逢山開(kāi)路 遇水搭橋
——解析幾何問(wèn)題中參數(shù)的選擇策略

□王 煒

（江陰市華士高級(jí)中學(xué)，江蘇江陰 214421）

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)分支.研究問(wèn)題時(shí)，需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后在代數(shù)中研究幾何問(wèn)題.如果難以直接尋找x與y之間的關(guān)系，怎樣將幾何問(wèn)題代數(shù)化？往往要引進(jìn)參數(shù)，再通過(guò)消參解決問(wèn)題.如何引進(jìn)參數(shù)？常言道：逢山開(kāi)路，遇水搭橋.何時(shí)“開(kāi)路”？何時(shí)“搭橋”？涉及參數(shù)的選擇.在教學(xué)中，筆者通過(guò)預(yù)判性的幾何問(wèn)題代數(shù)化策略來(lái)選擇參數(shù).

一、問(wèn)題提出

題目：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的方程為x2+(y-1)2=5，點(diǎn)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M.若OA=OM，求直線AB的斜率.

此題是南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第二次模擬考試填空題的第12題，屬于中檔題.具體解答如下.

法 1：設(shè)直線lAB：y=k(x+2)，再與x2+(y-1)2=5聯(lián)立方程組，消去y得x1+x2=，則即，由OA=OM=2，得k=2(k=-2舍去）.

法2：設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，則B(2x0+2，2y0)，由OM=2得x02+y02=4①.再將點(diǎn)B代入圓C，得：x02+(y0-1)2=5②.由①②得：y0=2x0+4，則

提出問(wèn)題：該題設(shè)點(diǎn)、設(shè)線均可，我們知道“點(diǎn)在線上，且線經(jīng)過(guò)點(diǎn)”，何時(shí)設(shè)點(diǎn)？何時(shí)設(shè)線？

二、問(wèn)題梳理

解析幾何問(wèn)題求解一般有三個(gè)環(huán)節(jié)：設(shè)參、轉(zhuǎn)化、消參.作為第一環(huán)節(jié)的設(shè)參是否合理，對(duì)后續(xù)的運(yùn)算有較大的影響.實(shí)踐中不少學(xué)生因?yàn)樵O(shè)參不合理，導(dǎo)致運(yùn)算量偏大而不得不中途放棄.設(shè)點(diǎn)、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法.在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師要努力引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的參數(shù)，嘗試不同的路徑解題.這樣既可以訓(xùn)練思維的發(fā)散性，又可以訓(xùn)練思維的收斂性（即優(yōu)化思維），從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖1是解析幾何求解的思維導(dǎo)圖.

圖1

【名詞解釋】

點(diǎn)相關(guān)：兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間有明顯關(guān)系稱(chēng)之為“點(diǎn)相關(guān)”.例如：已知P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P( )x，y，則Q（-x，-y），所以稱(chēng)P，Q兩點(diǎn)為“點(diǎn)相關(guān)”.

線相關(guān)：斜率相關(guān)（兩直線斜率相等或相反數(shù)等），或能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為兩根之和（或之積），稱(chēng)之為“線相關(guān)”.例如：已知兩直線OP，OQ互相垂直且兩直線的斜率都存在，設(shè)直線OP的方程為y=kx，則直線OQ的方程為所以稱(chēng)兩直線OP，OQ為“線相關(guān)”.

該題為什么既可以設(shè)點(diǎn)，又可以設(shè)線？“點(diǎn)相關(guān)”“線相關(guān)”梳理如表1.

表1

圖2是“點(diǎn)相關(guān)”與“線相關(guān)”的思維導(dǎo)圖.

圖2

設(shè)點(diǎn)、設(shè)線有什么不同之處？問(wèn)題梳理如表2.

表2

從參數(shù)的個(gè)數(shù)上來(lái)看，設(shè)線簡(jiǎn)單些；從代入曲線上來(lái)看，設(shè)點(diǎn)代入簡(jiǎn)單些.僅僅據(jù)此分析，該題的這兩種設(shè)參的方法不分高下.考慮到條件“OM=2”，則設(shè)點(diǎn)比設(shè)線來(lái)得更直接，所以第一思維是設(shè)點(diǎn).以后處理這類(lèi)既“點(diǎn)相關(guān)”又“線相關(guān)”問(wèn)題時(shí)，需進(jìn)行兩方面的分析：①已知分析：已知中哪一種相關(guān)性更大些，或者說(shuō)哪一種設(shè)參能將已知中的幾何關(guān)系更恰當(dāng)?shù)赜么鷶?shù)方法表達(dá)出來(lái)；②所求分析：哪一種設(shè)參能更有效地聯(lián)通已知與所求.

三、問(wèn)題突破

（一）若點(diǎn)相關(guān)，選擇設(shè)點(diǎn)

例1如圖3，已知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM、直線PN的斜率均存在.問(wèn)kPM?kPN是否為定值，并說(shuō)明理由.

圖3

【路徑1】設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)N(-x，-y)，求得kPM?kPN為定值.

【路徑2】設(shè)直線lMN：y=kx，討論直線MN的斜率是否存在，求得kPM?kPN為定值.

【總結(jié)提升】設(shè)線不僅需要對(duì)直線MN的斜率是否存在進(jìn)行討論，而且需要將直線MN與橢圓C聯(lián)立方程組求解.比較這兩種設(shè)參的方法，明顯“設(shè)線”不合理.“點(diǎn)相關(guān)”的理由有兩條：理由1，M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)；理由2，研究的對(duì)象是kPM?kPN，而點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，需要用到斜率的坐標(biāo)公式.

（二）若線相關(guān)，選擇設(shè)線

例2已知圓O：x2+y2=25是△ABC的外接圓，點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )3，4 ，且直線AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ).求證：直線BC的斜率為定值.

