不可忽視的隱含條件

☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 郭立春

-（x2+2x）=1，則x2+2x的值為______.

小明的解法：設(shè)x2+2x=y，原方程可變形為-y=1，整理得y2+y-6=0.

解得y1=-3，y2=2.

經(jīng)檢驗，y1=-3，y2=2都是原方程的根.

則x2+2x的值為-3或2.

小明的解法是否正確？當(dāng)x2+2x=-3時，x2+2x+3=0.該方程的判別式Δ=22-4×1×3=4-12=-8＜0，因此方程x2+2x+3=0無實數(shù)根，這與已知條件“x為實數(shù)”矛盾.因此不存在這樣的實數(shù)x，使x2+2x=-3.也就是說，x2+2x的值不可能為-3.為什么x2+2x的值不可能為-3呢？我們不妨對x2+2x的取值范圍進(jìn)行考察.通過配方，可得x2+2x=（x+1）2-1.顯然（x+1）2≥0，因此（x+1）2-1≥-1，即x2+2x≥-1.由于x2+2x在原分式方程中還處于分母的位置，因此x2+2x≠0.所以x2+2x的取值范圍是x2+2x≥-1且x2+2x≠0.而-3＜-1，不在x2+2x的取值范圍內(nèi)，因而x2+2x的值不能為-3.2＞-1，在x2+2x的取值范圍內(nèi)，因而x2+2x的值為2合理.因此x2+2x的值為2.

從上面的分析不難看出，小明的解法不對，它忽視了x2+2x的取值范圍，這是一個隱含條件，不易察覺，稍有不慎，就很容易被忽略而致錯.事實上，不僅我們會遇到很多蘊含隱含條件的數(shù)學(xué)問題，而且我們所學(xué)的很多數(shù)學(xué)公式、定理、幾何圖形的性質(zhì)等也蘊含隱含條件.在解決數(shù)學(xué)問題時，要注意考慮其中蘊含的隱含條件，剔除不合題意的解.

一、在解決分式問題時忽視分母不能為0這個隱含條件

分式的分母不能為0，這是分式有意義的條件.解分式方程為什么要驗根？實質(zhì)上也是從分式有意義的條件上進(jìn)行考慮.在解答與分式有關(guān)的問題時，這個條件常常容易被忽視而致錯，這應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視.

例1分式的值為0，則x=______.

一些學(xué)生一看到題目，認(rèn)為只需令分子x2-1=0即可，解得x=±1.事實上，當(dāng)x=1時，分母x2+2x-3=0，此時分式無意義，因此x≠1.當(dāng)x=-1時，分母x2+2x-3=-4≠0，因此x=-1.因此本題的正確答案是x=-1.如何避免上述錯誤？我們可以先將原分式化為最簡分式，得，然后令最簡分式的分子等于0，得x+1=0，則x=-1.這樣就可以避免上述錯誤.

牛刀小試：分式的值為0，則x=______.

例2先化簡，然后對a取一個你喜歡的數(shù)代入求值.

牛刀小試：先化簡），然后選取一個你喜歡的m值代入求值.

二、在解決一元二次方程問題時，要注意方程有實數(shù)根的隱含條件

我們知道，一元二次方程的判別式與一元二次方程的根有密切的關(guān)系.當(dāng)判別式大于0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式等于0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式小于0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.在解答一元二次方程問題時，一些學(xué)生經(jīng)常由于忽視一元二次方程有實數(shù)根的條件而致錯.

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的兩個實數(shù)根的平方和為7，那么m的值是______.

錯解：設(shè)方程的兩根分別為x1、x2，則有x1+x2=m，x1x2=2m-1.

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，則m2-2（2m-1）=7，即m2-4m-5=0.解得m=5或m=-1.

剖析：當(dāng)m=5時，原方程為x2-5x+9=0，此時判別式Δ=（-5）2-4×9=-11＜0，方程無實數(shù)根，因而m=5不合題意，應(yīng)舍去.當(dāng)m=-1時，原方程為x2+x-3=0，此時判別式Δ=12-4×（-3）=13＞0，因此m=5符合題意.因而正確答案為m=5.上述錯解忽視了一元二次方程有實數(shù)根的條件，因而在解答時要注意考慮一元二次方程有實數(shù)根這個隱含條件，并根據(jù)這個條件剔除不滿足原方程有實數(shù)根的m的值.

