入乎其內(nèi)　出乎其外

繆素平

[摘 要]累積經(jīng)驗是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的必然路徑。從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的內(nèi)涵特征入手，在課堂教學(xué)中有效落實“活動經(jīng)驗?zāi)繕恕?，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中積累有效的活動經(jīng)驗，真正建立自己的經(jīng)驗系統(tǒng)，建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;內(nèi)涵特征;方法策略

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）17-0001-03

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不像具體知識那樣“看得見、摸得著”，它是一種認識，是個體對自己以往經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動在認知方面自覺或不自覺的感性概括，是通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。這種認識包括感性知識、情緒體驗和應(yīng)用意識。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有以下特性：

自我性。對于同一個數(shù)學(xué)活動，即使外部條件相同，每一個學(xué)生仍然可能有不同的理解，所獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也就有所不同，有的較為清晰，有的較為模糊;有的較為豐富，有的較為單一。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是屬于學(xué)習(xí)者個人的，隱藏在學(xué)習(xí)者個人的內(nèi)心深處，是個性化的。學(xué)生參與到教師創(chuàng)設(shè)的情境或者生活實際中，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中親身體驗，才能真正地“接受”相應(yīng)的經(jīng)驗，完成經(jīng)驗累積的過程。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是基于學(xué)生主體的，屬于特定的學(xué)習(xí)者自己。因此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有主體性和自我性。

實踐性。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗離不開實踐活動，實踐活動是經(jīng)驗產(chǎn)生的源泉。只有親身經(jīng)歷、體驗數(shù)學(xué)活動，學(xué)習(xí)者才能形成數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。離開了實踐活動就不能形成有意義的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究、思考、預(yù)測、推理、抽象、反思，讓學(xué)生在實踐中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如，學(xué)習(xí)“千克”這個知識時，可讓學(xué)生親自到超市、商店等地方去體驗物品的“千克”，感受物品的輕重。

動態(tài)性。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)軌蚍从硨W(xué)生在特定學(xué)習(xí)環(huán)境中或某一學(xué)習(xí)階段對學(xué)習(xí)對象的一種經(jīng)驗認識是感性的、非嚴格性的。與形式化的數(shù)學(xué)知識相比，它缺乏明晰的結(jié)構(gòu)體系，既沒有明確的邏輯起點，也沒有明確的邏輯結(jié)構(gòu)，是隱性的和個性化的。隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入，獲得的活動經(jīng)驗也不斷變化、不斷發(fā)展，是動態(tài)的、可變的。由于學(xué)生個體之間的差異較大，那些沒有經(jīng)過加工的“原始經(jīng)驗”，含有許多主觀的、片面的非本質(zhì)因素，在學(xué)習(xí)過程中也是可變的。比如，在學(xué)習(xí)“角的認識”之前，學(xué)生在生活中經(jīng)常接觸到“角”，他們認為 “角落”那里尖尖的部分就是“角”，這是學(xué)生形成的角的初步經(jīng)驗，含有主觀的、片面的非本質(zhì)因素。等學(xué)習(xí)了“角”之后，學(xué)生才完善、修正對“角”的認識，真正建立角的概念：從一點引出的兩條射線所組成的圖形。

“入乎其內(nèi)，故有生氣。出乎其外，故有高致?！保ㄍ鯂S《人間詞話》）“入”指觀察、實踐，“出”指得道、總結(jié)。同理，學(xué)生只有充分參與數(shù)學(xué)實踐活動，經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，才能積累厚實的活動經(jīng)驗。反思目前的課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)教師往往不重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身，忽略了促使學(xué)生生動活潑地學(xué)習(xí)和發(fā)展的長效性目標。學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗主要被解題的經(jīng)驗所替代，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗單一和不足已是一個不爭的事實，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有得到真正的提高?！盎顒咏?jīng)驗?zāi)繕恕笔欠衲艹掷m(xù)健康地向前推進，決定著課程是否能有進一步發(fā)展。

一、活動孕伏，延續(xù)經(jīng)驗

數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，決定了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是一個循序漸進的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有一個意義建構(gòu)的過程，這一過程以原有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，又通常是從操作性的活動開始的，并且所建構(gòu)的意義最終以經(jīng)驗的形態(tài)儲存在學(xué)生的大腦中，就如陶行知所做的比喻：“我們要有自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方能成為我們知識的一個有機體部分。”教師要抓住時機，做好前期的鋪設(shè)，并以此為契機引領(lǐng)學(xué)生展開新知探究活動。在這過程中，教師要善于抓住學(xué)生經(jīng)驗的生長點，在合適的時機開展數(shù)學(xué)活動。

