數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的關(guān)聯(lián)與延伸
——以《直角三角形》專題復(fù)習(xí)課為例

□宋 菲 易良斌

（杭州市采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校，浙江杭州 310018；杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院，浙江杭州 310018）

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，不是依賴單純的課堂教學(xué)，而是依賴學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累[1].復(fù)習(xí)課教學(xué)要求教師抓住知識的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識技能的同時(shí)，感悟知識的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng).筆者以初三第一輪復(fù)習(xí)中《直角三角形》的專題復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐為例，談?wù)劵诎l(fā)展核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)關(guān)聯(lián)與延伸的幾點(diǎn)思考.

一、教學(xué)實(shí)踐

（一）找準(zhǔn)知識的“生長點(diǎn)”，創(chuàng)設(shè)有效問題

學(xué)生在初三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，能較好應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)、判定，能綜合運(yùn)用面積法、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)來求線段長度.但對于直角三角形與其他幾何圖形（例如圓）的聯(lián)系較為欠缺，知識欠缺系統(tǒng)性，不會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)看待幾何中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

根據(jù)這些特點(diǎn)，教師找到本節(jié)課知識的“生長點(diǎn)”，設(shè)計(jì)了如下問題.

探究一：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是邊AB上的一點(diǎn)，請你添一個(gè)條件，確定線段CD的長.

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】本題是一個(gè)開放性問題，學(xué)生在添加條件，解決問題的過程中，激活舊知，既基于學(xué)生知識的“生長點(diǎn)”，又具有起點(diǎn)低、面向全體學(xué)生的優(yōu)點(diǎn).同時(shí)，問法也比較新穎，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望.

【教學(xué)價(jià)值】引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)看待幾何問題，發(fā)現(xiàn)CD長度由D點(diǎn)位置決定，點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，即時(shí)，CD最短；當(dāng)時(shí)，CD逐漸減??；當(dāng)＜10時(shí)，CD逐漸增大.

（二）構(gòu)建知識的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，形成知識體系

對于探究一，學(xué)生有以下幾種回答.

學(xué)生添法一：D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)（如圖2）.，在Rt△CDO中，有

圖2

圖3

【實(shí)踐效果】回顧斜中線定理，并且相對于單元復(fù)習(xí)，初三復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識的聯(lián)系性，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想直徑所對的圓周角等于90°的知識點(diǎn)（如圖3）.

學(xué)生添法二：CD是AB上的高（如圖4）.

圖4

圖5

【實(shí)踐效果】回顧直角三角形中求斜邊上的高線的方法：面積法、勾股定理、相似.同時(shí)，聯(lián)想此圖形中的三對相似三角形（△ABC∽△ACD∽△CBD），重溫射影定理.

【教學(xué)價(jià)值】引導(dǎo)學(xué)生將圖3和圖4進(jìn)行整合，得到如圖5，令A(yù)D=a，BD=b，則.對于學(xué)有余力的學(xué)生達(dá)到對代數(shù)關(guān)系的幾何表達(dá)，這是豐富學(xué)習(xí)路徑，發(fā)展直觀想象的好時(shí)機(jī).

學(xué)生添法三：CD是∠ACB的角平分線.

【實(shí)踐效果】回顧角平分線性質(zhì)，利用等面積法或△BDE∽△BAC，求得DE長，從而求得CD的長（如圖6），拓展角平分線另一性質(zhì)，得由此算得AD=利用Rt△CGD求CD長（如圖7）.

圖6

圖7

【教學(xué)價(jià)值】回顧三角形中的重要線段：中線、高線、角平分線，幫助學(xué)生梳理求線段的方法：面積法、勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)，構(gòu)建知識的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，形成知識體系.

學(xué)生添法四：令A(yù)D=x，易得得

學(xué)生添法五：令∠ACD=α（如圖8），

設(shè)DF=x，

根據(jù)△ADF∽△ABC，得

圖8

由此可得x的值，從而求得CD的長.