牛刀小試：已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+2k-1=0的兩個實數(shù)根的平方和為23，那么k的值是______.

三、在解決三角形問題時，要注意三角形存在的隱含條件

三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，這是三角形的三邊關(guān)系定理.在解決與三角形有關(guān)的問題時，要注意考慮三角形存在的隱含條件.

例4已知關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.

（1）求證：無論k取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根.

（2）若等腰△ABC的一邊長a=5，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

第（1）問比較簡單，只需證明原方程的判別式大于或等于0即可.對于第（2）問，需要對a進(jìn)行討論.因為a可能是等腰三角形的底邊長，也可能是等腰三角形的腰長.下面我們來解答第（2）問.

①當(dāng)a為底邊時，b、c為腰長，則方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0有兩相等的實數(shù)根.所以原方程的判別式等于0，即（2k+1）2-4×4（k-0.5）=0，解得k=1.5.此時方程為x2-4x+4=0，方程的根為x1=x2=2，即b=c=2，三角形的周長為5+2+2=9.

②當(dāng)a為腰長時，b、c兩邊中必有一邊為腰，因而5必是原方程的根.代入原方程，得52-5（2k+1）+4（k-0.5）=0，解得k=3.原方程為x2-7x+10=0.解得x1=2，x2=5.三角形的周長為5+5+2=12.

因此△ABC的周長為9或12.

表面上看上述解答天衣無縫，其實存在漏洞.當(dāng)a為底邊時，我們求出的三角形的三邊長分別為5、2、2，這樣的三角形存在嗎？2+2=4＜5，顯然這樣的三角形不存在，這種情況不符合題意，它忽視了三角形存在的條件.當(dāng)a為腰長時，所求出的三角形三邊長分別為5、5、2，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，因而這樣的三角形存在，符合題意.因而△ABC的周長為12才是正確答案.

牛刀小試：已知關(guān)于x的方程x2-（3k+1）x+2k（k+1）=0.

（1）求證：無論k取什么實數(shù)，這個方程總有實數(shù)根.

（2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

四、在解決一元二次方程的實際問題時，忽視一些關(guān)鍵字詞等隱含條件

在解答一元二次方程的實際問題時，一般情況下所列的一元二次方程有兩個實數(shù)根，多數(shù)情況下我們會舍去負(fù)數(shù)根.如果所列的一元二次方程有兩個正實數(shù)根，有時我們也要根據(jù)實際問題中的關(guān)鍵字詞蘊含的隱含條件將其中一個正實數(shù)根舍去.如根據(jù)“減少庫存”或“使顧客得到實惠”等，舍去那些對商家或顧客“不利”的根.

例5某百貨商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“六·一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？

牛刀小試1：某商場將進(jìn)價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺.為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺.商場要想在這種冰箱銷售中每天贏利4800元，同時要使顧客得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？

牛刀小試2：圖1是一個正方體的表面展開圖，已知正方體相對兩個面上的數(shù)相同，且不相對兩個面上的數(shù)值不相同，則“★”面上的數(shù)為（ ）.

A.1 B.1或2 C.2 D.2或3

圖1

以上我們僅從四個方面舉例談了在解決數(shù)學(xué)問題時要注意題目中的隱含條件.當(dāng)然，數(shù)學(xué)問題中的隱含條件遠(yuǎn)不止這些，如在解決二次根式問題時，容易忽視被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)這個隱含條件，在應(yīng)用拋物線的性質(zhì)比較二次函數(shù)值的大小時，容易忽視在對稱軸的同側(cè)這個隱含條件，在應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，容易忽視在每一象限內(nèi)這個隱含條件.中考命題者常常根據(jù)這些隱含條件設(shè)置一些陷阱，只要我們在平時的學(xué)習(xí)過程中注意總結(jié)，多加練習(xí)，相信在中考中一定能繞過這些“陷阱”，取得令人滿意的成績.F