“植樹問題”中真實(shí)發(fā)生的數(shù)學(xué)思考

葉錦秀

【摘要】“植樹問題”的教學(xué)內(nèi)容是引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)全長與間距、間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，通過具體的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生探索解決問題有效方法的能力。林偉揚(yáng)老師執(zhí)教的這一課，整節(jié)課充滿著觀察、推理和交流等各種教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維充分活躍，然后再通過練習(xí)的變式和比較，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法得到有效滲透的同時(shí)，思維得到發(fā)散，數(shù)學(xué)建模及應(yīng)用能力得到提升，真正做到數(shù)學(xué)思考在真實(shí)發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】閱讀與理解;習(xí)得方法;變式練習(xí);數(shù)學(xué)思想方法

對(duì)于我這個(gè)教齡未滿五年的雛兒來說，最為幸運(yùn)的是教學(xué)生涯的開始就遇到了師傅林偉揚(yáng)老師。林老師舒服可愛的課堂氣氛，層層遞進(jìn)的課堂形態(tài)，散發(fā)著濃濃的“數(shù)學(xué)味”，這樣的味道讓初入行的我感受到了數(shù)學(xué)教學(xué)的溫暖和魅力，也對(duì)數(shù)學(xué)有很深的向往。在學(xué)校期末的“名雁”展示課上，林老師在“植樹問題”中扎實(shí)有效的知識(shí)建構(gòu)，讓我再次感受到了她對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的執(zhí)著和熱愛。

“植樹問題”是人教版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角里的內(nèi)容，“數(shù)學(xué)廣角”并不是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里規(guī)定的必學(xué)和必考的內(nèi)容，它承載的責(zé)任也并不是“雙基”的目標(biāo)，它起于課標(biāo)，且高于課標(biāo)，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價(jià)值的行為——數(shù)學(xué)思考。所以“植樹問題”之于后知后覺類的學(xué)生而言，“想說愛你很不容易”。那在林老師的“植樹問題”課堂上，又怎樣讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考真實(shí)發(fā)生呢？我從以下三點(diǎn)展開分析。

一、審題方式的優(yōu)化：多種形式表征問題的本源

大多數(shù)人拿到文字，首先就是逐字逐句、一字不漏地先讀幾遍，如果看不懂了，那就再讀幾遍。所以對(duì)大多數(shù)人來說，“閱讀與理解”是最簡單的，也是最容易忽視的，可這樣的解題效率不高，也容易抓不準(zhǔn)關(guān)鍵信息。面對(duì)同一個(gè)需要解決的問題，不同的學(xué)生理解的層次也是不同的。對(duì)于數(shù)學(xué)廣角類型的解決問題，閱讀理解不但要能理解題目的關(guān)鍵信息，更要快速與舊知識(shí)搭建橋梁，快速地找到解決問題的策略，做好建模準(zhǔn)備。如何過“審題關(guān)”？請(qǐng)看林老師的教學(xué)片段：

教師請(qǐng)全班讀題獲取數(shù)學(xué)信息：同學(xué)們?cè)谌L100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

師：你們覺得在審題中，有什么要提醒大家的？

生1：每隔5m栽一棵（兩端要栽）。

生2：我覺得“一邊”也是很關(guān)鍵的詞。

教師馬上在板書上進(jìn)行了標(biāo)注。并提問：“每隔5m栽一棵（兩端要栽）”是什么意思？

生1：每兩棵樹之間距離5m。

生2：5m一段路，這段路的兩端都要栽一棵樹。（生拿了把尺子作示意兩端都要栽）

師介入：你們很厲害啊。是不是覺得用畫圖更容易理解？你們誰愿意來畫一下？

生板演：

師點(diǎn)評(píng)：畫得很清楚，一眼就看出了每兩棵樹之間距離5m，也可以說每兩棵樹之間的間隔5m。

師：那“一邊”又是什么意思？

生：說明只種馬路的一邊。

林老師在這一環(huán)節(jié)的板書中通過“畫橫線”“畫圈”對(duì)關(guān)鍵詞進(jìn)行標(biāo)注，提高審題效率。林老師本著“以生為本”的教學(xué)理念，引導(dǎo)學(xué)生充分解讀“每隔5m栽一棵（兩端要栽）”，并且很機(jī)智地抓住學(xué)生的生成，恰當(dāng)?shù)丶ぐl(fā)了學(xué)生的畫圖需求。學(xué)生自發(fā)地用了物化的方法將抽象的信息直觀化、簡單化，也就是我們經(jīng)常說的數(shù)形結(jié)合的方法（畫簡易圖），為后面環(huán)節(jié)的建模做好準(zhǔn)備。

二、習(xí)得方法的整合：讓學(xué)生自發(fā)的產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想方法的需要

“數(shù)學(xué)廣角”承載著感悟重要的數(shù)學(xué)思想方法的目標(biāo)。毋庸置疑，植樹問題的數(shù)學(xué)思想方法在“分析與解答”環(huán)節(jié)中最能滲透。林老師根據(jù)她設(shè)計(jì)的模型主線——“猜想→探索→歸納推理→建?！鷳?yīng)用”，不僅清晰和豐滿，且更趨合理和富有魅力，讓學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想與方法中，通過不斷地猜想、探索，在“慢感悟”中明白道理。

請(qǐng)看教學(xué)片段1：

林老師一開始讓學(xué)生猜一猜結(jié)果大概是幾，學(xué)生一開始有猜想到答案是22，兩端要栽，也有的猜21。

師問：為什么沒人猜20？

生：兩端都要栽，20肯定錯(cuò)了。

教師追問：那我們用什么方法來探究這個(gè)猜想到底正不正確呢？

生1：畫圖

教師補(bǔ)充：畫圖就是“數(shù)形結(jié)合”（教師馬上板書）

生2：化繁為簡

師：如何化繁為簡？

生1：先看看10m可以栽幾棵。

生2：我覺得應(yīng)該簡到5m。

師介入：那為什么不研究1m呢？1m不是更簡單嗎？

生補(bǔ)充：每隔5m種一棵，1m就沒意思了，沒辦法研究。

師：你們這種化繁為簡，簡到極致，簡得太有味道了。

在數(shù)學(xué)廣角的思想方法教學(xué)中，學(xué)生可分為三層：A.能自發(fā)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解題;B.聽取他人想法能夠喚起舊知從而理解;C.不知所云，但能通過一系列探索“后知后覺”。學(xué)生能主動(dòng)把100進(jìn)行化繁為簡，他是屬于A類，更說明林老師不但在這節(jié)課，在平時(shí)的課堂教學(xué)中也肯定時(shí)時(shí)刻刻滲透著數(shù)學(xué)思想方法。林老師本來預(yù)設(shè)評(píng)價(jià)：“你們的這種化繁為簡，簡得太有意義了”，而學(xué)生還未等老師說出口就說“太有味道了”。這樣的課堂，這樣的生成，教師與學(xué)生思維的碰撞這么的真實(shí)、有趣，我想，這大抵就是真實(shí)的數(shù)學(xué)味吧。

再看教學(xué)片段2：

林老師展示了一位學(xué)生探究20m長的路種樹圖：

聽完學(xué)生的介紹后，師問：為什么你前面3幅圖畫了樹，后面怎么畫了線段圖呢？

生：因?yàn)槲矣X得畫線段圖更簡單方便。

師：一個(gè)點(diǎn)表示？

生：一個(gè)點(diǎn)表示一棵樹，一段就是間隔長。就是點(diǎn)段點(diǎn)段點(diǎn)，最后是點(diǎn)。

師：這也就是我們數(shù)學(xué)上說的一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。你太厲害了，有數(shù)學(xué)思維。從樹圖到線段圖的過程就是抽象的過程啊！那根據(jù)他的圖同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)一個(gè)5m種2棵樹，2個(gè)5m種3棵樹，3個(gè)5m種4棵樹，4個(gè)5m種5棵樹。

生2：算出間隔數(shù)是x，x+1就是樹的棵數(shù)。

生3：也可以說算出n，n+1就是點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)也就是我們的棵樹。

師：你歸納得太好了。[教師板書：點(diǎn)（棵樹）=段（間隔數(shù)）+1]