【教學(xué)價(jià)值】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)CD長度由D點(diǎn)位置決定，D點(diǎn)位置由AD長或∠ACD來刻畫，從而將問題從特殊引到一般，從不變引向變化，拓展思維深度，發(fā)展核心素養(yǎng).

章建躍博士在《數(shù)學(xué)教育隨想錄》中提到，復(fù)習(xí)教學(xué)，基本而重要的是使學(xué)生系統(tǒng)掌握課本知識，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].以上添法，教師通過一個(gè)問題串聯(lián)直角三角形在初中幾何中的知識框架，構(gòu)建知識體系.同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊條件逐步思考一般化的條件，用函數(shù)模型刻畫兩條線段之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在此過程中，學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）抓取知識的“延伸點(diǎn)”，加深本質(zhì)理解

直角三角形最大的功能是定量研究，第一輪復(fù)習(xí)需讓學(xué)生有更深的體會(huì)，因此筆者在探究一的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了探究二.

探究二：如圖9，將探究一中的Rt△ABC關(guān)于BC對稱得△BCD，E是BD上的中點(diǎn)，作AE的中垂線交AD于點(diǎn)F，求AF的長.

圖9

【設(shè)計(jì)意圖】此題對于探究一所給圖形進(jìn)行了軸對稱變換，成為等腰三角形，將直角三角形與等腰三角形合理對接，鞏固兩種特殊三角形的性質(zhì)，此題是2017年杭州中考第10題的一種特殊情況，為解決中考第10題作鋪墊.

【教學(xué)效果】大部分學(xué)生根據(jù)中垂線的條件會(huì)連接EF，但無法使用“E是中點(diǎn)”這個(gè)條件，只有部分學(xué)生利用“E是BD上的中點(diǎn)”，添輔助線EG⊥AD，利用△DEG∽△DBC，求得EG=4，GD=3，從而計(jì)算AG=9.根據(jù) Rt△EFG，得(9-x)2+42=x2，求 得AF的長.

變式：（2017年杭州中考題）如圖10，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，tan∠ABC=y，則（ ）

A.x-y2=3 B.2x-y2=9

C.3x-y2=15 D.4x-y2=21

解法：與探究二的解法相同，可列方程：(9-x)2+(3y)2=x2，得選項(xiàng)B正確.

【設(shè)計(jì)意圖】此題是2017年杭州市中考題，考查等腰三角形、直角三角形、中垂線、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)核心知識，命題者用tan∠ABC來刻畫AC與BC的關(guān)系，由于BC是定值，所以tan∠ABC隨AC長度的變化而變化.BD長度隨腰AC長度的變化而變化，即BD與tan∠ABC之間存在某種關(guān)系.此題得分率低，難點(diǎn)有三：（1）學(xué)生從特殊情況（等邊三角形、等腰三角形）思考，要么無法排除選項(xiàng)，要么困難重重；（2）需要作三條輔助線；（3）tan∠ABC不是確定的值，學(xué)生“害怕字母”而無從下手.在解決此題的過程中學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想，拓展學(xué)生的思維空間，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖10

【教學(xué)價(jià)值】在幾何圖形中研究某兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系是學(xué)生高階思維的體現(xiàn)，值得探究.當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，即y=tan60°=易得D是BC上的中點(diǎn)，即x=6；當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，即y=tan45°=1，得x=5；當(dāng)?shù)妊鰽BC中，AC=12時(shí)（即探究二的圖形）再用同樣的方法列舉得x=6.5，y=2；x=12.5，y=4，將上述5個(gè)點(diǎn)描在直角坐標(biāo)系中，如圖11，通過觀察圖象的形狀，可以猜測是拋物線的一部分，事實(shí)上，y與x的函數(shù)圖象是以x軸為對稱軸的拋物線的一半.用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，觀察圖象特征，確定函數(shù)類型等環(huán)節(jié)，這樣得到的函數(shù)圖象可能是近似的，但是學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程，培育學(xué)生數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)，彰顯學(xué)生未來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.