如教學(xué)四年級“平行四邊形的認識”時，可引導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過分一分、畫一畫、剪拼組合等活動方式，將平行四邊形剪拼后轉(zhuǎn)化成其他平面圖形。學(xué)生在操作活動中積累了剪拼平行四邊形的經(jīng)驗，初步感知了轉(zhuǎn)化思想。到了五年級學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時，學(xué)生四年級積累的剪拼平面圖形的經(jīng)驗就成了推導(dǎo)面積公式的橋梁，也是學(xué)生思維獲得突破的有效途徑。后續(xù)推導(dǎo)三角形、梯形的面積公式時，學(xué)生就能夠自覺利用已有的活動經(jīng)驗，自主使用剪拼法將其“轉(zhuǎn)化”，從而順理成章地進行推導(dǎo)。

作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該站在系統(tǒng)的高度整體地看待數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和運用，尋求知識經(jīng)驗形成的前因后果，讓各類活動經(jīng)驗呈一貫性和連續(xù)性。學(xué)習(xí)中，善于抓住學(xué)生前期學(xué)習(xí)中蘊含的經(jīng)驗“生長點”，適時組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動。

二、操作體驗，積累經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，離不開豐富的數(shù)學(xué)體驗。但在教學(xué)中，教師往往會忽略體驗的有序性，要么讓學(xué)生自由體驗，要么一手包辦，直接替代學(xué)生的體驗，導(dǎo)致數(shù)學(xué)活動可有可無，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動也支離破碎，雜亂低效。因此，教師要增強數(shù)學(xué)活動的規(guī)劃意識，對數(shù)學(xué)活動進行整體規(guī)劃和組織，選準展開點，使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗自然生長。

【教學(xué)片段1】厘米的認識

師：請從學(xué)具盒中找出1厘米長的小棒，將其放在左手大拇指與食指之間，然后拿掉小棒，手指不要動，看一看1厘米有多長。閉上眼睛，想一想1厘米有多長，再伸手比畫1厘米的長度，并用小棒去驗證一下，看看比畫得準不準。（學(xué)生活動，交流）

師：現(xiàn)在把1厘米的長度記在腦子里，并從信封里摸出一個1厘米長的物體。（學(xué)生有的摸出一枚1厘米長的釘子;有的摸出棱長為1厘米的正方體;有的摸出火柴盒，并指出它的高是1厘米……）

師：在你的生活中，哪些物體的長大約也是1厘米？

生：語文書的厚度;硬幣的寬度;玉米粒的長度……

師（出示鉛筆、橡皮、小棒等物品）：你能估一估這些物體大約長幾厘米嗎？

（學(xué)生估完后，用尺驗證，修正自己的厘米“經(jīng)驗”）

通過做一做、看一看、記一記、比一比、量一量，能夠化靜態(tài)為動態(tài)，化抽象為具體，新知在學(xué)生的體驗中已經(jīng)呼之欲出。實驗活動時，只有保證學(xué)生思維的連貫性和科學(xué)性，學(xué)生才能拓展視野，拓寬思路，全方位、多角度地獲取多樣化的信息，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

三、問題質(zhì)疑，完善經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的激活，來自于教師的有效引導(dǎo)。根據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)者的知識建構(gòu)需要觸發(fā)經(jīng)驗激活點。教師要設(shè)置有效問題，引導(dǎo)學(xué)生自主質(zhì)疑、主動探究，使數(shù)學(xué)活動更有針對性，也更具思維含量，完善學(xué)生的活動經(jīng)驗。

【教學(xué)片段2】平面圖形的面積關(guān)系

師（出示三角形和梯形，引導(dǎo)學(xué)生寫出面積公式：S=ah÷2和S=（a+b）h÷2）：請大家仔細觀察這兩個公式，能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：這兩個圖形的面積公式都是用底乘以高再除以2。

生2：三角形只有一個底，梯形有兩個底。

師：它們之間有沒有聯(lián)系呢？（電腦演示：梯形的上底漸漸縮短）

生3：當梯形的上底縮至0時，就變成了三角形。如果還用梯形的面積公式計算面積，就是S=（a+0）h÷2，也就變成了S=ah÷2，所以，三角形的面積公式也可以從梯形的面積公式推導(dǎo)而來。

師：由此，又能想到什么呢？

生4：長方形和平行四邊形的面積公式是不是也可以由梯形的面積公式推導(dǎo)而來呢？

出示：

（學(xué)生的提問其實是創(chuàng)造了一種新的法則：任何三角形及規(guī)則的四邊形的面積都等于上下底之和與高的乘積的一半）

教師引得巧妙、導(dǎo)得合理，學(xué)生就會不斷提出問題和解決問題，溝通平面圖形面積計算之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識系統(tǒng)，完善面積公式推導(dǎo)的經(jīng)驗。同時，學(xué)生還能學(xué)會從“高處”、從整體且有條理、完整地分析平面圖形的面積計算，讓“書越讀越薄”。

