1較大，因而需要考慮泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)以提高誤差估計(jì)精度。

4 結(jié) 論

本文以微壓電懸臂梁為研究對(duì)象，研究了尺度效應(yīng)對(duì)微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響，引入材料的本征長(zhǎng)度，采用改進(jìn)的偶應(yīng)力理論完善了動(dòng)力學(xué)模型。通過有限元分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的方式研究了微壓電懸臂梁的力學(xué)性能，表明改進(jìn)模型精度更高。以微梁力學(xué)性能研究結(jié)果為基礎(chǔ)，改進(jìn)了微振動(dòng)能量采集器的動(dòng)力學(xué)模型，采用有限元方法和實(shí)驗(yàn)測(cè)試分析采集器的輸出性能。改進(jìn)的采集器動(dòng)力學(xué)模型可以更好的解釋尺度效應(yīng)對(duì)微結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。