【分析】因?yàn)橹本€AB與直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，它們具有“線相關(guān)”，所以考慮設(shè)線.

例3（由山東2009年高考題改編）如圖4，過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn).證明：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

圖4

【路徑1】設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，討論直線AB的斜率是否存在.

【路徑2】設(shè)直線AB的方程為x=ty+n，討論直線AB的斜率是否為0.

【路徑3】設(shè)直線OA方程為y=kx，討論直線OA的斜率是否存在、是否為0.

【總結(jié)提升】設(shè)線有三條路徑，如何選擇？選擇路徑3.理由：第一，OA⊥OB；第二，引進(jìn)的參數(shù)最少；第三，從計(jì)算量看，直線OA與橢圓聯(lián)立方程組明顯小于直線AB與橢圓聯(lián)立方程組；第四，求得OA的長(zhǎng)度，這樣同理可得OB的長(zhǎng)度，從而減少運(yùn)算量.

（三）路徑預(yù)判，優(yōu)化設(shè)參

例4如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )1，0.圓O：x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P（P在x軸上方），直線PA與橢圓E的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)PB，DC.設(shè)PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍．

圖5

【動(dòng)態(tài)分析】運(yùn)動(dòng)元素：動(dòng)點(diǎn)有點(diǎn)P，點(diǎn)D；動(dòng)線有直線PB，直線DC，直線PA.

路徑預(yù)判：

【路徑1】設(shè)線lPB→表示lPA→聯(lián)立求點(diǎn)D（已知一交點(diǎn)）→表示k2→求λ范圍.

【路徑2】設(shè)線lCD→聯(lián)立求點(diǎn)D（運(yùn)算量大）→表示kAD→表示k1→求λ范圍.

【路徑3】設(shè)線lPA→表示k1，聯(lián)立求點(diǎn)D（已知一交點(diǎn)）→表示k2→求λ范圍.

【路徑4】設(shè)點(diǎn)P( )x0，y0→表示k1，表示lPA→聯(lián)立求點(diǎn)D→表示k2→求λ范圍.

【路徑5】設(shè)點(diǎn)D( )x0，y0→表示kPA，表示k2→表示k1→求λ范圍.

【反思提升】根據(jù)運(yùn)算量的大小，將這五種解法按照運(yùn)算量由小到大進(jìn)行排序：路徑5，路徑1或3或4，路徑2.

學(xué)生的實(shí)際情況：①設(shè)線的學(xué)生傾向于路徑3，設(shè)直線lPA：y=k( )x+2；②設(shè)點(diǎn)的學(xué)生傾向于路徑4，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0).說(shuō)明學(xué)生參數(shù)選擇時(shí)，還是帶有盲目性，缺乏理性思考.如何理性思考？選擇參數(shù)時(shí)，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析并挖掘幾何特征，因?yàn)锳B是圓O的直徑，則PA⊥PB，所以直線PA、直線PB的斜率之間互為倒數(shù)的相反數(shù).分析可知核心運(yùn)動(dòng)元素是點(diǎn)D.核心運(yùn)動(dòng)元素即牽一發(fā)而動(dòng)全身的點(diǎn)或線，并且這個(gè)運(yùn)動(dòng)元素能更合理地表達(dá)問(wèn)題中的幾何關(guān)系，從而有效地聯(lián)通已知和所求.

四、問(wèn)題解決

知識(shí)可分為三類(lèi)：陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí).知識(shí)的獲得可用四象限學(xué)習(xí)特征所示（見(jiàn)圖6）.

圖6

本文所研究的“解析幾何問(wèn)題中參數(shù)選擇策略”是策略性知識(shí).策略性知識(shí)是指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)情境中對(duì)任務(wù)的認(rèn)識(shí)、對(duì)學(xué)習(xí)方法的選擇和對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的調(diào)控，它是由學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)調(diào)控和元認(rèn)知等要素構(gòu)成的監(jiān)控系統(tǒng).所以策略性知識(shí)僅靠習(xí)得是無(wú)法獲取的，它需要在分析中比較，在評(píng)價(jià)中優(yōu)化，在創(chuàng)造中創(chuàng)新.

解析幾何中參數(shù)選擇的策略是：預(yù)判性的幾何問(wèn)題代數(shù)化.通俗地講就是：逢山開(kāi)路，看路在何方；遇水搭橋，知橋通何處.參數(shù)選擇這一策略性知識(shí)的獲取途徑有：①在日常教學(xué)中教師要加強(qiáng)引進(jìn)不同參數(shù)的比較，②在教學(xué)設(shè)計(jì)中教師關(guān)注參數(shù)選擇的預(yù)設(shè)和生成，③教師調(diào)動(dòng)學(xué)生參數(shù)選擇的主動(dòng)性.對(duì)“參數(shù)選擇策略”的研究，可促使學(xué)生自覺(jué)養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流問(wèn)題的習(xí)慣.教師務(wù)必培養(yǎng)學(xué)生自己“找路”（即參數(shù)選擇）的能力，讓學(xué)生自己做“司機(jī)”，而不是始終做“乘客”.在這一過(guò)程中，教師要做一個(gè)隱形的“指路人”：在直路上，大膽讓學(xué)生獨(dú)立操作；在岔路口，引導(dǎo)學(xué)生看路標(biāo)；在迷路時(shí)，給予必要的點(diǎn)撥.

策略性知識(shí)的獲取并非一蹴而就，是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工作.在這項(xiàng)工作中可進(jìn)行一些探究式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行參數(shù)選擇分析：點(diǎn)線相關(guān)分析、路徑預(yù)判分析，多一些理性的思考，少一些運(yùn)算，是進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑 .