凸顯聯(lián)系溝通構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

徐彬

【摘 ? 要】小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問(wèn)題”教學(xué)中，“回顧”即再現(xiàn)研究歷程，關(guān)注思路與結(jié)果的合理;“反思”即思考研究過(guò)程中的問(wèn)題和策略，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！盎仡櫯c反思”板塊的教學(xué)視角，分別是檢驗(yàn)解決問(wèn)題的結(jié)果、審視解決問(wèn)題的思考過(guò)程、溝通方法之間的聯(lián)系、構(gòu)建不同問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

【關(guān)鍵詞】解決問(wèn)題;回顧與反思;聯(lián)系溝通;構(gòu)建模型

一、背景陳述

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“解決問(wèn)題”分為三個(gè)教學(xué)板塊，即“閱讀與理解”“分析與解答”和“回顧與反思”。在日常教學(xué)中，教師往往重視閱讀與理解、分析與解答，而對(duì)于“回顧與反思”板塊，教學(xué)過(guò)程中則是簡(jiǎn)略帶過(guò)，似乎可有可無(wú)。百度百科中，對(duì)于回顧、反思的解釋是：回顧指回想過(guò)去，思考過(guò)去發(fā)生的事件;反思指思考過(guò)去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。而在小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問(wèn)題”教學(xué)中，“回顧”可以理解為再現(xiàn)研究歷程，關(guān)注思路與結(jié)果的合理;“反思”即進(jìn)一步思考研究中的問(wèn)題和策略，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

筆者曾執(zhí)教《用方程解決問(wèn)題》（人教版五年級(jí)上冊(cè)第五單元《簡(jiǎn)易方程》P79例5）一課，特別關(guān)注“回顧與反思”板塊的設(shè)計(jì)與實(shí)施。為更好地了解學(xué)生的基礎(chǔ)，筆者對(duì)杭州市江干區(qū)220名五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)（已學(xué)習(xí)過(guò)《用方程解決問(wèn)題》一課）。

（一）檢測(cè)內(nèi)容和目的

測(cè)試內(nèi)容：甲地到乙地相距3000米，小王和小明兩人相向而行，小明每分鐘走80米，小王每分鐘走120米，問(wèn)兩人幾分鐘后相遇？（請(qǐng)你把完整的解決過(guò)程表示出來(lái)）

測(cè)試目的：換一種問(wèn)題情境，要求學(xué)生表示出用方程解決問(wèn)題的完整過(guò)程，主要考查學(xué)生如何思考，能否解決問(wèn)題。

（二）檢測(cè)數(shù)據(jù)和典型錯(cuò)誤

（三）檢測(cè)分析

關(guān)于“回顧與反思”的情況，分析可知：（1）學(xué)生缺乏檢驗(yàn)的意識(shí)，題目明確要求表示完整解決問(wèn)題的過(guò)程，僅有36.8%的學(xué)生進(jìn)行了檢驗(yàn)。（2）學(xué)生缺乏檢驗(yàn)的方法，典型錯(cuò)誤3000÷120+3000÷80，一個(gè)人行走都只需要25分鐘或37.5分鐘，兩人相向而行怎么會(huì)需要更多的時(shí)間，求出的答案明顯不合理。（3）情境改變后，部分學(xué)生沒(méi)有形成解決這類問(wèn)題的模型，采用畫(huà)圖分析和檢驗(yàn)的學(xué)生更是寥寥無(wú)幾。

基于上述分析思考，筆者在省、市、區(qū)教研員的指導(dǎo)下，重點(diǎn)對(duì)《用方程解決問(wèn)題》“回顧與反思”環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)研究，幾易其稿后，最終在研討活動(dòng)中呈現(xiàn)了一個(gè)比較好的課堂結(jié)構(gòu)，廣受好評(píng)。

二、實(shí)踐探究與反思

（一）檢驗(yàn)解決問(wèn)題的結(jié)果

在教材編寫(xiě)上，對(duì)于解決問(wèn)題檢驗(yàn)的習(xí)慣培養(yǎng)是非常重視的，從低段開(kāi)始，一年級(jí)上冊(cè)P46，就第一次呈現(xiàn)了“圖里有什么，怎么解答，解答正確嗎”。因此，在教學(xué)中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)的習(xí)慣，以提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。常見(jiàn)的檢驗(yàn)方法有3種：（1）估算，看看解決的結(jié)果是否合乎情理;（2）代入，把結(jié)果當(dāng)成已知條件，檢驗(yàn)結(jié)果是否與已知條件相符;（3）另解，用另一種方法解決問(wèn)題，檢驗(yàn)答案是否一致。

出示題目：“媽媽和小紅兩人相距600米，媽媽和小紅同時(shí)出發(fā)相向而行，5分鐘后相遇。媽媽每分鐘行75米，問(wèn)小紅每分鐘行多少米？”學(xué)生在用多種方法解決問(wèn)題后，教師這樣引導(dǎo)。

師：用方程解決問(wèn)題，我們?cè)鯓涌梢员ＷC求得的結(jié)果一定是正確的？

生：檢驗(yàn)。

師：是的，檢驗(yàn)是必不可少的。怎么檢驗(yàn)？

生：把45代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。

生：這樣能保證這個(gè)方程的解正確，但不能保證問(wèn)題解決是否正確。

生：把問(wèn)題當(dāng)成條件代入原來(lái)的題目中來(lái)算一算。

生：把小紅每分鐘行45米這個(gè)問(wèn)題當(dāng)成條件，求兩人相距多少米。

師：那就請(qǐng)你們自己動(dòng)手來(lái)檢驗(yàn)一下。

生：75×5+45×5=600（米），和原來(lái)?xiàng)l件兩人相距600米相一致。

生：（75+45）×5=600（米），和原來(lái)?xiàng)l件兩人相距600米相一致，前面解決問(wèn)題的結(jié)果是正確的。

（二）審視解決問(wèn)題的思考過(guò)程

張丹教授在《“問(wèn)題解決”目標(biāo)的內(nèi)涵及實(shí)現(xiàn)》一文中提到，學(xué)生在問(wèn)題解決中的失敗常常不是由于他們?nèi)狈?shù)學(xué)知識(shí)，而是由于他們不能有效地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。好的問(wèn)題解決者常常監(jiān)控并調(diào)整他們解決問(wèn)題的過(guò)程。

在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，就要引導(dǎo)學(xué)生不斷去回顧解決問(wèn)題的步驟和解決問(wèn)題的策略。當(dāng)然，這時(shí)候的回顧主體要明確，不是教師來(lái)回顧梳理，而應(yīng)該是學(xué)生在經(jīng)歷解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上通過(guò)反思，進(jìn)一步明晰思考程序。

如在例題教學(xué)后，教師通過(guò)2個(gè)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生回顧用方程解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程和加深對(duì)解決問(wèn)題策略的感知，見(jiàn)以下教學(xué)片段。

師：同學(xué)們很厲害，用兩種不同的方法解決了這個(gè)問(wèn)題。我們來(lái)回顧一下，剛才是怎樣用方程解決問(wèn)題的？

生：用方程解決問(wèn)題，首先要找到等量關(guān)系—根據(jù)等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程—解答并檢驗(yàn)。

師：那有什么好辦法可以幫助我們找到等量關(guān)系呢？

學(xué)生通過(guò)回顧線段圖和等量關(guān)系的聯(lián)系，感受通過(guò)畫(huà)線段圖可以清楚地分析數(shù)量之間的相等關(guān)系，初步形成“畫(huà)圖分析—找等量關(guān)系—列方程”的一般過(guò)程，進(jìn)一步深化畫(huà)圖解決問(wèn)題的策略。

（三）溝通方法之間的聯(lián)系

眾所周知，用方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解題意，快速有效地找到等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程。在平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生常常對(duì)復(fù)雜的題目無(wú)從下手，因?yàn)樗麄儾粫?huì)主動(dòng)去寫(xiě)出等量關(guān)系，對(duì)于等量關(guān)系的重要性感受不夠。本課巧用“回顧與反思”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生把結(jié)果當(dāng)成條件代入原題進(jìn)行編題檢驗(yàn)，形成多個(gè)問(wèn)題。通過(guò)變式編題討論，既進(jìn)行了基本練習(xí)鞏固，更讓學(xué)生通過(guò)每個(gè)問(wèn)題2種方法的比較和4個(gè)問(wèn)題方法之間的溝通，感受到用方程解決問(wèn)題的等量關(guān)系的一致性。

1.變式改編

師：前面檢驗(yàn)中，同學(xué)們把小紅的速度每分鐘45米當(dāng)成已知條件，可以算出總路程，你覺(jué)得還能解決什么問(wèn)題？

學(xué)生編出：“媽媽和小紅相距600米，媽媽和小紅同時(shí)出發(fā)相向而行，5分鐘后相遇，小紅每分鐘行45米，問(wèn)媽媽每分鐘行多少米？”