圖11

二、教學(xué)思考

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.在終極目標(biāo)下，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)著眼于學(xué)生的學(xué)情，致力于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生高階思維能力.筆者認(rèn)為教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以把握以下幾個(gè)方面的關(guān)系.

（一）教學(xué)目標(biāo)的“隱”與“顯”

四基中的基礎(chǔ)知識、基本技能是教學(xué)目標(biāo)中的顯性目標(biāo)，基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)目標(biāo)中的隱性目標(biāo).以顯性目標(biāo)為載體、隱性目標(biāo)為導(dǎo)線的教學(xué)設(shè)計(jì)能使課堂教學(xué)更為高效.

本節(jié)課，學(xué)生熟練掌握了直角三角形的性質(zhì)與判定.學(xué)生欠缺的是將幾何知識進(jìn)行串聯(lián)，將直線型問題與曲線型問題進(jìn)行聯(lián)系.其次，學(xué)生解題往往停留在就題論題，無法以點(diǎn)帶面，不會(huì)以函數(shù)的觀點(diǎn)看待幾何圖形中兩個(gè)變量之間存在的關(guān)系.因此，本節(jié)課可以將教學(xué)目標(biāo)確定為：

顯性目標(biāo)——目標(biāo)1：回顧直角三角形的性質(zhì)（勾股定理、斜中線定理），梳理求線段長度的方法（勾股定理、面積法、相似三角形、三角函數(shù)）；目標(biāo)2：能根據(jù)具體問題構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問題.

隱性目標(biāo)——目標(biāo)3：經(jīng)歷問題的探究過程，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力，滲透從特殊到一般的思想、函數(shù)思想.

其中，目標(biāo)1、目標(biāo)2是具體的知識、技能，是本節(jié)課中的顯性目標(biāo)，目標(biāo)3則是學(xué)生通過活動(dòng)，體驗(yàn)獲得的數(shù)學(xué)感悟，是隱性目標(biāo)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

（二）教學(xué)內(nèi)容的“高”與“低”

顯性目標(biāo)與隱性目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)需要以教學(xué)內(nèi)容為載體.復(fù)習(xí)課要面向全體學(xué)生，所以選擇的教學(xué)內(nèi)容需要起點(diǎn)低.例如，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，探究一面向全體學(xué)生，同時(shí)又能落實(shí)基礎(chǔ)知識、基本技能，可謂是低起點(diǎn).

師生合作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)線段AD的長度確定時(shí)，CD則被確定，由此推理得到CD與AD之間的函數(shù)關(guān)系，這能有效提高學(xué)生的思維能力.當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生得到∠ACD確定時(shí)，CD的長度被確定，引入三角函數(shù)，得到CD與∠ACD的函數(shù)關(guān)系，突破學(xué)生的思維障礙.這是本節(jié)課的高落點(diǎn).

（三）教學(xué)方法的“收”與“放”

教師提出開放式問題，學(xué)生必然會(huì)展開多角度、多方面的思維活動(dòng).在學(xué)生產(chǎn)生多種答案的過程中，能發(fā)展其思維的廣闊性和靈活性，從而培養(yǎng)創(chuàng)新能力.本節(jié)課，探究一中添加中線、高線、角平分線的方法，是同一層次、不同角度的添加方法，可以幫助學(xué)生形成知識體系，添加條件AD=x或者∠ACD=α，是相對于中線、高線、角平分線添法的一般化，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，導(dǎo)向更高階的思維.

三、結(jié)束語

章建躍博士在《什么是好數(shù)學(xué)教學(xué)》中提出，“好數(shù)學(xué)教學(xué)”的根本標(biāo)準(zhǔn)是“數(shù)學(xué)育人”——在學(xué)生的終身發(fā)展上產(chǎn)生最大的長期利益，具體體現(xiàn)是學(xué)生學(xué)會(huì)思考并進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)[4].基于核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)需要教師更好地理解數(shù)學(xué)，創(chuàng)造性地設(shè)置問題情境，巧妙地串聯(lián)問題，切實(shí)將培育學(xué)生核心素養(yǎng)融入每一節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)中，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展.