問題質(zhì)疑中，學(xué)生已有的活動經(jīng)驗不斷被激活，本來有缺陷或有漏洞的經(jīng)驗逐漸被修正，粗糙的經(jīng)驗漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗獲得了有效提升，新生成的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗很自然地嵌入學(xué)生的經(jīng)驗系統(tǒng)里。在問題的驅(qū)動下，主動的行為參與，自覺的思維參與，使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗得到生長。

四、反思交流，總結(jié)經(jīng)驗

每個學(xué)生在活動中都是以自己的方式理解數(shù)學(xué)的。因而，要想突破個人數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的局限性，一個根本的方法是給學(xué)生提供“合作交流”的平臺，促進個人經(jīng)驗的交流與融合，實現(xiàn)對個人經(jīng)驗的優(yōu)化和內(nèi)化。這樣的合作交流，既能豐富活動經(jīng)驗的理性意義，又能提高學(xué)生自主積累經(jīng)驗的能力?？梢哉f，反思交流提升了活動經(jīng)驗的理性品質(zhì)，加速了其內(nèi)化為個體數(shù)學(xué)素養(yǎng)一部分的進程，提煉了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的“內(nèi)化點”。在教學(xué)實踐中，通過合作交流旨在完成對個體活動經(jīng)驗的 “四個提升”：把感性的經(jīng)驗逐步理性化，把模糊的經(jīng)驗逐步明晰化，把松散的經(jīng)驗逐步結(jié)構(gòu)化，把知識型的經(jīng)驗逐步策略化。

【教學(xué)片段3】平行四邊形的面積計算的總結(jié)

師：這節(jié)課我們探討了平行四邊形面積的計算公式，回憶一下，我們是怎樣研究的，中間有沒有遇到哪些困難，又是怎樣克服的？

生1：我一開始是用數(shù)方格的方法計算面積，但太繁雜了，后來就覺得應(yīng)該研究更簡便的方法。

生2：我一眼就能看出“從平行四邊形中剪下一個三角形，平移到另一邊，就能轉(zhuǎn)化成長方形”。這樣通過長方形面積公式推出平行四邊形面積公式就方便多了。

生3：只要沿著高剪開就能將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。

生4：我把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，在比較兩個圖形的聯(lián)系時，誤以為長方形的長和寬分別對應(yīng)平行四邊形的兩條鄰邊，后來在同桌的幫助下發(fā)現(xiàn)了錯誤。原來長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的底和高，看來以后學(xué)習(xí)中還是要細心觀察。

師（利用課件再次回顧將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程）：下節(jié)課我們將學(xué)習(xí)三角形的面積計算，你準備怎么研究？（該問題就是將本節(jié)課學(xué)生積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗進行提煉、推廣）

課堂上，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解從量的積累到“質(zhì)”的飛躍，這種經(jīng)歷生成的經(jīng)驗才是最經(jīng)典的。同時，越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)活動越需要有積極的情感和意志相伴，這種體驗性成分也是學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不可或缺的組成部分，它對于學(xué)生良好人格的塑造具有不可替代的作用。

五、應(yīng)用拓展，升華經(jīng)驗

積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標，也是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果，這個過程不是一蹴而就的，也不會一帆風(fēng)順，需要在做和思考的過程中不斷磨礪、慢慢積淀、逐步積累、漸漸深化。因此，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生自覺應(yīng)用所學(xué)知識解決各種問題，升華經(jīng)驗，從而打磨數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的“深化點”。學(xué)生只有參與了多樣化的數(shù)學(xué)活動，其前期積累的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗才能在經(jīng)過多次調(diào)用和加工后逐漸內(nèi)化為概括性更強的經(jīng)驗，進而真正達到理性的領(lǐng)悟，更有效地推廣到同類問題的解決中去。

【教學(xué)片段4】三角形的面積計算

師：推導(dǎo)平行四邊形和三角形的面積公式，都是應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的方法，把還沒有學(xué)過面積公式的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能求面積的圖形。在推導(dǎo)三角形面積公式時，我們用了兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形，然后推導(dǎo)出三角形的面積公式。

師（出示一個三角形）：能不能將一個三角形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形？請大家動手試一試。

學(xué)生展示多種轉(zhuǎn)化方法：

（學(xué)生通過比較三角形和轉(zhuǎn)化后的圖形，再次探索三角形的面積公式）

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的產(chǎn)物，也是學(xué)生進一步認識和實踐的基礎(chǔ)。在學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗后，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用經(jīng)驗解決問題，能夠累積新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，使淺層次的活動經(jīng)驗向較高層次的活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

“入乎其內(nèi)， 出乎其外”，“入”是長期累積，“出”是質(zhì)的飛躍。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生探索多種方法、策略，以 “入乎其內(nèi)”的體驗學(xué)習(xí)為基本載體，以 “出乎其外”的經(jīng)驗感悟為學(xué)習(xí)目標，用內(nèi)心的創(chuàng)造與體驗來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只有這樣，學(xué)生才能“心中悟出始知深”，真正建立自己的經(jīng)驗系統(tǒng)，建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）