“媽媽和小紅相距600米，媽媽和小紅同時(shí)出發(fā)相向而行，媽媽每分鐘行75米，小紅每分鐘行45米，問(wèn)幾分鐘后相遇？”

2.嘗試解決，基本鞏固

學(xué)生解決問(wèn)題后，全班交流，通過(guò)列方程得出媽媽的速度是75米/分鐘，相遇的時(shí)間是5分鐘，和原來(lái)的條件是一樣的，也可以檢驗(yàn)出我們前面解決問(wèn)題的結(jié)果是正確的。

3.觀察比較，感受等量關(guān)系的重要性

師：我們剛才解決的這些不同的問(wèn)題，有什么是相同的？

學(xué)生討論交流后，進(jìn)一步理解每個(gè)問(wèn)題的2種方法，明確各自的數(shù)量關(guān)系。還發(fā)現(xiàn)，同一情境下的4個(gè)問(wèn)題，它們的基本等量關(guān)系是相同的，都是利用“媽媽的路程+小紅的路程=總路程”或“速度和×相遇時(shí)間=總路程”。一個(gè)等量關(guān)系可以解決這么多問(wèn)題，讓學(xué)會(huì)體會(huì)到用方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性。

（四）回顧與反思，構(gòu)建不同問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

周玉仁教授指出，小學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，實(shí)際上完成了認(rèn)識(shí)上的兩個(gè)轉(zhuǎn)化。第一個(gè)轉(zhuǎn)化指從紛亂的實(shí)際問(wèn)題中，收集、觀察、比較、篩選有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二個(gè)轉(zhuǎn)化是根據(jù)已抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析其中的數(shù)量關(guān)系，探究解決問(wèn)題的方法并求解，進(jìn)而在實(shí)踐中檢驗(yàn)，必要時(shí)還能反思自己解決問(wèn)題的全過(guò)程。

在教學(xué)中，教師往往會(huì)重視第二個(gè)轉(zhuǎn)化，忽略第一個(gè)轉(zhuǎn)化，也就是我們所呈現(xiàn)的問(wèn)題已經(jīng)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)，沒(méi)有無(wú)效信息和多余信息，指向性明確。而以上兩者轉(zhuǎn)化的能力在解決問(wèn)題中是相輔相成、缺一不可的。本課在新課和練習(xí)環(huán)節(jié)中，創(chuàng)設(shè)了5個(gè)不同的生活情境，以期讓學(xué)生能在用方程解決問(wèn)題中，嘗試進(jìn)行這兩個(gè)轉(zhuǎn)化。并且讓學(xué)生在解決散步問(wèn)題、挖隧道問(wèn)題、購(gòu)物問(wèn)題、面積問(wèn)題后（問(wèn)題見(jiàn)下圖），與前面的行程問(wèn)題進(jìn)行回顧溝通。

師：這些問(wèn)題好像都不一樣，有沒(méi)有相同的地方？

生：用方程解決問(wèn)題的步驟和方法是一樣的。

生：這幾個(gè)問(wèn)題所列的等量關(guān)系都差不多。

師：既然說(shuō)這5個(gè)問(wèn)題都是相同的，那你能不能用一個(gè)含有字母的式子來(lái)表示我們今天學(xué)的所有的方程？

生：ax+bc=d。

即使購(gòu)物問(wèn)題中鉛筆和橡皮的數(shù)量不同，學(xué)生也能感受到這一系列問(wèn)題內(nèi)在的等量關(guān)系是一致的，都可以用一個(gè)含有字母的式子來(lái)表示。這能幫助學(xué)生找到這些題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生初步體會(huì)兩積之和逆解問(wèn)題的基本模型，建立起解決這一類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

總而言之，“回顧與反思”的意識(shí)和水平，在學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)上起著很大的作用，“回顧與反思”其實(shí)就是對(duì)于學(xué)生“元認(rèn)知”的培養(yǎng)，教師要在解決問(wèn)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行“回顧與反思”，從而提升解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳美潔.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中的回顧與反思[J].新課程（上），2018（5）.

[2]朱向明.在回顧與反思中提升數(shù)學(xué)思維——蘇教版教材“回顧與反思”的內(nèi)容編排與教學(xué)建議[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z4）.

[3]張丹.“問(wèn)題解決”目標(biāo)的內(nèi)涵及實(shí)現(xiàn)[J].江蘇教育，2014（11）.

[4]周玉仁.從“應(yīng)用題”到“解決問(wèn)題”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（7-8）.

（浙江省杭州市東城第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校 ? 310020）