教師追問：好的，基本模型你們已經(jīng)找到了，那這個(gè)間隔數(shù)怎么算呢？

生：我們看這個(gè)20m的，就是求20里面有幾個(gè)5，用除法計(jì)算：20÷5=4。

所以有4個(gè)間隔，4+1=5，可以種5棵樹。

師：直接用二年級(jí)的除法知識(shí)解決了這道題目！真棒！所以全場100m怎么種樹，對(duì)于你們來說就很簡單了吧？

林老師選取了典型的作品，從學(xué)生的角度出發(fā)進(jìn)行分析，讓學(xué)生告訴學(xué)生怎么畫圖、怎么分析、怎么歸納。樹圖到線段圖就是抽象的過程，樹就相當(dāng)于點(diǎn)，兩棵樹之間的距離就是段，點(diǎn)段點(diǎn)段……在學(xué)生質(zhì)樸的語言中滲透什么是一一對(duì)應(yīng)思想。甚至在如何求得間隔數(shù)的環(huán)節(jié)，學(xué)生竟然能說出來，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)，植樹問題的本質(zhì)就是二年級(jí)學(xué)習(xí)的“包含除”。而學(xué)生在自己分析的過程中為了表達(dá)更簡單準(zhǔn)確，也自發(fā)地產(chǎn)生了探究需求——公式，用x、n表示間隔數(shù)，也就是符號(hào)化思想，中學(xué)稱之為函數(shù)思想，為六年級(jí)的“數(shù)學(xué)思考”研究方法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。所以，我想，一堂數(shù)學(xué)思考在真實(shí)發(fā)生的數(shù)學(xué)課，不僅是讓學(xué)生會(huì)解“植樹問題”，也不僅是讓學(xué)生建成功建模，而是讓學(xué)生在整個(gè)建模的過程中從內(nèi)心深處感受建模思想的需要。這樣的課堂，不但學(xué)生習(xí)得了知識(shí)和方法，與此同時(shí)，也成就了教師的成長。

三、練習(xí)方式的改變：讓數(shù)學(xué)思想從“有”變得“更有”

對(duì)于我們很多的教師而言，鞏固新課時(shí)最好的方法就是課本的“做一做”，然后就是后面相應(yīng)的練習(xí)題，做完，分析好，這個(gè)內(nèi)容就結(jié)束了。而林老師對(duì)于植樹問題練習(xí)的變式，卻很好地避免了“低層次重復(fù)研究”的泥潭。

1.想一想，填一填

幸福村要在一條1000米長的公路一旁種植香樟樹，每隔10米栽一棵（兩端都共要栽），一共要栽多少棵香樟樹？

我可以先選一個(gè)簡單的數(shù)（ ）米，畫圖看一看。

兩端要栽，所以可以這樣畫圖（）。

我選的（ ）米中，有（ ）個(gè)間隔，栽樹是（ ）棵。

1000中共有（ ）個(gè)間隔，兩端都栽，所以一共要栽（ ）棵。

2.畫一畫，寫一寫

在下面不同的路線上均勻植樹，一共植5棵樹，請(qǐng)按照要求畫出5棵樹（畫點(diǎn)表示一棵樹），然后寫出棵樹與間隔數(shù)的關(guān)系。

（1）兩端都栽：

棵樹與間隔數(shù)關(guān)系是（ ）

（2）一端栽另一端不栽：

棵樹與間隔數(shù)關(guān)系是（ ）

（3）在圓形花壇周圍栽：

棵樹與間隔數(shù)關(guān)系是（ ）

如果把“建模”當(dāng)作是一節(jié)課的終極目標(biāo)，那我們的目標(biāo)就僅僅停留在技能與方法上了。我們的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該定位讓學(xué)生在整個(gè)建模的過程中從內(nèi)心深處感受建模思想的需要，建模不過就是手段、是過程罷了。林老師通過這樣的變式練習(xí)，讓學(xué)生更加感受到數(shù)學(xué)思想方法的需要。當(dāng)然，我們不可能讓每一個(gè)學(xué)生都在這節(jié)課上思想爆棚，而是讓學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)“更有”成功的喜悅，“更有”用數(shù)學(xué)眼光分析生活現(xiàn)象的意識(shí)，“更有”數(shù)學(xué)思想來支撐，讓“有”變得“更有”。

數(shù)學(xué)課就像是一部連續(xù)劇，所有劇情都是連在一起的，少了哪一集都不行，三年級(jí)的知識(shí)連著四年級(jí)，四年級(jí)的知識(shí)連著五年級(jí)，課中滲透的數(shù)學(xué)方法也是如此。鋪墊到位，學(xué)生的腦海里就能浮出之前習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然這不是這樣一節(jié)“植樹問題”的課就能解決的，而是通過長期的努力和積淀?；蛟S一節(jié)課過去了，好像孩子們的腦子里什么方法都沒有掌握，但是這種似有似無的“留白”，其實(shí)是一種酵素，終于有一天會(huì)在需要的時(shí)候浮現(xiàn)出來的。

讓我們一起努力吧，關(guān)注數(shù)學(xué)思考的真實(shí)發(fā)生，給學(xué)生一節(jié)有“根”的數(shù)學(xué)課。

【參考文獻(xiàn)】

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